Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Układy dynamiczne – 15. O entropii topologicznej – MIM UW

Zagadnienia

15. O entropii topologicznej

15.1. Definicja entropii

Ograniczymy się do zdefiniowania entropii topologicznej dla ciągłego przekształcenia zwartej przestrzeni metrycznej. Zatem-X jest przestrzenią zwartą metryczną z metryką d, T:X\to X- ciągłym przekształceniem.

Definicja 15.1

Odległość d_{n} między punktami x,y\in X to

d_{n}(x,y)={\rm max}_{{0\le i<n}}(d(T^{i}x,T^{i}y))
Definicja 15.2

Mówimy że punkty x,y,(n,\varepsilon)- rozdzielone, jeśli d_{n}(x,y)>\varepsilon. Zbiór punktów (n,\varepsilon)- rozdzielonych to zbiór w którym każde dwa różne elementy są (n,\varepsilon)- rozdzielone.

Definicja 15.3

Mówimy że punkty x_{1},\dots x_{k} stanowią (n,\varepsilon)-sieć jeśli dla każdego y\in X istnieje x_{i} takie że D_{n}(y,x_{i})<\varepsilon.

Oznaczmy przez s(n,\varepsilon) maksymalną liczebność zbioru (n,\varepsilon)- rozdzielonego, a przez r(n,\varepsilon)- minimalną liczebność (n\varepsilon) -sieci.

Definicja 15.4 (Definicja entropii topologicznej)

Entropia topologiczna h(T) jest to

\lim _{{\varepsilon\to 0}}\limsup _{{n\to\infty}}\frac{1}{n}\log r(n,\varepsilon)=\lim _{{\varepsilon\to 0}}\limsup _{{n\to\infty}}\frac{1}{n}\log s(n,\varepsilon)

Ta definicja wymaga uzasadnienia: po pierwsze- w każdej z tych dwóch formuł trzeba sprawdzić czy istnieje granica \lim _{{\varepsilon\to 0}}, po drugie- że obie formuły prowadzą do tego samego wyniku. Sprawdzenie jest zawarte w Stwierdzeniu - poniżej. Dowód pozostawiamy jako ćwiczenie.

Stwierdzenie 15.1

Mamy:

r(n,\varepsilon)\le s(n,\varepsilon)
s(n,2\varepsilon)\le r(n,\varepsilon)

Ponadto, dla \varepsilon>\varepsilon^{{\prime}} mamy s(n,\varepsilon^{{\prime}})>s(n,\varepsilon), r(n,\varepsilon^{{\prime}})>r(n,\varepsilon)

Przykład 15.1 (Izometria)

Niech T:X\to X będzie izometrią, na przykład- obrotem na okręgu. Wówczas h(T)=0. Istotnie, ustalmy \varepsilon i jakąś \varepsilon sieć (w naszej notacji jest to (1,\varepsilon)- sieć S o liczebości N=N(\varepsilon). Ponieważ T jest izometrią, ten sam zbiór S jest też (n\varepsilon)- siecią. Zatem liczebność minimalnej (n,\varepsilon) sieci nie rośnie z n. Stąd h(T)=0.

Ćwiczenie 15.1 (Przekształcenie z\mapsto z^{d})

Sprawdzić że entropia tego przekształcenie jest równa \log d. Wskazówka: dla ustalonego n możemy podzielić okrąg na d^{n} łuków, z których każdy jest przekształcany (rozciągany) przez T^{n} na cały okrąg. W każdym takim łuku wybieramy \frac{1}{\varepsilon} równo odległych punktów. Te wszystkie punkty (jest ich razem \frac{1}{\varepsilon}2^{n}) stanowią zbiór (n,\varepsilon)-rozdzielony.

Ćwiczenie 15.2 (Trudniejsza wersja)

Niech M będzie Riemannowską zwartą rozmaitościa, a T:M\to M- rozszerzającym przekształceniem, tzn istnieje \lambda>1 takie że ||DT_{x}(v)||\ge\lambda||v||. Uzasadnić że wówczas T jest nakryciem; niech d będzie stopniem tego nakrycia. Wykazać że h(T)=\log d.

Ćwiczenie 15.3

Niech T będzie hiperbolicznym automorfizmem torusa \mathbb{T}^{2}. Wówczas macierz A reprezentująca T ma dwie rzeczywiste wartości własne \lambda _{1}>1>\lambda _{2}. Wykazać że h(T)=\log\lambda _{1}.

Stwierdzenie 15.2

Jeśli (X,d_{1}),(Y,d_{2}) są przestrzeniami metrycznymi zwartymi, T:X\to X, S:Y\to Y są sprzężone topologicznie, to h(T)=h(S).

Ustalmy \varepsilon>0. Istnieje \delta>0 takie że d_{1}(x,y)<\delta\Rightarrow d_{2}(h(x),h(y))<\varepsilon. Wynika stąd że jeśli G jest zbiorem (n,\varepsilon) rozdzielonym dla S, to h^{{-1}}(G) jest zbiorem (n,\delta)- rozdzielonym dla T. Zatem

s_{T}(n,\delta)\ge s_{S}(n,\varepsilon)

Stąd już łatwo wynika że h(T)\ge h(S).

15.2. Związki z entropią metryczną

Następujące dwa twierdzenia podajemy bez dowodu:

Twierdzenie 15.1 (Twierdzenie Goodwyna)

Niech X będzie zwartą przestrzenią metryczną, T:X\to X- ciągłym przekształceniem, \mu- miarą borelowską probabilistyczną na X, niezmienniczą dla T. Wówczas:

h_{\mu}(T)\le h(T)

Wzmocnieniem jest silniejsze twierdzenie

Twierdzenie 15.2 (Twierdzenie Goodmana)

Przy poprzednich założeniach, mamy

h(T)=\sum _{\mu}h_{\mu}(T)

gdzie supremum jest wzięte po wszystkich niezmienniczych borelowskich miarach probabilistycznych.

15.3. Związki ze stopniem przekształcenia

Definicja 15.5

Niech M będzie zwartą, zorientowaną rozmaitością gładką, T:M\to M- gładkim przekształceniem. Na M mamy więc naturalną miarę Lebesge'a. Niech x będzie wartością regularną (tw Sarda gwarantuje że jest to zbiór pełnej miary). Stopniem przekształcenia t w x nazywamy

deg_{x}T=\sum _{{y\in T^{{-1}}(x)}}\varepsilon _{y}

gdzie \varepsilon _{y} jest równe 1 lub -1 w zależności od tego czy DT(y) zmienia czy zachowuje orientację.

Uwaga 15.1

Można sprawdzić że w istocie, stopień deg_{x}T nie zależy od wyboru punktu x- wartości regularnej. Zatem- możemy zdefiniowac degT- jako wspólną wartość deg_{x}T dla wszystkich wartości regularnych x.

Twierdzenie 15.3 (Misiurewicz, Przytycki)

Jeśli M jest gładką orientowalną rozmaitością, a T:M\to M- przekzstałceniem klasy C^{1} to h(T)\ge\log|degT|.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.