Zagadnienia

15. O entropii topologicznej

15.1. Definicja entropii

Ograniczymy się do zdefiniowania entropii topologicznej dla ciągłego przekształcenia zwartej przestrzeni metrycznej. Zatem-X jest przestrzenią zwartą metryczną z metryką d, T:XX- ciągłym przekształceniem.

Definicja 15.1

Odległość dn między punktami x,yX to

dnx,y=max0i<ndTix,Tiy
Definicja 15.2

Mówimy że punkty x,y,n,ε- rozdzielone, jeśli dnx,y>ε. Zbiór punktów n,ε- rozdzielonych to zbiór w którym każde dwa różne elementy są n,ε- rozdzielone.

Definicja 15.3

Mówimy że punkty x1,xk stanowią n,ε-sieć jeśli dla każdego yX istnieje xi takie że Dny,xi<ε.

Oznaczmy przez sn,ε maksymalną liczebność zbioru n,ε- rozdzielonego, a przez rn,ε- minimalną liczebność nε -sieci.

Definicja 15.4 (Definicja entropii topologicznej)

Entropia topologiczna hT jest to

limε0lim supn1nlogrn,ε=limε0lim supn1nlogsn,ε

Ta definicja wymaga uzasadnienia: po pierwsze- w każdej z tych dwóch formuł trzeba sprawdzić czy istnieje granica limε0, po drugie- że obie formuły prowadzą do tego samego wyniku. Sprawdzenie jest zawarte w Stwierdzeniu - poniżej. Dowód pozostawiamy jako ćwiczenie.

Stwierdzenie 15.1

Mamy:

rn,εsn,ε
sn,2εrn,ε

Ponadto, dla ε>ε mamy sn,ε>sn,ε, rn,ε>rn,ε

Przykład 15.1 (Izometria)

Niech T:XX będzie izometrią, na przykład- obrotem na okręgu. Wówczas hT=0. Istotnie, ustalmy ε i jakąś ε sieć (w naszej notacji jest to 1,ε- sieć S o liczebości N=Nε. Ponieważ T jest izometrią, ten sam zbiór S jest też nε- siecią. Zatem liczebność minimalnej n,ε sieci nie rośnie z n. Stąd hT=0.

Ćwiczenie 15.1 (Przekształcenie zzd)

Sprawdzić że entropia tego przekształcenie jest równa logd. Wskazówka: dla ustalonego n możemy podzielić okrąg na dn łuków, z których każdy jest przekształcany (rozciągany) przez Tn na cały okrąg. W każdym takim łuku wybieramy 1ε równo odległych punktów. Te wszystkie punkty (jest ich razem 1ε2n) stanowią zbiór n,ε-rozdzielony.

Ćwiczenie 15.2 (Trudniejsza wersja)

Niech M będzie Riemannowską zwartą rozmaitościa, a T:MM- rozszerzającym przekształceniem, tzn istnieje λ>1 takie że DTxvλv. Uzasadnić że wówczas T jest nakryciem; niech d będzie stopniem tego nakrycia. Wykazać że hT=logd.

Ćwiczenie 15.3

Niech T będzie hiperbolicznym automorfizmem torusa T2. Wówczas macierz A reprezentująca T ma dwie rzeczywiste wartości własne λ1>1>λ2. Wykazać że hT=logλ1.

Stwierdzenie 15.2

Jeśli X,d1,Y,d2 są przestrzeniami metrycznymi zwartymi, T:XX, S:YY są sprzężone topologicznie, to hT=hS.

Ustalmy ε>0. Istnieje δ>0 takie że d1x,y<δd2hx,hy<ε. Wynika stąd że jeśli G jest zbiorem n,ε rozdzielonym dla S, to h-1G jest zbiorem n,δ- rozdzielonym dla T. Zatem

sTn,δsSn,ε

Stąd już łatwo wynika że hThS.

15.2. Związki z entropią metryczną

Następujące dwa twierdzenia podajemy bez dowodu:

Twierdzenie 15.1 (Twierdzenie Goodwyna)

Niech X będzie zwartą przestrzenią metryczną, T:XX- ciągłym przekształceniem, μ- miarą borelowską probabilistyczną na X, niezmienniczą dla T. Wówczas:

hμThT

Wzmocnieniem jest silniejsze twierdzenie

Twierdzenie 15.2 (Twierdzenie Goodmana)

Przy poprzednich założeniach, mamy

hT=μhμT

gdzie supremum jest wzięte po wszystkich niezmienniczych borelowskich miarach probabilistycznych.

15.3. Związki ze stopniem przekształcenia

Definicja 15.5

Niech M będzie zwartą, zorientowaną rozmaitością gładką, T:MM- gładkim przekształceniem. Na M mamy więc naturalną miarę Lebesge'a. Niech x będzie wartością regularną (tw Sarda gwarantuje że jest to zbiór pełnej miary). Stopniem przekształcenia t w x nazywamy

degxT=yT-1xεy

gdzie εy jest równe 1 lub -1 w zależności od tego czy DTy zmienia czy zachowuje orientację.

Uwaga 15.1

Można sprawdzić że w istocie, stopień degxT nie zależy od wyboru punktu x- wartości regularnej. Zatem- możemy zdefiniowac degT- jako wspólną wartość degxT dla wszystkich wartości regularnych x.

Twierdzenie 15.3 (Misiurewicz, Przytycki)

Jeśli M jest gładką orientowalną rozmaitością, a T:MM- przekzstałceniem klasy C1 to hTlogdegT.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.