Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Układy dynamiczne – 2. Układy dynamiczne na okręgu – MIM UW

Zagadnienia

2. Układy dynamiczne na okręgu

2.1. Najprostszy układ- obrót na okręgu

Oznaczamy okrąg przez S^{1}, zaś znormalizowaną miarę Lebesgue'a na S^{1} przez l. Oznaczmy przez T_{\alpha} obrót na okręgu o kąt 2\pi\alpha. Równoważnie: rozpatrzmy na prostej \mathbb{R} przekształcenie (przesunięcie o \alpha):

F_{\alpha}(x)=x+\alpha.

Przy naturalnym rzutowaniu \pi:x\mapsto e^{{2\pi ix}} mamy

T_{\alpha}\circ\pi=\pi\circ F_{\alpha}

Dowód poniższego stwierdzenia pozostawiamy jako zadanie:

Stwierdzenie 2.1
  • (a) Jeśli \alpha jest wymierne (\alpha=\frac{p}{q}), to każda trajektoria jest okresowa z okresem q.

  • (b) Jeśli \alpha jest niewymierne, to każda trajektoria jest gęsta w S^{1}.

  • (c)Jeśli \alpha jest niewymierne to dla każdej funkcji ciągłej \phi:S^{1}\to\mathbb{R} mamy:

    \frac{\phi+\phi\circ T_{\alpha}+\dots+\phi\circ T^{{n-1}}_{\alpha}}{n}\Rightarrow\int\phi dl
  • (d) Jeśli \alpha jest niewymierne to dla każdego z\in S^{1} i dla każdego łuku I\subset S^{1}

    \frac{\#(k\le n:T^{k}_{\alpha}(z)\in I)}{n}\to l(I)
Uwaga 2.1

Z punktu (c) poprzedniego stwierdzenia mozemy wywnioskować że

\frac{\delta _{z}+\delta _{{T_{\alpha}(z)}}+\dots+\delta _{{T^{{n-1}}_{\alpha}(z)}}}{n}\to l

a nawet więcej: dla każdej miary borelowskiej probabilistycznej \nu na S^{1} i dla każdej funkcji ciągłej \phi mamy:

\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\frac{\nu+(T_{\alpha})_{*}\nu+\dots+(T_{\alpha}^{{n-1}})_{*}\nu}{n}(f)\\
\displaystyle&\displaystyle=\frac{\nu(f)+\nu(f\circ T_{\alpha})+\dots+\nu(\phi\circ T_{\alpha}^{{n-1}})}{n}\\
\displaystyle&\displaystyle=\nu(\frac{\phi+\phi\circ T_{\alpha}+\dots+\phi\circ T_{\alpha}^{{n-1}}}{n})\to\int fdl\end{aligned}

Użyta tutaj zbieżność miar to słaba-* zmieżność (inaczej- zbieżność według rozkładu).

Zatem ciąg miar

\frac{\nu+(T_{\alpha})_{*}\nu+\dots+(T_{\alpha}^{{n-1}})_{*}\nu}{n}

jest zbieżny słabo-* (inaczej: zbieżny według rozkładu) do znormalizowanej miary Lebesgue'a na S^{1}.

Wynika stąd, że istnieje tylko jedna probabilistyczna borelowska miara niezmiennicza dla T_{\alpha}- jest to miara Lebesgue'a.

2.2. Homeomorfizmy okręgu. Liczba obrotu

Niech f będzie homeomorfizmem okręgu S^{1} zachowującym orientację. Wówczas istnieje ściśle monotoniczna funkcja F:\mathbb{R}\to\mathbb{R} taka że \pi\circ F=f\circ\pi, gdzie \pi jest naturalnym rzutowaniem \pi:\mathbb{R}\to S^{1}. \pi(x)=e^{{2\pi ix}}. Oczywiście funkcja F (zwana podniesieniem f) nie jest wyznaczona jednoznacznie; wszystkie inne podniesienia są postaci F(x)+k, gdzie k\in\mathbb{Z}. Zauważmy własność podniesienia F:

F(x+1)=F(x)+1

Oczywiście, podniesieniem obrotu T_{\alpha} jest przekształcenie F_{\alpha}

Udowodnimy

Twierdzenie 2.1 (o istnieniu liczby obrotu)

Jeśli f jest homeomorfizmem S^{1} zachowującym orientację, F jego dowolnym podniesieniem, to dla każdego x\in\mathbb{R} istnieje granica

\lim _{{n\to\infty}}\frac{F^{n}(x)}{n}=\rho(F)

Ta granica nie zależy od punktu x. Ponadto, jeśli \tilde{F}=F+k jest innym podniesieniem, to \rho(\tilde{F})=\rho(F)+k. Zatem część ułamkowa \{\rho(F)\} nie zależy od podniesienia. Oznaczamy ją \rho(f) i nazywamy liczbą obrotu homeomorfizmu f.

Ponadto \rho(f)\in\mathbb{Q} wtedy i tylko wtedy gdy f ma punkt okresowy.

Załóżmy że f ma punkt okresowy x, f^{q}(x)=x. Wybierzmy punkt X\in\mathbb{R} leżący ”nad” x, tzn taki że \pi(X)=e^{{2\pi iX}}=x. Wówczas F^{q}(X)=X+p dla pewnego p\in\mathbb{Z}. Zatem

F^{{2q}}(X)=F^{q}(F^{q}(X))=F^{q}(X+p)=F^{q}(X)+p=X+2p

i przez indukcję:

F^{{kq}}(X)=X+kp

Dla n\in\mathbb{N} znajdujemy k takie że kq\le n<(k+1)q i zapisujemy

\frac{F^{n}(X)}{n}=\frac{F^{{n-kq}}(F^{{qk}}(X)}{n}=\frac{F^{{qk}}(X)}{n}+\frac{F^{{n-qk}}F^{{qk}}(X)-F^{{qk}}(X)}{n}

Teraz widzimy że pierwszy składnik dąży do \frac{p}{q} gdy n\to\infty zaś drugi dąży do zera (wystarczy zauważyc że licznik jest ograniczony).

Założmy teraz że granica \frac{F^{n}(X)}{n} istnieje Jeśli wybierzemy inny punkt Y\in\mathbb{R}, to Y\in[X+k,X+k+1) dla pewnego k\in\mathbb{Z}. Możemy zatem zapisac:

F^{n}(X)+k+1=F^{n}(X+k+1)>F^{n}(Y)\ge F^{n}(X+k)=F^{n}(X)+k

Po podzieleniu przez n widzimy że granica \frac{F^{n}(Y)}{n} istnieje i jest taka sama jak dla punktu X.

Załóżmy że f nie ma punktu okresowego. Ustalamy X, m\in\mathbb{Z}. Wówczas X+k<F^{m}(X)<X+k+1 dla pewnego k\in\mathbb{Z}. Stosując tę obserwację ponownie, mamy:

X+2k<F^{m}(X)+k<F^{{2m}}(X)<F^{m}(X)+k+1<X+2(k+1)

i, przez indukcję:

X+nk<F^{{nm}}(X)<X+n(k+1),

czyli

nk=F^{{nm}}(X)-X<n(k+1).

Oznaczając a_{n}=\frac{F^{n}(X)-X}{n} mamy:

\frac{k}{m}<a_{{nm}}<\frac{k+1}{m}

oraz (kładąc n=1)

\frac{k}{m}<a_{{m}}<\frac{k+1}{m}

Zatem |a_{{nm}}-a_{m}|<\frac{2}{m} i podobnie (zamieniając m i n rolami) |a_{{nm}}-a_{n}|<\frac{2}{n}. Stąd

|a_{n}-a_{m}|<\frac{2}{m}+\frac{2}{n}

Widzimy że ciąg a_{n} spełnia warunek Cauchy'ego, zatem jest zbieżny.

Pozostaje do pokazania że jeśli f nie ma punktu okresowego to \rho(f) nie jest liczbą wymierną. Niech \alpha=\frac{p}{q}; pokażemy że \alpha\neq\rho(f). Zauważmy że F^{q}(X)-X-p\neq 0 dla każdego X. Ponieważ funkcja F^{q}(X)-X-p jest okresowa, wynika stąd że |F^{q}(X)-X-p|>\delta dla pewnego dodatniego \delta. Możemy założyc że F^{q}(X)-X-p>\delta. Mamy wówczas (przez indukcję) F^{{kq}}(X)-pk>k\delta a stąd:

\lim _{{n\to\infty}}\frac{F^{n}(X)}{n}=\lim _{{k\to\infty}}\frac{F^{{kq}}(X)}{kq}>\frac{p}{q}+\frac{\delta}{q}
Uwaga 2.2

Dla liczby obrotu homeomorfizmy nie zachowujące orientacji nie są ciekawe. Sprawdzić że homeomorfizm zmieniający orientację ma dwa punkty stałe na okręgu i zerową liczbę obrotu.

2.3. (Pół)sprzężenie z obrotem i Twierdzenie Denjoy

Dla x\in\mathbb{S}^{1} oznaczmy przez \omega(x) zbiór punktów skupienia trajektorii w przód punktu x. Udowodnimy najpierw

Stwierdzenie 2.2

Niech f będzie homeomorfizmem okręgu zachowującym orientację, \rho(f)\notin\mathbb{Q}. Wówczas albo

  • dla każdego x\in S^{1} \omega(x)=S^{1} albo

  • dla każdego x\in S^{1} \omega(x) jest (tym samym dla wszystkich x!) zbiorem doskonałym, nigdziegęstym.

Dowód oprzemy na następującym łatwym lemacie:

Lemat 2.1

Niech f będzie homeomorfizmem okręgu, \rho(f)\notin\mathbb{Q}. Niech m,n\in\mathbb{Z}, x\in\mathbb{S}^{1}, I- odcinek o końcach f^{m}(x),f^{n}(x). Wówczas dla każdego y\in S^{1} orbita y,f(y),\dots przecina I.

Załóżmy że m<n. Zauważmy że f^{{m-n}}(I) jest odcinkiem przylegającym do I, f^{{2(m-n)}}I przylega do f^{{m-n}}(I) itd. Otrzymujemy więc ciąg odcinków zawartych w \omega(x) z ktorych następny przylega do poprzedniego. Twierdzimy że te odcinki pokryją cały okrąg. Istotnie, gdyby tak nie było- końce odcinków zbiegałyby do pewnego punktu z\in\mathbb{S}^{1}, stałego dla f^{{m-n}}, więc okresowego dla f. Ale f nie ma punktów okresowych.

Skoro tak określone odcinki pokrywają cały okrąg- istnieje k\ge 0 takie że y\in f^{{k(m-n)}}(I) . Wtedy f^{{k(n-m)}}(y)\in I.

Z lematu natychmiast wynika że zbiór \omega(x) nie zależy od x. Istotnie, niech p\in\omega(x) i niech f^{{n_{i}}}(x) będzie ciągiem obrazów x zbieżnym do p. Weżmy dowolne y\in\mathbb{S}^{1}. Wówczas między każdymi dwoma punktami f^{{n_{i}}}(x),f^{{n_{{i+1}}}} znajdzie się jakis punkt z trajektorii y, a zatem - istnieje ciąg obrazów y zbieżny do p.

Załóżmy teraz że \omega(x) ma niepuste wnętrze. Wówczas istnieje odcinek I\subset\omega(x) o końcach f^{n}(x),f^{m}(x) (gdzie m,n\in\mathbb{Z}. Wtedy f^{{m-n}}(I) jest odcinkiem przylegającym do I, f^{{2(m-n)}}I przylega do f^{{m-n}}(I) itd. Otrzymujemy więc ciąg odcinków zawartych w \omega(x) z ktorych następny przylega do poprzedniego. Tak jak w dowodzie lematu - sprawdzamy że odcinki te muszą pokryć cały okrąg. Zatem \omega(x)=\mathbb{S}^{1}.

Pozostaje do wykazania że zbiór \omega(x) jest doskonały. Domkniętość wynika z samej definicji \omega(x). Niech p\in\omega(x). Wiemy już że zbiór graniczny \omega(x) nie zależy od x, w takim razie \omega(x)=\omega(p) i p\in\omega(p). Zatem- istnieje ciąg f^{{n_{i}}}(p)\to p. Wszystkie punkty f^{{n_{i}}}(p) należą do \omega(p)=\omega(x). Więc p jest granicą ciągu punktów należących do \omega(x). Wykazaliśmy że \omega(x) jest doskonały.

Twierdzenie 2.2 (o półsprzężeniu z obrotem)

Niech f:\mathbb{S}^{1}\to\mathbb{S}^{1} będzie homeomorfizmem zachowującym orientację i \alpha=\rho(f) niewymierne. Wówczas istnieje ciągłe i zachowujące orientację przekształcenie h:\mathbb{S}^{1}\to\mathbb{S}^{1} stopnia 1 takie że

h\circ f=T_{\alpha}\circ h

Ponadto, h jest homeomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy P(f)=\mathbb{S}^{1}.

Uwaga 2.3

Inaczej możemy wyrazić własności h następująco: Jeśli H:\mathbb{R}\to\mathbb{R} jest podniesieniem h to H(x+1)=H(x)+1 i H jest monotoniczne (chociaż niekoniecznie ścisle monotoniczne). W istocie przekonamy się że jeśli zbiór P(f) nie jest całym okręgiem (wówczas - jak już wiemy- \mathbb{S}^{1}\setminus P(f) jest otwarty i gęsty w \mathbb{S}^{1}) to funkcja h przekształca każdą składową spójną zbioru \mathbb{S}^{1}\setminus P(f) w jeden punkt.

Dowód twierdzenia o półsprzężeniu.

Wybieramy jakieś podniesienie F homeomorfizmu f. Wybieramy jakiś punkt x\in P(f) i jego podniesienie X\in\mathbb{R}. Rozpatrujemy zbiór O_{X}=\{ F^{n}(X)+m\} (jest to dokładnie- podniesienie orbity \{ f^{n}(x)\} do prostej przy kanonicznym rzutowaniu \pi). Określamy przekształcenie

H:O_{X}\to\mathbb{R} wzorem:

F^{n}(X)+m\mapsto n\alpha+m.

Zauważmy następujące własności tego przekształcenia (zostawiamy sprawdzenie jako ćwiczenie):

Stwierdzenie 2.3

Przekształcenie H zachowuje porządek, tzn.

F^{{n_{1}}}(X)+m_{1}>F^{{n_{2}}}(X)+m_{2}\iff n_{1}\alpha+m_{1}>n_{2}\alpha+m_{2}.

Ponadto

H\circ F(Y)=H(Y)+\alpha,~~H(Y+1)=H(Y)+1, (2.1)

dla Y\in O_{X}.

Przekształcenie H można teraz przedłużyc do ciągłego na \overline{O_{X}}=\pi^{{-1}}(P(f)). Istotnie, dla x\in\overline{O_{X}} kładziemy:

H(x)=\sup _{{y\in O_{X},y<x}}H(y)=\inf _{{y\in O_{X},y>x}}H(y).

Te dwie wartości (sup i inf) pokrywają się. Wynika to stąd że H jest ściśle rosnące na O_{X} i że obraz H(O_{X})=\{ n\alpha+m\} jest gęsty w \mathbb{R}. Widzimy też (z określenia H na domknięciu O_{X}) że jeśli I jest składową uzupełnienia O_{X} to H_{{|I}} jest stała.

Rozszerzona funkcja H ma oczywiście też własności opisane w równaniu   (2.1). Ponieważ H ma własność H(x+1)=H(X)+1, H wyznacza ciągłe przekształcenie h:\mathbb{S}^{1}\to\mathbb{S}^{1} Z własności (2.1) wynika że h\circ f=T_{\alpha}\circ h.

Wykażemy teraz że przy pewnych założeniach na gładkość f h jest homeomorfizmem.

Dowód poprzedzimy spostrzeżeniem:

Stwierdzenie 2.4

Jeśli f jest homeomorfizmem z niewymierną liczbą obrotu, P(f)\neq\mathbb{S}^{1}, I- składowa \mathbb{S}^{1}\setminus P(f), to I jest zbiorem (łukiem) bładzącym:

f^{n}(I)\cap f^{m}(I)=\emptyset

dla n,m\in\mathbb{Z}, n\neq m.

Wystarczy zauważyć że jeśli a,b są końcami I to f^{n}(I) jest łukiem o końcach f^{n}(a),f^{n}(b). Z niezmienniczości zbioru P(f) wynika że punkty a,b,f^{n}(a),f^{n}(b)\in P(f) i że f^{n}(I) jest inną składową \mathbb{S}^{1}\setminus P(f).

Wniosek 2.1

Przekształcenie h skonstruowane w Twierdzeniu 6.1 jest homeomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy f nie ma odcinka (łuku) bładzącego.

Twierdzenie 2.3 (Twierdzenie Denjoy)

Jeśli f:\mathbb{S}^{1}\to\mathbb{S}^{1} jest dyfeomorfizmem klasy C^{2} o niewymiernej liczbie obrotu, to f jest topologicznie sprzężone z obrotem o kąt \alpha=\rho(f).

Uwaga 2.4

Oczywiście dla wymiernej liczby obrotu twierdzenie jest nieprawdziwe. Dla obrotu o kąt wymierny wszystkie punkty są okresowe.

Dowód Twierdzenia Denjoy

Zgodnie z poprzednim stwierdzeniem, wystarczy pokazać że f nie ma odcinka (łuku) błądzącego. Niech I będzie takim odcinkiem. Mamy wówczas

|f^{n}(I)=|(f^{{\prime}})(z_{1}^{n})||I|,|f^{{-n}}(I)=|I|\cdot\frac{1}{|(f^{n})^{{\prime}}(z_{2}^{n})|}

dla pewnych punktów z_{1}^{n}\in I, Z_{2}^{n}\in f^{{-n}}(I). Mnożąc stronami otrzymujemy:

\frac{|f^{n}(I)|\cdot|f^{{-n}}(I)|}{|I|}=|(f^{n})^{{\prime}}(z_{1}^{n})|\cdot\frac{1}{|(f^{n})^{{\prime}}(z_{2}^{n})|}

Logarytmując mamy:

\left|\log\left(\frac{|f^{n}(I)|\cdot|f^{{-n}}(I)|}{|I|}\right)\right|=\left|\log|(f^{n})^{{\prime}}(z_{1}^{n})|-\log|(f^{n})^{{\prime}}(z_{2}^{n})|\right|\le\sum _{{i=0}}^{{n-1}}|\log|f^{{\prime}}|(f^{i}(z_{1}^{n})-\log|f^{{\prime}}|(f^{i}(z_{2}^{n})|

Ponieważ f jest dyfeomorfizmem klasy C^{2}- funkcja \log|f^{{\prime}}| jest lipschitzowska. Zatem ostatnią sume możemy oszacować z góry przez

L\cdot\sum|[f^{i}(z_{1}^{n}),f^{i}(z_{2}^{n})]|

gdzie L=\sup\frac{f^{{\prime\prime}}}{f^{{\prime}}} jest stałą Lipschitza dla funkcji \log|f^{{\prime}}|, zaś przez [f^{i}(z_{1}^{n}),f^{i}(z_{2}^{n})] oznaczyliśmy odcinek (łuk) o końcach f^{i}(z_{1}^{n}), f^{i}(z_{2}^{n}).

Zauważmy teraz że wyrażenie po lewej stronie nierówności dąży do nieskończoności gdy n\to\infty (wynika to stąd że długości odcinków f^{n}(I),f^{{-n}}(I) muszą dążyć do zera, skoro jest to odcinek błądzący). Zatem, jeśli wskażemy nieskończony ciąg n-ów, dla którego odcinki [f^{i}(z_{1}^{n}),f^{i}(z_{2}^{n})] (i<n) będą parami rozłaczne- dostaniemy sprzeczność , bo wówczas wyrażenie po prawej stronie będzie sie szacowało z góry przez długość okręgu.

Taki ciąg nów jest wskazany w następnym stwierdzeniu (ktore kończy dowód tw Denjoy)

Stwierdzenie 2.5

Niech I będzie odcinkiem błądzącym dla f, V_{n}-minimalnym łukiem zawierającym I,f^{{-n}}(I), ale nie zawierajacym f(I). Wówczas dla nieskończenie wielu n odcinki V_{n},f(V_{n})\dots f^{{n-1}}(V_{n}) są parami rozlączne.

Ze względu na półsprzężenie f z obrotem o kąt \alpha wystarczy udowodnić że dla nieskończenie wielu n odcinek (łuk) W_{n} łaczący punkty x i T_{\alpha}^{{-n}}(x) ma analogiczną własność: W_{n},T^{\alpha}(W_{n})\dots T^{{n-1}}_{\alpha}(W_{n}) są parami rozlączne. Można łatwo się przekonać że tak jest jeśli wybieramy n jako czas ”najbliższego podejścia do początku trajektorii”, tzn takie n że d(x,T^{j}(x))>d(x,T^{n}(x)) dla wszystkich j=1,2,\dots n-1.

Wniosek 2.2

Dla tak wybranych n (łuki) [f^{i}(z_{1}^{n}),f^{i}(z_{2}^{n})] (i=0,\dots,n-1) są parami rozłączne, bo [f^{i}(z_{1}^{n}),f^{i}(z_{2}^{n})]\subset f^{i}(V_{n}).

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.