Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Układy dynamiczne – 3. Strukturalna stabilność. Układy Morse'a-Smale'a na okręgu – MIM UW

Zagadnienia

3. Strukturalna stabilność. Układy Morse'a-Smale'a na okręgu

3.1. Pojęcie strukturalnej stabilności dla przekształceń i dla pól wektorowych

Mówiąc nieformalnie, przekształcenie (lub pole wektorowe) chcemy nazwać strukturalnie stabilnym- w jakiejś klasie, jeśli po małym zaburzeniu - w obrębie tej klasy- przekształcenie (pole wektorowe) zachowa swoje własności, czyli dynamika nie zmieni się.

Poniżej formalizujemy tę definicję. Najpierw musimy wprowadzić jakieś formalne pojęcie odległości w przestrzeni przekształceń, dyfeomorfizmów i pól wektorowych.

3.1.1. Metryki i topologie w przestrzeniach przekształceń i w przestrzeniach pól wektorowych

O wszystkich rozmaitościach które tu rozpatrujemy, będziemy zakładali że są klasy C^{\infty} i że są zanurzone w \mathbb{R}^{s} (dla pewnego s). Niech M będzie taką rozmaitościa, m={\rm dim}M, załóżmy dodatkowo że M jest zwarta. Istnieje skończony atlas- rodzina map \varphi _{i}:B(0,1)\to M (można oczywiście założyć że B(0,1) jest wspólną dziedziną dla wszystkich map z atlasu. Wówczas, dla pewnego \rho<1 obrazy mniejszej kuli B(0,r) przy \varphi _{i} też pokrywają M. Jesli f,g:M\to\mathbb{R}^{k} to możemy określić odległość f i g:

d_{{C^{r}}}(f,g)={\rm max}_{i}{||f\circ\varphi _{i}-g\circ\varphi _{i}||_{{C^{r}}}}_{{|B(0,\rho)}}

Sprawdzenie następującego faktu pozostawiamy jako zadanie:

Stwierdzenie 3.1

Tak zdefiniowana metryka zależy oczywiście od wyboru atlasu, ale topologia wyznaczona przez te metrykę nie zależy od atlasu, ani od wyboru r.

Ponieważ każde pole wektorowe na rozmaitości M zanurzonej w \mathbb{R}^{s} można traktować jak funkcję określoną na rozmaitości, o wartościach w \mathbb{R}^{s}, w ten sposób mamy zdefiniowaną topologię C^{r} w przestrzeni pól wektorowych klasy C^{r} na M.

Podobnie, jeśli N jest rozmaitością gładką zanurzoną w \mathbb{R}^{k}, to mamy w ten sposób określoną topologię C^{k} w przestrzeni przekształceń f:M\to N.

Będziemy dalej rozpatrywali dyfeomorfizmy klasy C^{r}, f:M\to M.

Stwierdzenie 3.2

W przestrzeni wszystkich przekształceń f:M\to M klasy C^{r} dyfeomorfizmy stanowią otwarty podzbiór.

3.1.2. Równoważność i sprzężenie między polami wektorowymi i dyfeomorfizmami

Definicja 3.1

Niech M będzie gładką zwartą rozmaitością. Mówimy że dwa pola wektorowe X, y na rozmaitości M są topologicznie równoważne jeśli istnieje homeomorfizm h:M\to M przekształcający trajektorie (krzywe całkowe) pola X na trajektorie pola Y, z zachowaniem orientacji (ale niekoniecznie czasu!)

Definicja 3.2

Pola X, Y na M są topologicznie sprzężone jeśli istnieje homeomorfizm h:M\to M sprzęgający potoki tych pól. Dokładniej- niech \varphi^{t} będzie potokiem pola X, \psi^{t}-potokiem pola Y. Sprzężenie oznacza że

h\circ\varphi^{t}=\psi^{t}\circ h
Stwierdzenie 3.3

Jeśli h jest topologiczną równoważnością między polami X i Y to

  1. p\in M jest punktem stacjonarnym pola X\iff h(p) jest punktem stacjonarnym pola Y.

  2. trajektoria pola X przechodząca przez punkt p\in M jest zamknięta wtedy i tylko wtedy gdy trajektoria pola Y przechodząca przez punkt h(p)\in M jest zamknięta.

  3. h(\omega(p))=\omega(h(p))

Ćwiczenie 3.1

Zbudować sprzężenie topologiczne między polami na płaszczyźnie:

X(x,y)=(x,y)
Y(x,y)=(x+y,-x+y)
Ćwiczenie 3.2

Pole wektorowe na płaszczyźnie

Z(x,y)=(y,-x)

nie jest sprzężone i nie jest równowazne żadnemu z pól X,Y.

Definicja 3.3

Niech M będzie gładką rozmaitością, f,g:M\to M- dyfeomorfizmy. Mówimy że f i g są topologicznie sprzężone jeśli istnieje homeomorfizm h:M\to M taki że h\circ f=g\circ h.

3.1.3. Strukturalna stabilność

Definicja 3.4

Niech M będzie zwartą rozmaitością; X- polem wektorowym klasy C^{r} na M. Mówimy że X jest C^{r}- strukturalnie stabilne jeśli istnienie otoczenie U pola X w C^{r} topologii w przestrzeni pól wektorowych na M takie że każde pole wektorowe Y\in U jest topologicznie równoważne polu X.

Definicja 3.5

Niech M będzie zwartą rozmaitością, f:M\to M dyfeomorfizmem klasy C^{r}. Mówimy że f jest strukturalnie stabilne jeśli istnieje otoczenie W\ni f w C^{r}(M,M) takie że każdy dyfeomorfizm g\in W jest topologicznie sprzężony z f.

3.2. Strukturalnie stabilne dyfeomorfizmy okręgu

W tym rozdziale podamy pełną charakteryzację C^{1}- strukturalnie stabilnych dyfeomorfizmów okręgu.

Definicja 3.6

Dyfeomorfizm f:\mathbb{S}^{1}\to\mathbb{S}^{1} klasy C^{1} zachowujacy orientację nazywamy dyfeomorfizmem Morse'a- Smale'a jeśli \rho(f)\in\mathbb{Q} oraz dla każdego punktu okresowego x mamy |(f^{q})^{{\prime}}(x)|\neq 1 (gdzie q jest okresem, wspólnym dla wszystkich punktów okresowych). (Punkt okresowy o tej własności nazywamy niezdegenerowanym.)

Twierdzenie 3.1 (O strukturalnie stabilnych dyfeomorfizmach okręgu)
  • Dyfeomorfizm f:\mathbb{S}^{1}\to\mathbb{S}^{1} jest strukturalnie stabilny wtedy i tylko wtedy gdy jest dyfeomorfizmem Morse'a-Smale'a.

  • Dyfeomorfizmy Morse'a Smale'a stanowią gęsty podzbiór przestrzeni dyfeomorfizmów \mathbb{S}^{1}\to\mathbb{S}^{1} w C^{1} metryce.

Najpierw wykażemy że dyfeomorfizm Morse'a-Smale'a jest strukturalnie stabilny. Niech \rho(f)=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}. Przechodząc do iteracji g=f^{q} mamy \rho(g)=0. Ponieważ wszystkie punkty stałę dla g są niezdegenerowane, jest ich skonczenie wiele. Oznaczmy je p_{1},\dots,p_{m}. Oczywiście istnieje otoczenie punktów p_{i}, U=\bigcup U_{i} takie ze dla X\notin U |G(X)-X|>\varepsilon, zas dla X\in U G^{{\prime}}(X)>1+\varepsilon. Stąd widac że jeśli zaburzyć f do \tilde{f} na tyle mało w C^{1} że \tilde{G}- odpowiednie podniesienie \tilde{g}=\tilde{f}^{q} jest \frac{\varepsilon}{2} blisko G,to \tilde{G} ma tyle samo punktów stałych co G i są one tego samego typu (zródła lub ścieki). Okrąg jest więc podzielony przez punkty okresowe f na łuki miedzy odpowiadajacymi sobie wzajemnie punktami okresowymi (dla f i tak samo dla \tilde{f}). Wybierzmy jeden z tych łuków [r,s] i odpowiadający mu łuk [\tilde{r},\tilde{s}] Pokażemy jak zbudowac homeomorfizm sprzęgający g i \tilde{g} na odcinkach [r,s] i [\tilde{r},\tilde{s}].

Budowa sprzężenia $h$
Rys. 3.1. Budowa sprzężenia h.

(tu rysunek)

Wybieramy dowolny punkt x\in[r,s] i dowolny punkt \tilde{x}\in[\tilde{r},\tilde{s}]. Przekształcamy odcinek J=[x,g(x)] na \tilde{J}=[\tilde{x},\tilde{g}(\tilde{x})] jakimkolwiek homeomorfizmem h. Ponieważ [r,s]=\bigcup _{{i\in\mathbb{Z}}}g^{i}(J), można przedłużyc h na cały odcinek [r,s] kładąc h(g^{i}(y))=\tilde{g}^{i}(h(y)). Mamy więc na odcinku [r,s]

h(f^{q}(x))=\tilde{f}^{q}(h(x)) (3.1)

Przedłużamy teraz sprzężenie h na całą orbitę odcinka [r,s] \bigcup _{{i\leq}}f^{i}([r,s]) tak aby otrzymać sprzężenie pomiędzy f i \tilde{f}. Jest tylko jeden sposób na przedłużenie h: trzeba położyć

h(f^{i}(x))=\tilde{f}^{i}(h(x)).
Ćwiczenie 3.3

Sprawdzić, używając równości (3.1) że tak zdefiniowane rozszerzenie h:\mathbb{S}^{1}\to\mathbb{S}^{1} rzeczywiscie jest sprzężeniem pomiędzy f i \tilde{f}.

Zatem wykazaliśmy strukturalną stabilność dyfeomorfizmów Morse'a-Smale'a.

Pokażemy teraz że jesli f jest dyfeomorfizmem klasy C^{2} i \rho(f)\notin\mathbb{Q} to można f zaburzyć dowolnie mało w metryce C^{2} tak że zmieni się liczba obrotu.

Uzyjemy sprzegającego z obrotem o kąt \alpha=\rho(f) homeomorfizmu, danego przez twierdzenie Denjoy. T_{\alpha}\circ h=h\circ f. Rozpatrujemy teraz rodzinę dyfeomorfizmów

f_{\varepsilon}=T_{\varepsilon}\circ f,\varepsilon>0

(w poniesieniu odpowiada to wzięciu funkcji F_{\varepsilon}(X)=\varepsilon+F(X)). Zauważmy że h(T_{\varepsilon}(x)=\phi(x) jest przekształceniem okręgu o dodatniej liczbie obrotu ( w podniesieniu mamy

H(X+\varepsilon)=X+\Phi(X),

\Phi(X)>0).

Zatem h\circ f_{\varepsilon}\circ h^{{-1}} ma większa liczbę obrotu niż f. Stad i samo f_{\varepsilon} ma większą niż f liczbę obrotu.

Skorzystamy z następującego faktu:

Stwierdzenie 3.4

Każdy dyfeomorfizm okręgu klasy C^{1} można przybliżyć w metryce C^{1} dyfeomorfizmami klasy C^{2} (a nawet C^{\infty}).

Z poprzedniego stwierdzenia wynika od razu ze każdy dyfeomorfizm klasy C^{1} ktory jest C^{1} strukturalnie stabilny musi mieć wymierną liczbę obrotu.

Wykażemy teraz że dyfeomorfizmy Morse'a-Smale'a klasy C^{1} stanowią gęsty podzbiór w metryce C^{1} w przestrzeni C^{1} dyfeomorfizmów okręgu.

Weźmy dowolny dyfeomorfizm g klasy C^{1}. W jego dowolnie małym otoczeniu możemy znaleźć dyfeomorfizm f klasy C^{2}. Jeśli ten dyfeomorfizm ma wymierną liczbe obrotu, ustalamy go. Jeśli nie- to zaburzamy f w taki sam sposób jak powyżej, tworząc rodzinę f_{\varepsilon}. Ponieważ, jak widzieliśmy, w ten sposób można zwiększyć liczbę obrotu i ponieważ liczba obrotu dla f_{\varepsilon} jest ciąglą funkcją \varepsilon, istnieje dowolnie małe \varepsilon takie że f_{\varepsilon} ma wymierną liczbę obrotu. Zatem- w dowolnie małym C^{1} otoczeniu funkcji g możemy wskazać dyfeomorfizm f klasy C^{2} z wymierną liczbą obrotu. Ustalmy ten dyfeomorfizm, nazwijmy go f.

Pokażemy że f można zaburzyć dowolnie mało w metryce C^{2} (więc tym bardziej-w C^{1}) tak żeby wszystkie punkty okresowe stały się niezdegenerowane.

Najpierw załóżmy że istnieje przynajmniej jeden punkt okresowy niezdegenerowany dla f. Ten punkt dzieli okrąg na q łuków; w podniesieniu mamy odcinek długości 1 podzielony na q odcinków. Ustalamy jeden z tych odcinków, nazwijmy go [r,s]. Weźmy teraz nieco mniejszy odcinek [r^{{\prime}},s^{{\prime}}]\subset(r,s) taki że w (r,s)\setminus[r^{{\prime}},s^{{\prime}}] nie ma żadnych punktów okresowych dla f (a dokładniej: podniesień punktów okresowych). Taki odcinek można wybrać bo trajektoria okresowa do której należa punkty r,s jest niezdegenerowana. Zmniejszając odcinek [r,s] możemy też założyć że istnieje \delta>0 takie że jeśli \tilde{f} jest dyfeomorfizmem okręgu \delta - bliskim f w metryce C^{1} i \tilde{f}^{q}(r)=r, \tilde{f}^{q}(s)=s to w odcinku (r,s)\setminus[r^{{\prime}},s^{{\prime}}] nie ma innych punktów stałych dla \tilde{f}. Niech \phi=\phi _{\varepsilon} będzie gładką funkcją określoną w [r,s] taką że \phi=\varepsilon na odcinku [r^{{\prime}},s^{{\prime}}], \phi=0 w otoczeniu punktów r,s. Przedłużamy funkcję \phi do równej zero poza [r,s]. (rysunek Określamy nową rodzinę funkcji (w podniesieniu ) F_{\varepsilon}=\phi _{\varepsilon}\circ F. Dla małych \varepsilon funkcja F_{\varepsilon} (odpowiednio f_{\varepsilon}) jest \delta- bliska F (odpowiednio- f). Zatem jeśli x\in[r,s] jest punktem stałym dla f_{\varepsilon}^{q} to albo x=r, albo x=s, albo x\in[r^{{\prime}},s^{{\prime}}]. Zauważamy teraz że x jest punktem okresowym zdegenerowanym dla f_{\varepsilon} wtedy i tylko wtedy gdy X jest punktem krytycznym i miejscem zerowym dla funkcji F_{\varepsilon}^{q}(X)-(X+p). Ponieważ każda trajektoria długości q zawarta w [r^{{\prime}},s^{{\prime}}] (a wlaściwie: jej podniesienie) przecina dokładnie raz odcinek F([R^{{\prime}},S^{{\prime}}]), a funkcja F pozostaje niezmieniona poza tym odcinkiem, widzimy że na odcinku F^{{-(q-1)}}([R^{{\prime}},S^{{\prime}}]) mamy F_{\varepsilon}^{q}=F^{q}+\varepsilon. Zatem jeśli istnieją punkty okresowe zdegenerowane dla f_{\varepsilon}, to p+\varepsilon jest wartością krytyczną dla funkcji X\mapsto F^{q}(X)-X. Aby pokazać że dla wielu \varepsilon to jest niemożliwe, skorzystamy z prostej wersji twierdzenia Sarda:

Lemat 3.1 (Twierdzenie Sarda na prostej)

Niech h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} będzie funkcją klasy C^{2}. Wówczas zbiór wartości krytycznych dla h ma miarę Lebesgue'a równą zero.

Korzystając z tego lematu , możemy więc wybrać dowolnie małe \varepsilon, dla którego \varepsilon+p nie jest wartością krytyczną dla F^{q}(X)-X. Zatem nasze F_{\varepsilon} nie ma nezdegenerowanych punktów okresowych.

Dla zakończenia dowodu pozostaje upewnić się że zawsze można mało zaburzyć f aby otrzymać przynajmniej jeden punkt okresowy niezdegenerowany.

Przykład 3.1

Rozważmy przekształcenie F dane wzorem F(X)=X+\varepsilon\sin(2\pi kX). Jesli 0<2k\pi\varepsilon to F jest ściśle rosnąca i F(X+1)=F(X)1. Zatem F wyznacza dyfeomorfizm okręgu. f ma 2k punktów stałych; są to punkty odpowiadające wartościom na prostej X=(\frac{j}{2k})_{{j=0,\dots,2k-1}}. Dla j nieparzystych mamy ścieki, dla j parzystych-źródła.

Przykład 3.2

Teraz niech F(X)=X+\frac{1}{k}+\varepsilon\sin(2k\pi X). Tym razem mamy dwie orbity okresowe o okresie k; punkty \frac{2j}{2k} stanowią orbitę odpychającą, zaś punkty \frac{2j+1}{2k} - orbitę przyciągającą. \rho(f)=\frac{1}{k}.

3.3. Strukturalnie stabilne pola wektorowe na okręgu

Poniżej- ważna definicja strukturalniej stabilności

Definicja 3.7

Mówimy że pole wektorowe v na zwartej gładkiej rozmaitości jest strukturalnie stabilne jeśli istnieje otoczenie U pola v w metryce C^{1}, takie że dla każdego w\in U istnieje homeomorfizm h:M\to M przekształcający trajektorie pola v na trajektorie pola w.

Uwaga 3.1

Tu pojawia się konieczność precyzyjnego określenia C^{1} topologii w przestrzeni pól wektorowych na zwartej głądkiej rozmaitości.

W tym rozdziale ograniczamy się jednak do pól wektorowych na okręgu S^{1}. Ustalmy orientację na S^{1}; w każdym punkcie x\in\mathbb{S}^{1} mamy więc wyznaczony jednostkowy wektor styczny, dodatnio zorientowany 1_{x}. Pole wektorowe jest więc wyznaczone przez funkcję v(x):\mathbb{S}^{1}\to\mathbb{R} (v(x)=v(x)\cdot 1_{x}), lub- równoważnie - przez okresową funkcję V:\mathbb{R}\to\mathbb{R}. Zauważmy że jeśli \phi^{t} jest potokiem pola wektorowego na prostej \dot{x}=V(x), to \pi\circ\phi^{t} (gdzie \pi jest rzutowaniem z prostej na okrąg) jest potokiem pola wektorowego na okręgu \dot{x}=v(x). Następującą charakteryzację C^{1} strukturalnie stabilnych pól wektorowych na \mathbb{S}^{1} można udowodnić modyfikując (a właściwie- upraszczając) odpowiedni dowód dla dyfeomorfizmów.

Stwierdzenie 3.5

Pole wektorowe v klasy C^{1} jest C^{1} -strukturalnie stabilne wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie stacjonarne punkty pola v są niezdegenerowane (tzn. jeśli V(X)=0, to V^{{\prime}}(X)\neq 0. Zbiór takich pól wektorowcyh na S^{1} jest otwarty i gęsty w C^{1} topologii.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.