Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Układy dynamiczne – 4. Przekształcenia odcinka. Chaos na odcinku – MIM UW

Zagadnienia

4. Przekształcenia odcinka. Chaos na odcinku

4.1. O poszukiwaniu punktów okresowych dla przekształceń odcinka

Rozpatrzmy ciągłe przekształcenie f:I\to I gdzie I jest odcinkiem domkniętym.

Mówimy że odcinek (domknięty) J\subset I nakrywa odcinek domknięty K jeśli K\subset f(J). Oznaczenie: J\longrightarrow K.

Lemat 4.1

Niech J,K\subset I będą odcinkami. Załóżmy że J\longrightarrow K. Wówczas istnieje domknięty odcinek L\subset J taki że f(L)=K.

Oznaczmy odcinek K przez [a,b]. Weźmy c=\max\{ x\in J:f(x)=a\}, d=\min\{ y>c:f(x)=b\}. Jeśli takie d istnieje, odcinek [c,d] jest szukanynm odcinkiem L. Jeśli takie d nie istnieje (wartośc b nie jest przyjmowana na prawo od c),to istnieje d<c takie że f(x)=b. Wybieramy największe d o takiej własności. Jesli wartość a nie jest przyjmowana w odcinku [d,c], to jest to nasz szukany odcinek L. W przeciwnym razie- modyfikujemy (zmniejszamy) c, zastępując je najmniejszym x>d takim że f(x)=a.

Lemat 4.2

Jeśli J\longrightarrow J to f ma punkt stały w J.

Korzystamy z poprzedniego lematu. Mamy odcinek L=[c,d] taki że f(c)=a<c, f(b)=d>b. Zatem funkcja f(x)-x zmienia znak w odcinku [c,d], a stąd- istnieje punkt e\in(c,d) taki że f(e)=e

Przez prostą indukcję dostajemy następujące uogólnienie Lematu 4.1

Lemat 4.3

Jeśli

I_{0}\longrightarrow I_{1}\longrightarrow I_{2}\longrightarrow\dots\longrightarrow I_{n}

to w odcinku I_{0} można znaleźć odcinek L_{n} taki że f^{n}(L_{n})=I_{n}.

Znajdujemy odcinek L_{1}\subset I_{0} taki że f(L_{1})=I_{1}. Ponieważ I_{1}\longrightarrow I_{2} więc istnieje odcinek L_{1}^{{\prime}}\subset I_{1} taki że f(L_{1}^{{\prime}})=I_{2}. Zatem L_{1}\longrightarrow L_{1}^{{\prime}} i istnieje odcinek L_{2}\subset L_{1} taki że f(L_{2})=L_{1}^{{\prime}}, czyli f^{2}(L_{2})=I_{2}. Dalej postępujemy przez indukcje: mamy już L_{k}\subset I_{0} takie że f(L_{k})=I_{k}; skoro I_{k}\longrightarrow I_{{k+1}} to istnieje L_{k}^{{\prime}}\subset I_{k} takie że f(L_{k}^{{\prime}})=I_{{k+1}}. Wówczas L_{k}\longrightarrow L_{k}^{{\prime}} (przy f^{k}) więc istnieje L_{{k+1}}\subset L_{k} takie że f^{k}(L_{{k+1}})=L_{k}^{{\prime}}, czyli f^{{k+1}}(L_{{k+1}})=I_{{k+1}}.

Wniosek 4.1

Jeśli

I_{0}\longrightarrow I_{1}\longrightarrow I_{2}\dots\longrightarrow I_{{n-1}}\longrightarrow I_{0}

to istnieje punkt okresowy x o okresie n taki że x\in I_{0},f(x)\in I_{1}\dots f^{{n-1}}(x)\in I_{{n-1}}.

Ostatni wniosek służy do ”produkowania” orbit okresowych o zadanej trajektorii.

Udowodnimy następujące twierdzenie, pochodzące od Li i Yorka.

Twierdzenie 4.1 (”Okres 3 implikuje chaos”)

Załóżmy że f:I\to I ciągła i że f ma punkt o okresie 3. Wówczas f ma punkty okresowe o wszystkich okresach.

Oznaczmy orbitę o okresie 3 przez z_{1}<z_{2}<z_{3}. Załóżmy że f(z_{2})=z_{3}. Oznaczmy I_{1}=[z_{1},z_{2}],I_{2}=[z_{2},z_{3}]. Wówczas, skoro z_{1}\mapsto z_{2}\mapsto z_{3}, mamy I_{1}\longrightarrow I_{2},I_{2}\longrightarrow I_{1},I_{2}\longrightarrow I_{2}. Zatem możemy z naszym przekształceniem związać graf o dwóch wierzchołkach (1),(2) i strzałkach (1)\to(2),(2)\to 1,(2)\to(2). Po pierwsze, zauważmy że skoro (2)\to(2), to z wniosku powyżej wynika że f ma punkt stały zawarty w odcinku I_{2}.

Każdej pętli w grafie odpowiada jakiś punkt okresowy. Rozważmy więc pętlę (1)\to(2)\to(2)\to\dots\to(1). Z wniosku 4.1 wynika że istnieje orbita okresowa x_{0},x_{1},\dots x_{n}=x_{0} taka że x_{0}\in I_{1}, x_{i}\in I_{2} dla i=1,\dots,n-1. Sprawdzimy że n jest okresem podstawowym dla x_{0}. Jeśli x_{0}=x_{j} dla pewnego j<n, to (biorąc pod uwagę że jeden z tych punktów leży w I_{1} a drugi w I_{2}), x_{0} musi być wspólnym końcem odcinków I_{1} i I_{2}, x_{0}=z_{2}. To jednak jest niemożliwe. Istotnie, jeśli n=2 to f^{2}(x_{0})=x_{0} podczas gdy f^{2}(z_{2})\neq z_{2}. Jeśli zaś n\ge 3 to sprzeczność wynika z faktu że f^{2}(z_{2})=z_{1}\in I_{1}, podczas gdy f^{2}(x_{0})\in I_{2}.

4.2. Twierdzenie Szarkowskiego

W latach sześćdziesiątych ukraiński matematyk Szarkowski wykazał że istnieje pewien niestandardowy porządek liniowy w zbiorze liczb naturalnych, ”rządzacy” pojawianiem się punktów okresowych dla funkcji ciągłych określonych na odcinku.

Zaczniemy od wprowadzenia tego porządku.

Definicja 4.1

Porządek Szarkowskiego:

Najpierw liczby nieparzyste większe niż 1 ustawiamy w porządku malejącym:

3>_{s}5>_{s}7>_{s}9\dots

Następnie pojawiają się w tym porządku wszystkie liczby będące iloczynem dwójki i liczby nieparzystej (zaczynając od 2\cdot 3), liczby postaci 2^{2}\cdot liczba nieparzysta etc.

Mamy więc

3>_{s}5>_{s}7>_{s}9>_{s}\dots>_{s}2\cdot 3>_{s}2\cdot 5>_{s}2\cdot 7>_{s}\dots>_{s}2^{2}\cdot 3>_{s}s^{2}\cdot 5>_{s}2^{2}\cdot 7>_{s}\dots>_{s}2^{n}\cdot 3>_{s}2^{n}\cdot 5>_{s}\dots

W ten sposób uporządkowane zostały wszystkie liczby poza potęgami dwójki. Ustawiamy je na końcu, w porządku malejącym

\dots>_{s}2^{3}>_{s}2^{2}>_{s}2^{2}>_{s}2^{1}>_{s}2^{0}=1

Zatem: największą liczbą w tym porządku jest 3, zaś najmniejszą 1.

Możemy teraz sformułować

Twierdzenie 4.2

Twierdzenie Szarkowskiego.

Niech f:I\to\mathbb{R} będzie funkcją ciągłą. Wówczas, jeśli f ma punkt o okresie (podstawowym) n, to f ma punkty o wszystkich okresach mniejszych (w porządku Szarkowskiego) od n.

Uwaga 4.1

Oczywiście twierdzenie 4.1 jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Szarkowskiego. Liczba 3 jest największa w porządku Szarkowskiego, zatem istnienie punktu o okresie 3 implikuje istnienie punktów o wszystkich innych okresach.

4.3. Bifurkacja podwajania okresu. Obserwacja Feigenbauma

Z twierdzenia Szarkowskiego wynika że istnienie jednych orbit okresowych wynika istnienie innych i ze ”najwczesniejszymi” orbitami okresowymi sa orbity o okresach będących potęgami 2. W ”modelowej” rodzinie przekształeceń odcinka x\mapsto ax(1-x), a\in[0,4] obserwujemy pojawianie się kolejnych orbit okresowych o okresach 2^{n}; dokładniej- bifurkacja polega na tym że orbita okresowa przyciągająca o okresie 2^{{n-1}} staje się odpychająca (pochodna iteracji ma moduł większy od 1), a blisko niej - tworzy się nowa orbita przyciągająca, o dwukrotnie dluższym okresie. Niech a_{n} oznacza parametr w którym pojawia się orbita okresowa o okresie 2^{n}. Feigenbaum zauważył (choć nie umiał tego udowodnić) że ilorazy

\frac{a_{{n+1}}-a_{n}}{a_{n}-a_{{n-1}}} (4.1)

mają prawdopodobnie granicę. Zauważył też że ta granica pozostaje niezmieniona gdy rodzinę funkcji x\mapsto ax(1-x) zastąpił inną rodziną. Tę wspólną granicę ciągów (4.1) nazywa się stałą Feigenbauma.

Badania nad wyjaśnieniem tego zjawiska doprowadziły do rozpatrywania tzw. operatora renormalizacji (zdefiniowanego w odpowiedniej przestrzeni funkcji), wykazania istnienia punktu stałego dla tego operatora i hiperboliczności tego punktu stałego, oraz badania tzw rozmaitości stabilnej w tym punkcie. (Pojęcie hiperboliczności i rozmaitości stabilnych dla przekształceń określonych w \mathbb{R}^{m} bądź na rozmaitości pojawi sie w następnych rozdziałach; opis problemu renormalizacji wykracza jednak poza zakres tego wykładu).

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.