Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Układy dynamiczne – 5. Pola wektorowe na rozmaitościach. Zbiory graniczne i zbiór punktów niebłądzących. Pola gradientowe – MIM UW

Zagadnienia

5. Pola wektorowe na rozmaitościach. Zbiory graniczne i zbiór punktów niebłądzących. Pola gradientowe

Będziemy mówili o trajektoriach pola wektorowego na rozmaitości M zanurzonej w \mathbb{R}^{n}. Będziemy również zakładali że rozmaitość M jest zwarta. Z twierdzenia o przedłużaniu rozwiązań wynika że wówczas potok pola wektorowego \phi^{t} jest określony dla wszystkich czasów t\in\mathbb{R}. Mamy więc jednoparametrową rodzinę dyfeomorfizmów określonych na rozmiatości M.

Duża część rozważań ma jednak charakter lokalny, więc wystarczy wtedy wykazać odpowiednie twierdzenia dla pola określonego na otwartym podzbiorze \mathbb{R}^{m} i skorzystać z następującej obserwacji:

Stwierdzenie 5.1 (O trajektoriach pola w parametryzacji)

Niech X będzie polem wektorowym określonym na gładkiej, m-wymiarowej rozmaitości M zanurzonej w \mathbb{R}^{n}. Niech \psi bedzie parametryzacją otwartego podzbioru M. \psi jest zatem określone na otwartym podzbiorze \mathbb{R}^{m}. Rozważmy pole Y=\psi^{*}X, czyli Y określone na otwartym podzbiorze \mathbb{R}^{m} wzorem:

Y(p)=\psi^{*}X(p)=\left(D\psi(p)\right)^{{-1}}\left(X(\psi(p))\right)

Wówczas c(t) jest krzywą całkową równania \dot{x}=X(x) wtedy i tylko wtedy gdy \tilde{c}(t)=\psi\circ c(t) jest krzywą całkową równania \dot{x}=X(x).

Załóżmy że:

\frac{d}{dt}c(t)=Y(c(t))

Sprawdzamy że

\frac{d}{dt}\tilde{c}(t)=X(\tilde{c}(t))

Mamy

\frac{d}{dt}\psi(c(t))=D\psi(c(t))(\dot{c}(t))=D\psi(c(t))(Y(c(t))=(D\psi\circ Y)(c(t))=X(c(t))

Dowód odwrotnej implikacji jest analogiczny.

5.1. Zachowanie asymptotyczne trajektorii. Zbiór \omega-graniczny.

Definicja 5.1

Niech X bedzie polem wektorowym na rozmaitości gładkiej zwartej M, \phi^{t}- potokiem tego pola. Mówimy że y\in M jest punktem \omega- granicznym trajektorii x, y\in\omega(x) jeśli istnieje ciąg czasów t_{n}\to\infty taki że

\phi^{{t_{n}}}(x)\to y.
Twierdzenie 5.1 (Własności zbioru \omega-granicznego)

Niech X będzie polem wektorowym klasy C^{r} na zwartej rozmaitości M. Niech p\in M. Wówczas:

  • \omega(p)\neq\emptyset

  • \omega(p) jest domkniętym podzbiorem M.

  • \omega(p) jest niezmienniczym (ze względu na potok pola X) podzbiorem M, to znaczy \omega(p) jest sumą pewnych trajektorii pola X.

  • \omega(p) jest zbiorem spójnym.

Pierwsza własność wynika natychmiast ze zwartości M. Druga własność wynika z następującej obserwacji: jeśli \varphi _{t} jest potokiem pola X i \varphi _{{t_{n}}}(p)\to q dla pewnego ciągu t_{n}\to\infty, to

\varphi _{{t_{n}+t_{0}}}(p)=\varphi _{{t_{0}}}(\varphi _{{t_{n}}}(p)\to\varphi _{{t_{0}}}(q),

zatem \varphi _{{t_{0}}}(q)\in\omega(p). Spójność wykażemy niewprost: załózmy że \omega(p) jest sumą dwóch rozłącznych domkniętych zbiorów \omega(p)=A\cup B. Ponieważ są to domknięte rozłaczne podzbiory, możemy znależć otoczenia V_{1}\supset A, V_{2}\supset B takie że \overline{V_{1}}\cap\overline{V_{2}}=\emptyset. Ponieważ A\subset\omega(p) więc istnieje ciąg t_{n}\to\infty taki że \varphi _{{t_{n}}}(p)\in V_{1}. Ponieważ B\subset\omega(p), dla każdego t_{n} znajdzie się t^{{\prime}}_{{n}}>t_{n} taki że \varphi _{{t^{{\prime}}_{n}}}(p)\notin\{ V_{1}\cup V_{2}. Zatem (pamietamy że M\setminus(v_{1}\cup V_{2}) jest zwarty) istnieje punkt q\in\omega(p) w V_{1}\cup V_{2}. Otrzymujemy sprzeczność.

Przykład 5.1 (Obmotka na torusie)

Rozpatrzmy stałe pole wektorowe na \mathbb{R}^{2}: X(x,y)=(a,b). Trajektorie tego pola w \mathbb{R}^{2} to oczywiście proste (x(t),y(t)=(x_{0},y_{0})+t(a,b). To samo pole można rozważać na torusie - przestrzeni ilorazowej \mathbb{T}^{2}=\mathbb{R}^{2}/\mathbb{Z}^{2}. Trajektoriami na torusie są linie powstałe jako rzutowania prostych (x(t),y(t)=(x_{0},y_{0})+t(a,b). Jeślli iloraz \frac{a}{b} jest liczbą wymierną tokażda trajektoria na torusie jest okresowa. Jeśli iloraz jest niewymierny to każda trajektoria jest gęsta. W tym drugim przypadku mamy: \omega(x)=\mathbb{T}^{2} dla każdego x\in\mathbb{T}^{2}.

Definicja 5.2 (Zbiór punktów niebłądzących \Omega(X).)

Mówimy że punkt x\in M jest błądzący jeśli istnieje jego otoczenie U i t_{0}>0 że dla każdego t>t_{0} mamy \varphi^{t}(U)\cap U=\emptyset. Uzupelnienie zbioru punktów błądzących nazywamy zbiorem punktów niebłądzących i oznaczamy \Omega(X).

Uwaga 5.1

Zbiór \Omega(X) jest niezmienniczy ze względu na dzialanie pola X (tzn \varphi^{t}(\Omega(X))=\Omega(X)) i domknięty.

Uwaga 5.2

Oczywiście zbiór \omega(x) jest zawarty w \Omega(X).

5.2. Pola gradientowe

Przykład- potoki gradientowe

Niech M będzie gładką m- wymiarową podrozmaitością zanurzoną w \mathbb{R}^{n}. W przestrzeni stycznej do M mamy zdefiniowany iloczyn skalarny i normę dziedziczoną z \mathbb{R}^{n}. (Mamy więc strukturę Riemannowska dziedziczona z \mathbb{R}^{n}).

Niech f:M\to\mathbb{R} będzie funkcją klasy C^{{r+1}}. Wówczas różniczka f w punkcie p\in M , d_{p}f jest 1- formą (przekształceniem liniowym T_{p}M\to\mathbb{R}. Zatem istnieje dokładnie jeden wektor X(p) w przestrzeni stycznej T_{p}M, taki że d_{p}f(v)=\left<X(p),v\right>. Ten wektor nazywamy gradientem funkcji f w punkcie p. Otrzymujemy w ten sposób pole wektorowe klasy C^{r} na M. Jeśli funkcja f jest określona nie tylko w M, ale również na otoczeniu M w \mathbb{R}^{n}, to łatwo można związać gradient f_{{|M}} ze zwykłym wektorem gradientu w \mathbb{R}^{n}. Możemy policzyć ”zwykłą” różniczkę f w \mathbb{R}^{n}, Df, i ”zwykły” gradient Grad(f)=(\frac{\partial f}{\partial x_{1}},\dots\frac{\partial f}{\partial x_{n}}). Wówczas dla v\in T_{p}M

df(v)=Df(v)=\left<v,Gradf\right>=\left<v,v_{n}+v_{{st}}\right>=\left<v,v_{{st}}\right>

Zatem gradf (gradient f ”wzdłuż” rozmaitości M jest rzutem prostopadłym gradientu policzonego w przestrzeni \mathbb{R}^{n}, Gradf, na przestrzeń styczną do M.

Definicja 5.3

Punkt q jest punktem osobliwym pola wektorowego X jeśli X(q)=0.

Stwierdzenie 5.2 (Własności pola gradientowego)

Niech M\subset\mathbb{R}^{n} będzie gładką rozmaitością, f:M\to\mathbb{R}-funkcją klasy C^{{r+1}} na M,zaś X=gradf- gradientowym polem wektorowym (klasy C^{r} na M. Wówczas

  • Pole gradientowe X nie ma trajektorii zamkniętych.

  • Dla każdego p\in M zbiór \omega- graniczny \omega(p) jest zawarty w zbiorze punktów osobliwych pola X.

Zauważmy że dla każdej trajektorii pola \phi^{t}(x) mamy:

\frac{d}{dt}f(\phi^{t}(x)=df(\dot{\phi}^{t}(x))=df(gradf(\phi^{t}(x)=<gradf(\phi^{t}(x)),gradf(\phi^{t}(x))>\ge 0.

Zatem funkcja f jest niemalejąca wzdłuż każdej trajektorii, a dokładniej- ściśle rosnąca wzdłuż każdej ”niestacjonarnej trajektorii”.

Wynika stąd oczywiście że pole nie ma orbit zamkniętych.

Załóżmy teraz że punkt y\in\omega(x) i X(y)\neq 0. Wowczas w otoczeniu punktu y poziomica N funkcji f przechodząca przez y jest podrozmaitością M prostopadła do linii pola X. Z twierdzenia o prostowaniu trajektorii wynika że każda trajektoria pola startujaca dostatecznie blisko punktu y musi przeciąć poziomicę N. Jeśli y\in\omega(x) to trajektoria x, \phi^{t}(x) musi zatem przeciąć nieskończenie wiele razy poziomicę N. Ponieważ jednak, jak już wiemy, funkcja f jest ściśle rosnąca wzdłuż tej trajektorii, jest to oczywiście niemożliwe.

Przykład 5.2

Pole gradient wysokości na sferze. To pole ma dwa punkty osobliwe N i S. Punkt N jest źródłem, punkt S-ściekiem. Dla każdego punktu x\neq N mamy \omega(x)=\{ S\} (rysunek  5.1)

Pole gradient wysokości na sferze dwuwymiarowej
Rys. 5.1. Gradient wysokości na sferze.
Przykład 5.3

Pole wektorowe gradientowe na postawionym torusie. Tu f(x,y,z)=-z. To pole ma cztery punkty stacjonarne: N,S,R,Q. N jest źródłem, S-ściekiem, R,Q- siodłami. Zauważmy że tym razem zbiór \omega- graniczny zależy od punktu, w szczególności istnieją punkty dla ktorych \omega(x) jest siodłem. Istnieja też połączenia między siodlami- trajektorie \phi^{t}(x) takie że dla t\to-\infty \phi^{t}(x)\to R, zaś dla t\to\infty \phi^{t}(x)\to Q. (rysunek  5.2).

Pole gradient wysokości na torusie dwuwymiarowym
Rys. 5.2. Gradient wysokości na torusie.

5.3. Cięcia transwersalne i przekształcenie Poincare'go w otoczeniu orbity okresowej

Rozważmy pole wektorowe X klasy C^{r} określone (dla uproszczenia) w otwartym podzbiorze \mathbb{R}^{m}. Niech \gamma będzie zamkniętą trajektorią tego pola, t_{0}- okresem tej trajektorii, p\in\gamma. Możemy założyć że X_{m}(p)\neq 0. Rozważmy hiperpowierzchnię \Sigma=\{ x:x_{m}=p_{m}\}. Zatem pole jest w punkcie p transwersalne do \Sigma. Dla x bliskich p trajektoria pola wychodząca z x wróci po czasie bliskim t_{0} do \Sigma. Formalne sprawdzenie: Niech \varphi^{t} będzie potokiem pola X, określamy funkcję

\Psi(x,t)=\varphi^{t}_{m}(x)-p_{m}

Wówczas \psi(t,x)=0\iff\varphi^{t}(x)\in\Sigma i \psi(t_{0},p)=0.

Mamy

\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)_{{(p,t_{0})}}=\frac{\partial}{\partial t}\varphi^{t}_{m}(x)_{{(p,t_{0})}}=X_{m}(p)\neq 0

Zatem- z twierdzenia o funkcji uwikłanej wynika że istnieje otoczenie (p,t_{0}) w \Sigma\times\mathbb{R} w którym to równanie wyznacza t jako funkcję x, tej samej klasy co X. Oznaczamy tę funkcję \tau(x).

Mamy więc w otoczeniu p w \Sigma zdefiniowane przekształcenie klasy C^{r}:

x\mapsto\varphi^{{\tau(x)}}(x)

Nazywamy je przekształceniem Poincare'go, oznaczenie: P_{p}.

Pytamy o związek między wartościami własnymi dla pochodnej przekształcenia Poincare'go w punkcie p i różniczki potoku pola: D\varphi^{{t_{0}}}(p).

Wiemy już że jedną z wartości własnych D\varphi^{{t_{0}}}(p) jest 1, bo D\varphi^{{t_{0}}}(p)(X(p))=X(p).

Twierdzenie 5.2

Wartości własne różniczki D\varphi^{{t_{0}}}(p), różne od 1, są takie same jak wartości własne rózniczki DP_{p}(p).

W R^{m} wprowadzamy układ współrzędnych, w którym jednym z wektorów bazowych jest X(p), a pozostałe wektory- to baza \Sigma. Weźmy wektor styczny dla \Sigma, ma on postać (w układzie współrzędnych w \mathbb{R}^{m} z wyróżnioną ostatnią współrzędną) (v,0). Różniczka D\varphi^{{t_{0}}} w tej bazie to

D\varphi^{{t_{0}}}=\left(\begin{array}[]{rrrr}A&0\\
\alpha&1\\
\end{array}\right) (5.1)

Tutaj A jest macierzą (n-1)\times(n-1). Przekształcenie Poincarego P(x)=\varphi(\tau(x),x). Zatem

D_{p}P(v,0)=X(p)D\tau(p)(v,0)+\frac{\partial\varphi}{\partial x}(p,\tau(p))(v,0)=X(p)D\tau(p)(v,0)+\left(\begin{array}[]{rrrr}A&0\\
\alpha&1\\
\end{array}\right)\left[\begin{array}[]{rrrr}v\\
0\\
\end{array}\right]

Skądinąd wiemy że obrazem D_{p}P(v,0) musi byc wektor styczny do \Sigma, więc współrzedna w kierunku pola X znika i ostatecznie

D_{p}P(v,0)=(Av,0)

To zaś oznacza że D_{p}P ma takie same wartości własne jak różne od 1 wartości własne D\varphi^{{t_{0}}}(p).

Definicja 5.4

Mówimy że orbita okresowa \gamma, o okresie t_{0} pola X jest hiperboliczna jeśli dla punktu p\in\gamma różniczka D\varphi^{{t_{0}}}(p) ma tylko jedną -pojedynczą wartość własną równą 1. Równoważnie- jeśli dla cięcia Poincare'go \Sigma różniczka przekształcenia Poincare'go P nie ma wartości własnych różnych od 1.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.