Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Układy dynamiczne – 6. Rozmaitości stabilne i niestabilne. Twierdzenia o ich istnieniu i własnościach – MIM UW

Zagadnienia

6. Rozmaitości stabilne i niestabilne. Twierdzenia o ich istnieniu i własnościach

6.1. Hiperboliczne punkty stałe i stacjonarne

Definicja 6.1

Niech V będzie przestrzenią liniową skończonego wymiaru nad \mathbb{R} (albo nad \mathbb{C}), niech L:V\to V będzie odwracalnym przekształceniem liniowym. Mówimy że L jest przekształceniem hiperbolicznym jeśli wszystkie wartości własne L mają moduł różny od 1.

Definicja 6.2

Niech f będzie dyfeomorfizmem określonym na otoczeniu 0 w \mathbb{R}^{m}, takim że f(p)=0 i różniczka Df(p) jest hiperbolicznym przekształceniem liniowym. Wówczas mówimy że p jest hiperbolicznym punktem stałym dla f. Jeśli p jest okresowy dla f, f^{k}(p)=p i różniczka Df^{k}(p) jest hiperbolicznym przekształceniem liniowym, to mówimy że p jest hiperbolicznym punktem okresowym.

Definicja 6.3

Jeśli f jest dyfeomorfizmem rozmaitości M, f(p)=p to mówimy że f jest punktem stałym hiperbolicznym jeśli dla mapy \varphi, określonej na otoczeniu zera, takiej że \varphi(0)=p, punkt 0 jest hiperbolicznym punktem stałym przekształcenia \varphi^{{-1}}\cdot f\cdot\varphi (ta definicja nie zależy od wyboru mapy!)

Definicja 6.4

Niech X będzie polem wektorowym klasy C^{1}, określonym w pewnym otoczeniu p w \mathbb{R}^{m} takim że X(p)=0 i rózniczka A pola X w punkcie p (rozumianego jako funkcja o wartościach w \mathbb{R}^{m}) nie ma wartości własnych o zerowej części rzeczywistej. Taki punkt stacjonarny p nazywamy hiperbolicznym.

Definicja 6.5

Niech X będzie polem wektorowym klasy C^{1}, określonym w pewnym otoczeniu p\in M (M- gładka rozmaitość). X(p)=0. Mówimy że p jest punktem stacjonarnym hiperbolicznym dla pola X jeśli dla mapy \varphi określonej na otoczeniu zera, takiej że \varphi(0)=p, punkt 0 jest punktem stacjonarnym hiperbolicznym dla pola \varphi^{*}(X) (ta definicja nie zależy od wyboru mapy).

6.2. Twierdzenia Grobmana- Hartmana

To twierdzenie jest znane z kursu Jakościowej Teorii Równań Różniczkowych; przytaczamy je w wersji potrzebnej do naszych celów i podajemy szkic dowodu.

Twierdzenie 6.1 (Twierdzenie Grobmana-Hartmana o lokalnej stabilności)
  • Wersja dla dyfeomorfizmów: Niech f będzie dyfeomorfizmem określonym na otoczeniu 0 w \mathbb{R}^{m},takim że f(0)=0 i różniczka Df(0) jest hiperbolicznym przekształceniem liniowym. Wówczas istnieje homeomorfizm h określony w pewnym otoczeniu zera U taki że dla x\in U mamy:

    h\circ f(x)=L\circ h(x)
  • Wersja dla potoków: Niech X będzie polem wektorowym klasy C^{1}, określonym w pewnym otoczeniu zera w \mathbb{R}^{m} takim że X(0)=0 i rózniczka A pola X w punkcie 0 (rozumianego jako funkcja o wartościach w \mathbb{R}^{m}) nie ma wartości własnych o zerowej części rzeczywistej. Wówczas istnieje homeomorfizm h określony w pewnym otoczeniu zera U taki że dla x\in U potok varphi^{t} pola wektowego X jest sprzężony przez hR z potokiem \psi^{t} pola liniowego z macierzą A (czyli z potokiem x\mapsto\psi^{t}(x)=\exp(tA)x).

Podamy najpierw szkic dowodu dla dyfeomorfizmów.

Lemat 6.1

Niech V będzie przestrzenią Banacha. Niech \mathcal{L} będzie przekształceniem liniowym ciągłym \mathcal{L}:V\to V, takim że ||\mathcal{L}||<a<1, niech G będzie odwracalnym przekształceniem liniowym takim że ||G^{{-1}}||<a<1. Wówczas

  1. I+\mathcal{L} jest odwracalne i ||(I+\mathcal{L})^{{-1}}||\le\frac{1}{1-a}

  2. I+G jest odwracalne i ||(I+G)^{{-1}}||\le\frac{a}{1-a}

Lemat 6.2

Dla hiperbolicznego przekształcenia liniowego L:\mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{m} istnieje norma w \mathbb{R}^{m} taka że jeśli \mathbb{R}^{m}=E^{s}\oplus E^{u} jest rozkładem na (niezmiennicze) podprzestrzenie odpowiadające wartosciom własnym mniejszym (większym) co do modułu od 1, to ||L||_{{|E^{s}}}<a<1, ||L^{{-1}}||_{{|E^{u}}}<a<1

Następujące Stwierdzenie jest kluczowym krokiem dowodu:

Stwierdzenie 6.1

Niech L będzie hiperbolicznyn przekształceniem liniowym Istnieje \varepsilon>0 takie że jeśli \varphi\in C_{b}(\mathbb{R}^{m}) spełnia warunek Lipschitza ze stałą mniejszą niż \varepsilon, to L i L+\varphi są topologicznie sprzężone w \mathbb{R}^{m} czyli istnieje homeomorfizm h:\mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{m} taki że

h\circ L=(L+\varphi)\circ h

Szukamy homeomorfizmu h w postaci h=I+u, gdzie u\in C_{b}(\mathbb{R}^{m}). Żądamy więc aby

(I+u)\circ L=(L+\varphi)(I+u) (6.1)

czyli

L+u\circ L=L+L\circ u+\varphi(I+u),
\varphi(I+u)=u\circ L-L\circ u. (6.2)

Sprawdzimy że równanie (6.2) ma dokładnie jedno rozwiązanie w C_{b}(\mathbb{R}^{m}). Rozpatrzmy przekształcenie liniowe \mathcal{L}:C_{b}(\mathbb{R}^{m})\to C_{b}(\mathbb{R}^{m}) określone \mathcal{L}(u)=u\circ L-L\circ u.

Lemat 6.3

Przekształcenie \mathcal{L} jest odwracalne. Ponadto

||\mathcal{L}^{{-1}}||\le\frac{||L^{{-1}}||}{1-a}.

Możemy zapisać

\mathcal{L}(u)=L\circ(u-L^{{-1}}\circ u\circ L),

czyli jako złożenie dwóch operacji: najpierw u\mapsto u-L^{{-1}}\circ u\circ L, potem v\mapsto L\circ v. Wystarczy ozywiście sprawdzić że ta pierwsza operacja jest odwracalna, a w tym celu wystarczy sprawdzić że przekształcenie liniowe u\mapsto L^{{-1}}\circ u\circ L ma normę mniejszą niż 1. Możemy zapisać u=u^{s}+u^{u} (korzystając z rozkładu \mathbb{R}^{m}=E^{s}\oplus E^{u}), i rozłożyć w ten sposób przestrzeń C_{b}(\mathbb{R}^{m}) na sumę prostą F_{1}\oplus F_{2}. Nasze przekształcenie zachowuje ten rozkład. Funkcja u^{s} jest przekształcana na L^{{-1}}u^{s}L To ostatnie przekształcenie jest odwracalne (odwrotne to oczywiście u\mapsto L\circ u\circ L^{{-1}}) i ma normę mniejszą niż 1. Z lematu 6.1 wynika że \mathcal{L}_{{|F_{1}}} jest odwracalne. Podobnie sprawdzamy że \mathcal{L}_{{|F_{2}}} jest odwracalne.

Szukane u jest postaci

u=\mathcal{L}^{{-1}}(\varphi(I+u).

Zauważmy że, przy małym \varepsilon, przekształcenie u\mapsto\mathcal{L}^{{-1}}(\varphi(I+u)) jest kontrakcją. Tak jest bo

||\mathcal{L}^{{-1}}\varphi(I+u_{1})-\mathcal{L}^{{-1}}\varphi(I+u_{2})||\le||\mathcal{L}^{{-1}}||\varepsilon||u_{1}-u_{2}||

Stąd wynika że istnieje dokładnie jeden punkt stały tego przekształcenia w C_{b}(\mathbb{R}^{m}). Otrzymujemy zatem u spełniające (6.1). Do końca dowodu potrzeba wykazać że I+u jest homeomorfizmem. Możemy w tym celu skorzystać z jedyności rozwiązania. Zauważamy (należy to sprawdzić) że w ten sam sposób jak powyżej można uzyskać również jedyne rozwiązanie nieco ogólniejszego zagadnienia:

(L+\varphi _{1})\cdot(I+v)=(I+v)\cdot(L+\varphi _{2})

(o ile \varphi _{1}, \varphi _{1} spełniają warunek Lipschitza z odpowiednio małą stałą). Zatem, jeśli v spełnia

(L)\cdot(I+v)=(I+v)\cdot(L+\varphi)

to

(I+u)(I+v)(L+\varphi)=(I+u)L(I+v)=(L+\varphi)(I+u)(I+v)

To złożenie (I+u)(I+v) jest oczywiście postaci I plus jakaś funkcja z C_{b}(\mathbb{R}^{m}), i - sprzęga L+\varphi z samym sobą. Z jedyności rozwiązania wynika że

(I+u)(I+v)=I

Tak samo sprawdzamy że (I+v)(I+u)=I. W takim razie I+u jest homeomorfizmem.

Dla zakończenia dowodu twierdzenia należy jeszcze wykazać

Lemat 6.4

Jeśli f spełnia założenia twierdzenia to dla dowolnego \varepsilon>0 istnieje przedłużenie f z pewnego otoczenia zera U na całe \mathbb{R}^{m}, postaci L+\varphi, gdzie \varphi\in C_{b}(\mathbb{R}^{m}) i stała Lipschitza \varphi nie przekracza \varepsilon.

Dowód polega na zastosowaniu standardowej procedury: Weźmy funkcję S klasy C^{\infty} określoną w (0,\infty) taką że S(x)=1 dla x\in(0,\frac{1}{2}], S(x)=0 dla x\ge 1. Oczywiście S spełna warunek Lipschitza z pewną stała C. Ponieważ Df(0)=L to funkcja \psi=f-L spełnia \psi(0)=0, D\psi(0)=0; ||D\psi(x)||<\frac{\varepsilon}{2C} jeśli ||x||<\delta i \delta jest odpowiednio bliskie zera.

Wówczas funkcja

\varphi(x)=S(\frac{||x||}{\delta})\cdot\psi(x)

jest szukanym rozszerzeniem.

Pozostaje udowodnić twierdzenie dla potoku pola wektorowego.

Wystarczy udowodnić twierdzenie dla pola wektorowego określonego w otoczeniu zera w \mathbb{R}^{m}. Rozważmy więc równanie różniczkowe zadane przez

\dot{x}=g(x)

gdzie g(0)=0 i macierz A=Dg(0) nie ma wartości własnych o zerowej części rzeczywistej.

Podobnie jak poprzednio, modyfikujemy funkcje g do \tilde{g}. Funkcja \tilde{g} jest równa g na pewnym otoczeniu zera i równa A poza pewnym (większym) otoczeniem zera.

Niech \varphi^{t} będzie potokiem pola wektorowego wyznaczonego przez funkcje \tilde{g}. Nierówność Gronwalla gwarantuje że rozwiązania równania przedłużają się do nieskończoności (dlaczego?), zatem potok jest dobrze określony dla wszystkich t.

Sprawdzimy (poniżej) że dyfeomorfizm \varphi^{1} spełnia założenia Stwierdzenia 6.1. Istnieje więc homeomorfizm h sprzęgający \varphi^{1} z jego częscią liniową L=\exp A; \varphi^{1}\circ h=h\circ\varphi^{1} Ten homeomorfizm sprzęga również całe potoki, tzn. \varphi^{t}\circ h=h\circ\varphi^{t}. Aby to sprawdzić, zauważmy że jeśli zdefiniować \tilde{h}=\varphi^{t}\circ h\circ e^{{-At}} to \tilde{h} jest również sprzężeniem między \varphi^{1} z jego częscią liniową L=\exp A.

Istotnie:

\varphi^{1}\circ\tilde{h}=\varphi^{1}\circ\varphi^{t}\circ h\circ e^{{-At}}=\varphi^{t}\circ\varphi^{1}\circ h\circ e^{{-At}}=\varphi^{t}\circ h\circ e^{{-At}}\circ e^{A}=\tilde{h}\circ e^{A}

Ale \tilde{h} jest, podobnie jak h małym (tzn. ograniczonym) zaburzeniem identyczności (pamiętamy że teraz t jest ustalone):

\tilde{h}-I=\varphi^{t}(I+u)\circ e^{{-At}}-I=(\varphi^{t}-e^{{At}})\circ h\circ e^{{-At}}+e^{{At}}(h-I)\circ e^{{-At}}

Pierwszy składnik jest ograniczony bo różnica w nawiasie jest równa zero dla argumentów o dużym module. Drugi składnik jest ograniczony bo (h-I) jest ograniczone. Z jedyności sprzężenia w pierwszej, juz udowodnionej części twierdzenia, wynika że \tilde{h}=h.

Pozostaje więc do sprawdzenia że dyfeomorfizm \varphi^{1} spełnia założenia Stwierdzenia 6.1. Zapisując \tilde{g}=A+r, mamy

\frac{d}{dt}\left(e^{{-At}}\varphi^{t}(x)\right)=-Ae^{{-At}}\varphi^{t}(x)+e^{{-At}}(A+r)\varphi^{t}(x)=a^{{-At}}r\varphi^{t}(x)

Wiec:

e^{{-At}}\varphi^{t}(x)=\int _{{s=0}}^{t}e^{{-As}}r(\varphi^{s}(x))ds+e^{{-A\cdot 0}}\varphi^{0}(x)

czyli

\varphi^{t}(x)=e^{{At}}x+\int _{{s=0}}^{t}e^{{A(t-s)}}r(\varphi^{s}(x))ds
\varphi^{t}(x)=Lx+\tilde{r}

gdzie \tilde{r}=\int _{{s=0}}^{1}e^{{A(1-s)}}r(\varphi^{s}(x))ds. Jeśli r jest lipschitzowskie z mała stała, to \tilde{r}- też.

6.3. Twierdzenie Hadamarda-Perrona

Twierdzenie Grobmana -Hartmana gwarantuje istnienie lokalnych zbiorów stabilnych i niestabilnych- są to obrazy przy homeomorfizmie h podprzestrzeni liniowych E^{s} i E^{u}. Możemy więc wywnioskować że są to topologiczne podrozmaitości. W istocie- są to podrozmaitości różniczkowalne, tej samej klasy co wyjściowe przekształcenie.

Definicja 6.6

Niech f będzie dyfeomorfizmem klasy C^{r}, określonym na otoczeniu punktu p\in\mathbb{R}^{m}. Zakładamy że f(p)=p i że różniczka Df(p) jest hiperbolicznym przekształceniem liniowym. Dla \beta>0 określamy

W^{s}_{\beta}(p)=\{ x\in B_{\beta}(p):f^{n}(x)\in B_{\beta}(p)\forall n\ge 0
W^{u}_{\beta}(p)=\{ x\in B_{\beta}(p):f^{n}(x)\in B_{\beta}(p)\forall n\le 0

Zbiory te nazywamy- odpowiednio- stabilną i niestabilną lokalną rozmaitością punktu p,

Twierdzenie ponizej uzasadnia nazwę

Twierdzenie 6.2 (Twierdzenie Hadamarda-Perrona)

Niech f będzie dyfeomorfizmem klasy C^{r}, określonym na otoczeniu punktu p\in\mathbb{R}^{m}. Zakładamy że f(p)=p i że różniczka Df(p) jest hiperbolicznym przekształceniem liniowym. Wówczas, dla małego \beta, zbiory W^{s}_{\beta}(p) i W^{u}_{\beta}(p) są różniczkowalnymi podrozmaitościami klasy C^{r}. Przestrzenią styczną do W^{s}_{\beta}(p) w punkcie p jest E^{s}, przestrzenią styczną do W^{u}_{\beta}(p) w punkcie p jest E^{u}.

Ponadto, dla x\in W^{s}_{\beta}(p) mamy f^{n}(x)\to p gdy n\to+\infty; dla x\in W^{u}_{\beta}(p) mamy f^{n}(x)\to p gdy n\to-\infty

6.4. Globalne rozmaitości stabilne i niestabilne

Niech teraz f będzie dyfeomorfizmem gładkiej m- wymiarowej rozmaitości M i niech p będzie punktem stałym hiperbolicznym. Wówczas istnieją lokalne rozmaitości- stabilna i niestabilna- punktu p. Są to obrazy przy parametryzacji odpowiednich rozmaitości skonstruowanych dla przedstawienia f w mapie: \tilde{f}=\circ f\circ\varphi^{{-1}}. Są to więc C^{r}- podrozmaitości M.

Definicja 6.7

Globalną rozmaitością stabilną punktu stałego hiperbolicznego nazywamy zbiór

W^{s}(0)=\{ x\in M:f^{n}(x)\to p~~{\rm gdy}~~n\to+\infty\}

Zatem:

W^{s}(p)=\bigcup _{{k=0}}^{\infty}f^{{-k}}(W^{s}_{\beta}(p))

Wykażemy

Twierdzenie 6.3

Jeśli p jest hiperbolicznym punktem stałym dla dyfeomorfizmu f klasy C^{r} na rozmaitości M, to W^{s}(p) jest immersyjną podrozmaitością M, klasy C^{r}.

Niech \psi bedzie parametryzacją otoczenia p w W^{s}_{\beta}(p) (już wiemy że W^{s}_{\beta}(p) jest podrozmaitością). \psi jest zatem określone na otwartym podzbiorze W\subset\mathbb{R}^{s}; można założyć że \psi(0)=p. Różniczka D\psi ma rząd s. Rozpatrzmy

g=\psi^{{-1}}\circ f\circ\psi (6.3)

Różniczka Dg ma wszystkie wartości własne mniejsze co do modułu od 1 (dlaczego?). Wówczas niekoniecznie norma różniczki Dg(0) jest mniejsza niż 1 (klatki Jordana!) ale można zmienić normę w R^{s}, aby to uzyskać (taka zmiana normy była juz w dowodzie twierdzenia Grobmana-Hartmana). Wówczas istnieje otoczenie zera U takie że dla każdego x\in U ||Dg(x)||<1.

Ćwiczenie 6.1

Istnieje rozszerzenie przekształcenia g do \hat{g} określonego na całym \mathbb{R}^{s} takie że \hat{g} jest dyfeomorfizmem R^{s} i ||D\hat{g}||<\alpha<1.

Używając \hat{g} budujemy immersję \psi:\mathbb{R}^{s}\to W^{s}(p) , to znaczy różniczkowalne przekształcenie róznowartościowe i takie że w każdym punkcie różniczka ma maksymalny, równy s rząd:

\psi(x)=f^{{-m}}\circ\psi\circ\hat{g}^{m}(x)

Ponieważ dla każdego x istnieje m takie że \hat{g}^{m}(x)\in W, rozszerzenie \psi jest określone dla wszystkich x. Poprawność definicji wynika z określenia g (6.3).

Zdefiniujemy teraz rozmaitości stabilne i niestabilne dla elementów krytycznych (tzn. punktów stacjonarnych i orbit zamkniętych) pól wektorowych.

Niech X będzie polem klasy C^{r} na gładkiej zwartej rozmaitości M, niech \varphi^{t} bedzie potokiem tego pola. Niech p będzie hiperbolicznym punktem stacjonarnym X.

Definicja 6.8

Globalną rozmaitością stabilną (niestabilną) dla p nazywamy zbiór

W_{X}^{s}(p)=\{ x:\varphi^{t}(x)\to p~~{\rm gdy}~~t\to+\infty\}

(odpowiednio dla W^{u}_{X}(p) t\to-\infty).

Twierdzenie 6.4

Przy powyższych założeniach, W^{s}(p), W^{u}(p) są immersyjnymi podorozaitościami M, tej samej klasy co pole wektorowe X.

Dowód wynika z wykazanego już faktu dla dyfeomorfizmów i z następującego faktu (pozostawiamy udowodnienie jako zadanie)

Ćwiczenie 6.2

Przy założeniach jak powyżej- niech f=\varphi^{1} będzie ”dyfeomorfizmem po czasie 1 dla pola X. (Wówczas oczywiście f(p)=p i p jest punktem stałym hiperbolicznym dla f). Wtedy

W^{s}_{X}(p)=W^{s}_{f}(p)

(i tak samo dla W^{u})); przez W^{s}_{f}(p) oznaczyliśmy globalną rozmaitość stabilną punktu p dla f.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.