Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Układy dynamiczne – 7. Pola Morse'a-Smale'a. Dyfeomorfizmy Morse'a- Smale'a. – MIM UW

Zagadnienia

7. Pola Morse'a-Smale'a. Dyfeomorfizmy Morse'a- Smale'a. \Omega-eksplozja i podkowa Smale'a

7.1. Pola wektorowe i dyfeomorfizmy Morse'a- Smale'a

Definicja 7.1

Niech M będzie zwartą rozmaitością wymiaru n, zaś X- polem wektorowym klasy C^{r} na M. Mówimy że X jest polem Morse'a-Smale'a jeśli

  • 1 X ma skończenie wiele elementów krytycznych i wszystkie elementy krytyczne są hiperboliczne.

  • 2 Jeśli \sigma _{1}, \sigma _{2} są elementami krytycznymi, to rozmaitości W^{u}(\sigma _{1}), W^{s}(\sigma _{2}) przecinają się transwersalnie.

  • 3 \Omega(X)- zbiór punktów niebłądzących- jest sumą elementów krytycznych.

Dla dyfeomorfizmów mamy odpowiednio definicję:

Definicja 7.2

Dyfeomorfizm f:M\to M jest dyfeomorfizmem Morse'a-Smale'a jeśli:

  • 1 f ma skończenie wiele punktów okresowych i wszystkie są hiperboliczne.

  • 2 Wszystkie przecięcia W^{s}(p)\cap W^{u}(q) są transwersalne

  • 3 \Omega(f)=Per(f)

Jak wiemy, jeśli X jest polem wektorowym na zwartej rozmaitości, to X generuje rodzinę dyfeomorfizmów (potok pola) \varphi^{t}. Warto w tym miejscu zastanowić się czy jeśli X jest polem Morse'a Smale'a to dyfeomorfizm \varphi^{t} jest dyfeomorfizmem Morse'a Smale'a. Łatwo sprawdzić że mamy

Ćwiczenie 7.1

Niech X będzie polem wektorowym Morse'a -Smale'a na zwartej gładkiej rozmaitości M. Wówczas dyfeomorfizm \varphi^{t} (t\neq 0) jest dyfeomorfizmem Morse'a Smale'a wtedy i tylko wtedy gdy X nie ma orbit zamkniętych (tzn zbiór elementów krytycznych X składa się tylko z punktów krytycznych).

W rozdziale trzecim uzyskaliśmy pełną charakteryzację C^{1} strukturalnie stabilnych dyfeomorfizmów i pól wektorowych na okręgu (okazało się że są to dokładnie pola wektorowe i dyfeomorfizmy Morse'a - Smale'a). Zatem- naturalne jest pytanie czy te wyniki przenoszą sie na przypadek wyższych wymiarów.

Mamy następujące twierdzenie, wykazane przez J. Palisa (nie będziemy go tu dowodzić):

Twierdzenie 7.1 (O otwartości zbiorów dyfeomorfizmów i pól wektorowych Morse'a-Smale'a)

Niech M będzie gładką zwartą rozmaitościa. Wówczas dla każdego r\ge 1 zbiór dyfeomorfizmów Morse'a -Smale'a klasy C^{r} jest niepusty oraz otwarty w przestrzeni Diff_{r}(M). Podobnie, zbiór pól wektorowych Morse'a -Smale'a klasy C^{r} jest niepusty i otwarty w przestrzeni {\mathcal{F}}^{r}(M) pól wektorowych klasy C^{r} na M.

Twierdzenie 7.2

Jeśli X jest polem Morse'a -Smale'a to X jest (C^{1}) strukturalnie stabilne. Podobnie, jeśli f jest dyfeomorfizmem Morse'a -Smale'a to f jest strukturalnie stabilne.

Różnica pomiędzy sytuacją jednowymiarową (okrąg) a ogólną polega jednak na tym, że w ogólnym przypadku dyfeomorfizmy i pola wektorowe Morse'a Smale'a nie stanowią zbioru gęstego i nie wypełniają wszystkich przykładów strukturalnie stabilnych.

7.2. \Omega-eksplozja

Zajmiemy się teraz opisaniem ważnego przykładu (który jednocześnie pokazuje dlaczego w wyższych wymiarach nie można spodziewać się gęstości dyfeomorfizmów Morse'a-Smale'a.

Twierdzenie 7.3 (\Omega-eksplozja)

Na rozmaitości M wymiaru d\ge 2 dyfeomorfizmy Morse'a-Smale'a nie są gęste w przestrzeni dyfeomorfizmów Dff^{1}(M).

szkic

Rozważamy na sferze \mathbb{S}^{2} pole wektorowe X które ma cztery punkty krytyczne. Punkty s_{1} i s_{2} są ściekami, punkt s_{3} jest siodłem, zaś s_{4}-źródłem. Ponadto istnieje trajektoria dla której zbiorem \alpha i \omega-granicznym jest ten sam punkt S_{3}- bowiem globalne rozmaitości stabilna i niestabilna punktu s_{3} pokrywają się. Niech \varphi^{t} będzie potokiem tego pola; oznaczmy przez f=\varphi^{1} ”dyfeomorfizm po czasie 1”. Na rysunkach  7.1 i  7.2 przedstawiono portret fazowy wyjściowego pola wektorowego (widziany na płaszczyźnie i na sferze).

Potok pola $\varphi^{t}$ \emph{widziany} na płaszczyźnie
Rys. 7.1. Potok pola \varphi^{t}.
Potok pola $\varphi^{t}$ \emph{widziany} na sferze
Rys. 7.2. Potok pola \varphi^{t}.

Zaburzymy teraz dyfeomorfizm f w ten sposób że punkt s_{3} pozostanie siodłem, ale dla nowego zaburzonego przekształcenia (oznaczanego dalej przez g) W^{u}(s_{3}) będzie przecinać się z W^{s}(s_{3}) transwersalnie.

Wybieramy punkt p\in W^{u}(s_{3}) i otoczenie punktu p takie że f^{{-1}}(U)\cap U=\emptyset. Uzyjemy ”lokalnej deformacji”- przekształcenia (dyfeomorfizmu) i takiego że i={\rm id} poza U oraz, dodatkowo, i(p)=p, ale i(W^{u}(s_{3}))\cap U przecina teraz tranwersalnie (W^{u}(s_{3})\cap U w punkcie p. (Mowiąc nieformalnie, i ”wykrzywilo” lokalnie rozmaitość W^{u}(s_{3})). Na rysunkach  7.3 i  7.4 przedstawiono deformację i i efekt jej zastosowania.

Zaburzenie $i$.
Rys. 7.3. Zaburzenie i.
Przekstałcenie $g$. Rozmaitości stabilna i niestabilna punktu $s_{3}$.
Rys. 7.4. Przekształcenie g. Teraz rozmaitości stabilna i niestabilna punktu s_{3} przecinają się transwersalnie .

Rozpatrujemy teraz dyfeomorfizm g=i\circ f. Zauważmy że g pokrywa się z f poza zbiorem f^{{-1}}(U). W wyniku tej deformacji globalna rozmaitość niestabilna (zdefiniowana, przypomnijmy, jako \bigcup g^{n}(W^{u}_{{loc}}) zmienia się w otoczeniu punktu p (dokładniej- ten fragment rozmaitości niestabilnej, który jest zawarty w U zostanie zastąpiony przez jego obraz przy przekształceniu i). Natomiast fragment rozmaitości stabilnej W^{s}(s_{3}) zawarty w U pozostanie niezmieniony. Pojawi się zatem w punkcie p transwersalne przecięcie rozmaitości stabilnej i niestabilnej (rysunki  7.3 i  7.4).

Zauważamy teraz

Stwierdzenie 7.1

Punkt p jest niebłądzacy dla zaburzonego przekształcenia g.

Niech W\subset U będzie małym otoczeniem p ; l niech będzie fragmentem rozmaitości niestabilnej W^{u}(s_{3}) zawartym w W. Rozpatrujemy kolejne obrazy l przy przekształceniu g (rysunek  7.4). Rysunek pokazuje że obrazy ( a dokladniej: ich fragmenty) zbliżają się do fragmentu rozmaitości niestabilnej zawartego między punktami s_{3} i p) i układają ”równolegle” do niego. Zatem- muszą przeciąć W. Formalny dowód wymaga wykorzystania tzw \lambda-lematu, którego sformułowanie podajemy na końcu tego wykładu.

Możemy teraz wyjaśnić dlaczego opisane tu zjawisko nazywa się \Omega-ekspozją. Zauważmy że wyjsciowe pole wektorowe X miało bardzo prosty zbiór punktów niebłądzących \Omega(X)=\{ s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}\}. Również dyfeomorfizm f ma ten sam zbiór punktów niebłądzących. Z konstrukcji wynika że możemy dowolnie mało zaburzyć f (i to zaburzenie możemy uczynić małym w C^{r} topologii) tak aby pojawił się dodatkowy punkt niebłądzący. Naprawde, tych nowych punktów niebłądzących pojawi się więcej- są to przynajmniej wszystkie obrazy i przeciwobrazy p. W następnym rozdziale (7.4) wykażemy że, w istocie zbiór punktów niebłądzących dla g jest nieprzeliczalny.

Oczywiscie g nie jest dyfeomorfizmem Morse'a Smale'a. Aby dokończyć dowód wystarczy wykazać że istnieje otoczenie g w C^{1} topologii złożone z dyfeomorfizmów, które również nie są Morse'a Smale'a. Wystarczy w tym celu wykazać

Stwierdzenie 7.2

Jeśli \tilde{g} jest dyfeomorfizmem odpowiednio bliskim dyfeomorfizmowi g w C^{1} topologii, to \tilde{g} ma punkt stały \tilde{s}_{3} bliski s_{3}, będący też siodłem i rozmaitości niestabilna i stabilna (dla \tilde{g} i siodła \tilde{s}_{3}) przecinają się traswersalnie.

Istotnie, ze Stwierdzenia 7.2 wynika że żaden dyfeomorfizm \tilde{g} nie jest Morse'a -Smale'a (bo ma punkty niebładzące- punkty przecięcia rozmaitości stabilnej i niestabilnej dla siodła) które nie są okresowe.

7.3. \lambda lemat

Niech p będzie punktem stałym (okresowym) hiperbolicznym dyfeomrofizmu f na rozmaitości n wymiarowej M. Wprowadźmy w otoczeniu p układ współrzędnych taki że p jest w tym układzie obrazem 0\in\mathbb{R}^{n}. W tym układzie współrzędnych rozmaitości stabilna i niestabilna punktu p są podrozmaitościami stycznymi w 0 odpowiednio do E^{s}, E^{u}\subset\mathbb{R}^{n}. W^{s}_{{loc}} jest wykresem funkcji \varphi _{s}:U_{s}\to E^{u} (gdzie U_{s} jest otoczeniem zera w E^{s}) takiej ze D\varphi _{s}(0)=0 , podobnie W^{u}_{{loc}} jest wykresem funkcji \varphi _{u}:U_{u}\to E^{s} (gdzie U_{u} jest otoczeniem zera w E^{u}), takiej ze D\varphi _{u}(0)=0.

Wówczas przekształcenie

\varphi(x_{s},x_{u})=(x_{s}-\varphi _{u}(x_{u}),x_{u}-\varphi _{s}(x_{s}))

jest dyfeomorfizmem przekształcającym W^{s}_{{loc}} na otoczenie zera w E^{s}, zaś W^{u}_{{loc}} na otoczenie zera w E^{u}. W tych współrzędnych najłatwiej jest sformułowac \lambda lemat:

Twierdzenie 7.4 (\lambda-lemat)

Niech V=B_{\delta}^{s}\times B_{\delta}^{u} (w opisanym układzie współrzędnych; zatem B_{\delta}^{s}=W^{s}_{{loc}}, B_{\delta}^{s}=W^{s}_{{loc}}). Rozważmy q\in W^{s}_{{loc}}=B^{s}_{\delta} i immersyjnie zanurzony dysk D^{u} o wymiarze u={\rm dim}E^{u}, transwersalny do W^{s}_{{loc}} w punkcie q.

Oznaczmy przez D^{n}_{u} tę spójną składową f^{n}(D^{u})\cap V, do której należy punkt f^{n}q.

Wówczas dla każdego \varepsilon>0 istnieje n_{0} takie że jeśli n>n_{0} to D^{u}_{n} jest \varepsilon bliskie B^{u}_{\delta} (to znaczy: jest wykresem funkcji g:B^{u}_{\delta}\to E^{s} o wartościach i pochodnej mniejszych co do normy od \varepsilon)

rysunek

\lambda-lemat mówi więc że każdy dyski D^{u}, po odpowiedniu dalekiej iteracji, ma w obrazie podzbiór otwarty ”prawie równoległy” do W^{u}_{{loc}}=B^{u}_{\delta}.

7.4. Podkowa Smale'a

Najpierw zdefiniujemy pewien układ dynamiczny w przestrzeni symbolicznej.

Definicja 7.3

Niech n będzie liczbą naturalną niech

\Sigma=\{ 1,\dots n\}^{{\mathbb{Z}}}

W przestrzeni \Sigma określamy odległość: jeśli x=(x_{i}),y=(y_{i})\in\Sigma to

d(x,y)=\frac{1}{2^{N}}

gdzie N jest największą liczbą naturalną taką że (x_{{-N}},\dots x_{N})=(y_{{-N}},\dots y_{N}). Jeśli takie N nie istnieje, to kładziemy d(x,y)=2. W przestrzeni \Sigma mamy naturalne przekształcenie \sigma- przesunięcie w lewo:

\sigma(x_{i})_{{i=-\infty}}^{{\infty}}=(x_{{i+1}})_{{i=-\infty}}^{{\infty}}

Opiszemy teraz dyfeomorfizm sfery \mathbb{S}^{2} który ma interesujący podzbiór niezmienniczy.

Zaczynamy od kwadratu =[0,1]\times[0,1]. W tym kwadracie wyróżniamy dwa rozłaczne pozome prostokąty: H_{1} i H_{2} oraz dwa rozłaczne pionowe prostokąty V_{1} i V_{2} , położone jak na rysunku

Chcemy aby dyfeomorfizm f przekształcał H_{1} na V_{1}, H_{2} na V_{2} afinicznie, i aby D\cap f^{{-1}}(D)=H_{1}\cup H_{2}. Nieformalnie mówiąc- rozciągamy wzdłuż kwadrat D, a otrzymany prostokąt zginamy w ”podkowę” (rysunek  7.5).

Podkowa Smale'a
Rys. 7.5. Podkowa Smale'a.

Aby rozszerzyc takie przekształcenie, doklejamy do kwadratu dwa topologiczne dyski (np półkola) U, i V (otrzymujemy w ten sposób nowy dysk topologiczny N=D\cup U\cup V tak że f(G_{2})\subset V, f(G_{1})\subset U, f(G_{3})\subset U. Teraz trzeba jeszcze zdefiniować f na U i na V. Obrazy tych połkoli są przedstawione na rysunku  7.6.

Rozszerzenie przekształcenia do sfery $\mathbb{S}^{2}$.
Rys. 7.6. Rozszerzenie przekształcenia.

f jest zdefiniowane na U w ten sposób że wewnątrz f(U) jest umieszczony punkt stały przyciągający S i \bigcap f^{n}(U)=\{ s\}. Wynika stąd że dla każdego q\in U (a także dla każdego q\in V) \omega(q)=\{ p\}. Mamy więc zdefiniowany dyfeomorfizm N\to f(N) i {\rm cl}(f(N))\subset N. Tak zdefiniowane przekształcenie możemy przedłużyc też do dyfeomorfizmu całej sfery \mathbb{S}^{2} (N można utożsamić przez dyfeomorfizm z górną półsferą; na dolnej półsferze S definiujemy dyfeomorfizm tak aby f(S)=\mathbb{S}^{2}\setminus f(N) (zatem f(S)\supset S), umieszczając punkt stały na przykład w biegunie południowym r. Wówczas dla każdego q\in f(S)=\mathbb{S}^{2}\setminus f(N) mamy \alpha(q)=\{ r\}. Z tych obserwacji wynika że zbiór punktów niebłądzących rożnych od r,s \Omega(f)\setminus\{ r,s\} jest zawarty w wyjściowym kwadracie D. Istotnie, jeśli p\in S to ujemna trajektoria punktu p i całego jego otoczenia jest przyciągana do bieguna południowego r, zatem istnieje takie otoczenie U punktu p że f^{n}(U)\cap U=\emptyset dla wszystkich n. Podobnie, jeśli p\in U, to p jest przyciągane przy iteracji w przód do punkty stałego s, i, z tych samych powodów p jest punktem błądzącym. Ponieważ f(V)\subset U i zbiór punktów niebładzących \Omega jest niezmienniczy, więc również zbiór V nie przecina \Omega(f). Korzystając jeszcze raz z niezmienniczości zbioru \Omega(f) wykazaliśmy zatem

Stwierdzenie 7.3

Zbiór punktów niebłądzących \Omega(f) jest zawarty w zbiorze

D_{\infty}=\bigcap _{{n=-\infty}}^{{\infty}}f^{{n}}(D)\cup\{ r,s\}

(zauważmy że zbiór D_{\infty} składa się z punktów których trajektorie przez cały czas pozostają w D)

Wykażemy teraz że cały zbiór D_{\infty} jest zawarty w zbiorze punktów niebłądzących \Omega(f). W tym celu skonstruujemy sprzężenie topologiczne pomiędzy przekształceniem f:D_{\infty}\to D_{\infty} i przesunięciem w lewo \sigma na przestrzeni symbolicznej.

Rozważmy zbiór

D_{0}^{n}=\bigcap _{{i=0}}^{n}f^{i}(D)

Widzimy (tu będzie rysunek że D_{0}^{n}=\bigcap _{{i=0}}^{n}f^{i}(D) jest sumą 2^{n} pionowych prostokątów, których szerokości maleją wykłądniczo z n; w szczególności- D_{0}^{1} jest sumą dwóch pionowych prostokątów V_{1},V_{2}. Ponadto, w każdym prostokącie P pojawiającym się w D_{0}^{n} są zawarte dokładnie dwa prostokąty następnej generacji; przy czym suma szerokości tych prostokątów jest równa szerokości P pomnożonej przez \alpha. Zatem D_{0}^{\infty}=\bigcap _{{i=0}}^{\infty}f^{i}(D) jest produktem zbioru Cantora i odcinka. Zbiór ten składa się dokładnie z punktów które przez całą swoją historię w przeszłości pozostawaly w D.

Podobnie, zbiór

D_{{-n}}^{0}=\bigcap _{{i=-n}}^{0}f^{i}(D)

składa się z 2^{n} poziomych prostokątów; w szczególności D_{{-1}}^{0} jest to podzbiór D złożony z punktów, które w pierwszej iteracji trafiają do D. Zbiór

D_{{-\infty}}^{0}=\bigcap _{{i=-n}}^{0}f^{i}(D)

składa się zatem z punktów które przez cała swoją przyszłość pozostaną w D; podobnie jak poprzednio- widzimy ze jest to produkt ”pionowego” zbioru Cantora i poziomego odcinka.

Oczywiście D_{\infty} jest przecięciem tych dwóch zbiorów; jest to zatem produkt kartezjański dwóch zbiorów Cantora. W szczególności D_{\infty} jest zwarty.

Każdemu punktowi x\in D_{\infty} możemy przyporządkować jego ”kod”- nieskończony ciąg symboli (x_{i})=\pi(x) w przestrzeni symbolicznej \Sigma=\{ 1,2\}^{\infty}_{{-\infty}}: x_{i}=1 jeśli f^{i}(x)\in H_{1}, x_{i}=2 jeśli f^{i}(x)\in H_{2}.

Wykażemy

Twierdzenie 7.5

Przekształcenie f:D_{\infty}\to D_{\infty} jest topologicznie sprzężone z przesunięciem \sigma na przestrzeni symbolicznej \Sigma; sprzężenie jest zadane przez kodowanie \pi:

\sigma\circ\pi=\pi\circ f

Formuła \sigma\circ\pi=\pi\circ f wynika wprost z definicji kodowania \pi. Pozostaje więc do sprawdzenia że \pi jest homeomorfizmem. Sprawdzimy najpierw że \pi jest wzajemnie jednoznaczne. Różnowartościowość \pi wynika z obserwacji, że zbiór punktów które mają ten sam kod x_{{-n}},\dots,x_{0},\dots x_{n} jest domkniętym prostokątem P_{n} o rozmiarach malejących wykładniczo z n. Ponadto P_{{n+1}}\subset P_{n}. Zatem przecięcie jest jednopunktowe. Z konstrukcji wynika też że przekształcenie \pi jest ”na”- każdy kod jest realizowany. Wykażemy że \pi^{{-1}} jest ciągłe. Wystarczy w tym celu sprawdzić że jeśli ciąg kodów (x_{i}^{{(k)}})\to(x_{i}^{{(0)}}) to ciąg odpowiadających punktów \pi^{{-1}}(x_{i}^{{(k)}})\to\pi^{{-1}}(x_{i}^{{(0)}}). Z definicji metryki w przestrzeni \Sigma wynika że dla każdego N istnieje takie k_{0} że dla każdego k>k_{0} ciągi (x_{i}^{{(k)}}) oraz (x_{i}^{{(0)}}) mają te same wyrazy dla wszystkich k takich że |k|<N. Stąd zaś wynika że odpowiadające im przy przekształceniu \pi^{{-1}} punkty leżą w tej samej spójnej składowej (prostokącie) zbioru D_{{-N}}^{0}\cap D_{0}^{{N}}. Ponieważ długości boków tego prostokąta maleją wykłądniczo z N, dowodzi to zbieżności \pi^{{-1}}(x_{i}^{{(k)}})\to\pi^{{-1}}(x_{i}^{{(0)}}). Mamy więc ciągła bijekcję pomiędzy dwiema przestrzeniami metrycznymi zwartymi, zatem- homeomorfizm.

Zauważmy że mamy następujące stwierdzenie (pozostawiamy dowód jako ćwiczenie)

Stwierdzenie 7.4

W przestrzeni \Sigma punkty (ciągi) okresowe przy przekształceniu \sigma stanowią gęsty podzbiór.

Stąd zaś wniosek

Wniosek 7.1

W zbiorze D_{\infty} punkty okresowe dla f są gęste.

Ponieważ każdy punkt okresowy jest zawarty w zbiorze punktów niebłądzących \Omega(f), i zbiór \Omega(f) jest domknięty, porównując ze Stwierdzeniem 7.3, otrzymujemy

Twierdzenie 7.6

Zbiór punktów niebładzących \Omega(f) dla dyfeomorfizmu f jest równy

D_{\infty}=\bigcap _{{n=-\infty}}^{{\infty}}f^{{n}}(D)\cup\{ r,s\}

Punkty okresowe stanowią gęsty podzbiór \Omega(f).

do zadan: rozmaitości stabilne i niestabilne w podkowie, continuum Knastera.

Podkowa Smale'a to pewien abstrakcyjnie zdefiniowany układ dynamiczny. Jego ważność wyjaśnia poniższe twierdzenie

Twierdzenie 7.7 (Punkt homokliniczny produkuje podkowę)

Niech f będzie dyfeomorfizmem rozmaitości M, p- hiperbolicznym punktem stałym. Załóżmy że istnieje punkt homokliniczny q (czyli punkt transwersalnego przecięcia rozmaitości stabilnej W^{s}(p) i niestabilnej W^{u}(p), różny od p). Wówczas zbiór punktów niebłądzących \Omega(f) zawiera zwarty niezmienniczy podzbiór \Lambda, homeomorficzny ze zbiorem granicznym podkowy D_{\infty}; homeomorfizm ten sprzęga działanie f_{{|\Lambda}} z działaniem opisanego przekształcenia na podkowie.

Szkic dowodu

Używamy wprowadzonego powyżej układu współrzędnych. Niech V=B^{s}_{\delta}\times B^{u}_{\delta}. Możemy założyć że q\in V. Istotnie, jeśli q jest punktem homoklinicznym to wszystkie jego obrazy- też. Ponieważ q\in W^{s}(p) więc f^{n}(q)\to p; zatem któryś obraz q leży w V.

Twierdzimy że dla wszystkich odpowiednio dużych k zbiór f^{k}(V)\cap V ma co najmniej dwie składowe; punkty q i p należą do różnych składowych (rysunek  7.7).

Składowe $A_{1}$, $A_{2}$ zbioru $f^{k}(V)\cap V$
Rys. 7.7. Składowe A_{1}, A_{2}.

Na rysunku  7.8 przestawiono przecięcie zbiorów A_{1} i A_{2} z ich kolejnymi obrazami. W odróznieniu modelu liniowego, żadne z używanych tu przekształceń nie jest liniowe. Ponieważ używamy iteracji (f^{k})^{n}=f^{{nk}}, więc obrazy pasków mogłyby bardzo się zdeformować. Trzeba więc sprawdzić że można wybrać k na początku tak duże że wszystkie paski pozostaną ”prawie poziome”. Wybór k można przeprowadzić na przykład tak:

  1. Istnieje n_{0} takie że f^{{n_{0}}}(B^{u}_{\delta}) zawiera całą składową zbioru V\cap W^{u}(p) do której należy punkt x (wynika to stąd że w tych lokalnych współrzędnych B^{u}_{\delta} jest lokalną rozmaitością W^{u}_{{loc}}, więc \bigcup f^{n}(B^{u}_{\delta})=W^{u}(p)).

  2. Ustalamy małe \varepsilon _{0}>0.

  3. Ustalamy \eta=\eta(n_{0},\varepsilon _{0}) takie że obraz f^{{n_{0}}}(\gamma) jest \varepsilon _{0} bliski (C^{1}) zbiorowi f^{{n_{0}}}(B^{u}_{\delta}) o ile \gamma jest \eta- bliskie (C^{1}) B^{u}_{\delta}.

  4. Ustalamy l\in\mathbb{N} na tyle duże że każdy immersyjnie zanurzony dysk zawarty w V, i \varepsilon-bliski w C^{1} dyskowi W^{u}(p)\cap A_{2} jest przekształcany przez f^{l} na zbiór (dysk immersyjny) \gamma taki że \gamma\cap V jest \eta-bliskie B^{u}_{\delta}.

    Tutaj wykorzystujemy \lambda-lemat.

  5. Ustalamy k=n_{0}+l

Obrazy składowych $A_{1}$, $A_{2}$
Rys. 7.8. Obrazy składowych A_{1}, A_{2}.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.