Zagadnienia

7. Pola Morse'a-Smale'a. Dyfeomorfizmy Morse'a- Smale'a. Ω-eksplozja i podkowa Smale'a

7.1. Pola wektorowe i dyfeomorfizmy Morse'a- Smale'a

Definicja 7.1

Niech M będzie zwartą rozmaitością wymiaru n, zaś X- polem wektorowym klasy Cr na M. Mówimy że X jest polem Morse'a-Smale'a jeśli

  • 1 X ma skończenie wiele elementów krytycznych i wszystkie elementy krytyczne są hiperboliczne.

  • 2 Jeśli σ1, σ2 są elementami krytycznymi, to rozmaitości Wuσ1, Wsσ2 przecinają się transwersalnie.

  • 3 ΩX- zbiór punktów niebłądzących- jest sumą elementów krytycznych.

Dla dyfeomorfizmów mamy odpowiednio definicję:

Definicja 7.2

Dyfeomorfizm f:MM jest dyfeomorfizmem Morse'a-Smale'a jeśli:

  • 1 f ma skończenie wiele punktów okresowych i wszystkie są hiperboliczne.

  • 2 Wszystkie przecięcia WspWuq są transwersalne

  • 3 Ωf=Perf

Jak wiemy, jeśli X jest polem wektorowym na zwartej rozmaitości, to X generuje rodzinę dyfeomorfizmów (potok pola) φt. Warto w tym miejscu zastanowić się czy jeśli X jest polem Morse'a Smale'a to dyfeomorfizm φt jest dyfeomorfizmem Morse'a Smale'a. Łatwo sprawdzić że mamy

Ćwiczenie 7.1

Niech X będzie polem wektorowym Morse'a -Smale'a na zwartej gładkiej rozmaitości M. Wówczas dyfeomorfizm φt (t0) jest dyfeomorfizmem Morse'a Smale'a wtedy i tylko wtedy gdy X nie ma orbit zamkniętych (tzn zbiór elementów krytycznych X składa się tylko z punktów krytycznych).

W rozdziale trzecim uzyskaliśmy pełną charakteryzację C1 strukturalnie stabilnych dyfeomorfizmów i pól wektorowych na okręgu (okazało się że są to dokładnie pola wektorowe i dyfeomorfizmy Morse'a - Smale'a). Zatem- naturalne jest pytanie czy te wyniki przenoszą sie na przypadek wyższych wymiarów.

Mamy następujące twierdzenie, wykazane przez J. Palisa (nie będziemy go tu dowodzić):

Twierdzenie 7.1 (O otwartości zbiorów dyfeomorfizmów i pól wektorowych Morse'a-Smale'a)

Niech M będzie gładką zwartą rozmaitościa. Wówczas dla każdego r1 zbiór dyfeomorfizmów Morse'a -Smale'a klasy Cr jest niepusty oraz otwarty w przestrzeni DiffrM. Podobnie, zbiór pól wektorowych Morse'a -Smale'a klasy Cr jest niepusty i otwarty w przestrzeni FrM pól wektorowych klasy Cr na M.

Twierdzenie 7.2

Jeśli X jest polem Morse'a -Smale'a to X jest (C1) strukturalnie stabilne. Podobnie, jeśli f jest dyfeomorfizmem Morse'a -Smale'a to f jest strukturalnie stabilne.

Różnica pomiędzy sytuacją jednowymiarową (okrąg) a ogólną polega jednak na tym, że w ogólnym przypadku dyfeomorfizmy i pola wektorowe Morse'a Smale'a nie stanowią zbioru gęstego i nie wypełniają wszystkich przykładów strukturalnie stabilnych.

7.2. Ω-eksplozja

Zajmiemy się teraz opisaniem ważnego przykładu (który jednocześnie pokazuje dlaczego w wyższych wymiarach nie można spodziewać się gęstości dyfeomorfizmów Morse'a-Smale'a.

Twierdzenie 7.3 (Ω-eksplozja)

Na rozmaitości M wymiaru d2 dyfeomorfizmy Morse'a-Smale'a nie są gęste w przestrzeni dyfeomorfizmów Dff1M.

szkic

Rozważamy na sferze S2 pole wektorowe X które ma cztery punkty krytyczne. Punkty s1 i s2 są ściekami, punkt s3 jest siodłem, zaś s4-źródłem. Ponadto istnieje trajektoria dla której zbiorem α i ω-granicznym jest ten sam punkt S3- bowiem globalne rozmaitości stabilna i niestabilna punktu s3 pokrywają się. Niech φt będzie potokiem tego pola; oznaczmy przez f=φ1 ”dyfeomorfizm po czasie 1”. Na rysunkach  7.1 i  7.2 przedstawiono portret fazowy wyjściowego pola wektorowego (widziany na płaszczyźnie i na sferze).

Potok pola $\varphi^{t}$ \emph{widziany} na płaszczyźnie
Rys. 7.1. Potok pola φt.
Potok pola $\varphi^{t}$ \emph{widziany} na sferze
Rys. 7.2. Potok pola φt.

Zaburzymy teraz dyfeomorfizm f w ten sposób że punkt s3 pozostanie siodłem, ale dla nowego zaburzonego przekształcenia (oznaczanego dalej przez g) Wus3 będzie przecinać się z Wss3 transwersalnie.

Wybieramy punkt pWus3 i otoczenie punktu p takie że f-1UU=. Uzyjemy ”lokalnej deformacji”- przekształcenia (dyfeomorfizmu) i takiego że i=id poza U oraz, dodatkowo, ip=p, ale iWus3U przecina teraz tranwersalnie (Wu(s3)U w punkcie p. (Mowiąc nieformalnie, i ”wykrzywilo” lokalnie rozmaitość Wus3). Na rysunkach  7.3 i  7.4 przedstawiono deformację i i efekt jej zastosowania.

Zaburzenie $i$.
Rys. 7.3. Zaburzenie i.
Przekstałcenie $g$. Rozmaitości stabilna i niestabilna punktu $s_{3}$.
Rys. 7.4. Przekształcenie g. Teraz rozmaitości stabilna i niestabilna punktu s3 przecinają się transwersalnie .

Rozpatrujemy teraz dyfeomorfizm g=if. Zauważmy że g pokrywa się z f poza zbiorem f-1U. W wyniku tej deformacji globalna rozmaitość niestabilna (zdefiniowana, przypomnijmy, jako gnWlocu zmienia się w otoczeniu punktu p (dokładniej- ten fragment rozmaitości niestabilnej, który jest zawarty w U zostanie zastąpiony przez jego obraz przy przekształceniu i). Natomiast fragment rozmaitości stabilnej Wss3 zawarty w U pozostanie niezmieniony. Pojawi się zatem w punkcie p transwersalne przecięcie rozmaitości stabilnej i niestabilnej (rysunki  7.3 i  7.4).

Zauważamy teraz

Stwierdzenie 7.1

Punkt p jest niebłądzacy dla zaburzonego przekształcenia g.

Niech WU będzie małym otoczeniem p ; l niech będzie fragmentem rozmaitości niestabilnej Wus3 zawartym w W. Rozpatrujemy kolejne obrazy l przy przekształceniu g (rysunek  7.4). Rysunek pokazuje że obrazy ( a dokladniej: ich fragmenty) zbliżają się do fragmentu rozmaitości niestabilnej zawartego między punktami s3 i p) i układają ”równolegle” do niego. Zatem- muszą przeciąć W. Formalny dowód wymaga wykorzystania tzw λ-lematu, którego sformułowanie podajemy na końcu tego wykładu.

Możemy teraz wyjaśnić dlaczego opisane tu zjawisko nazywa się Ω-ekspozją. Zauważmy że wyjsciowe pole wektorowe X miało bardzo prosty zbiór punktów niebłądzących ΩX=s1,s2,s3,s4. Również dyfeomorfizm f ma ten sam zbiór punktów niebłądzących. Z konstrukcji wynika że możemy dowolnie mało zaburzyć f (i to zaburzenie możemy uczynić małym w Cr topologii) tak aby pojawił się dodatkowy punkt niebłądzący. Naprawde, tych nowych punktów niebłądzących pojawi się więcej- są to przynajmniej wszystkie obrazy i przeciwobrazy p. W następnym rozdziale (7.4) wykażemy że, w istocie zbiór punktów niebłądzących dla g jest nieprzeliczalny.

Oczywiscie g nie jest dyfeomorfizmem Morse'a Smale'a. Aby dokończyć dowód wystarczy wykazać że istnieje otoczenie g w C1 topologii złożone z dyfeomorfizmów, które również nie są Morse'a Smale'a. Wystarczy w tym celu wykazać

Stwierdzenie 7.2

Jeśli g~ jest dyfeomorfizmem odpowiednio bliskim dyfeomorfizmowi g w C1 topologii, to g~ ma punkt stały s~3 bliski s3, będący też siodłem i rozmaitości niestabilna i stabilna (dla g~ i siodła s~3) przecinają się traswersalnie.

Istotnie, ze Stwierdzenia 7.2 wynika że żaden dyfeomorfizm g~ nie jest Morse'a -Smale'a (bo ma punkty niebładzące- punkty przecięcia rozmaitości stabilnej i niestabilnej dla siodła) które nie są okresowe.

7.3. λ lemat

Niech p będzie punktem stałym (okresowym) hiperbolicznym dyfeomrofizmu f na rozmaitości n wymiarowej M. Wprowadźmy w otoczeniu p układ współrzędnych taki że p jest w tym układzie obrazem 0Rn. W tym układzie współrzędnych rozmaitości stabilna i niestabilna punktu p są podrozmaitościami stycznymi w 0 odpowiednio do Es, EuRn. Wlocs jest wykresem funkcji φs:UsEu (gdzie Us jest otoczeniem zera w Es) takiej ze Dφs0=0 , podobnie Wlocu jest wykresem funkcji φu:UuEs (gdzie Uu jest otoczeniem zera w Eu), takiej ze Dφu0=0.

Wówczas przekształcenie

φxs,xu=xs-φuxu,xu-φsxs

jest dyfeomorfizmem przekształcającym Wlocs na otoczenie zera w Es, zaś Wlocu na otoczenie zera w Eu. W tych współrzędnych najłatwiej jest sformułowac λ lemat:

Twierdzenie 7.4 (λ-lemat)

Niech V=Bδs×Bδu (w opisanym układzie współrzędnych; zatem Bδs=Wlocs, Bδs=Wlocs). Rozważmy qWlocs=Bδs i immersyjnie zanurzony dysk Du o wymiarze u=dimEu, transwersalny do Wlocs w punkcie q.

Oznaczmy przez Dun tę spójną składową fnDuV, do której należy punkt fnq.

Wówczas dla każdego ε>0 istnieje n0 takie że jeśli n>n0 to Dnu jest ε bliskie Bδu (to znaczy: jest wykresem funkcji g:BδuEs o wartościach i pochodnej mniejszych co do normy od ε)

rysunek

λ-lemat mówi więc że każdy dyski Du, po odpowiedniu dalekiej iteracji, ma w obrazie podzbiór otwarty ”prawie równoległy” do Wlocu=Bδu.

7.4. Podkowa Smale'a

Najpierw zdefiniujemy pewien układ dynamiczny w przestrzeni symbolicznej.

Definicja 7.3

Niech n będzie liczbą naturalną niech

Σ=1,nZ

W przestrzeni Σ określamy odległość: jeśli x=xi,y=yiΣ to

dx,y=12N

gdzie N jest największą liczbą naturalną taką że x-N,xN=y-N,yN. Jeśli takie N nie istnieje, to kładziemy dx,y=2. W przestrzeni Σ mamy naturalne przekształcenie σ- przesunięcie w lewo:

σxii=-=xi+1i=-

Opiszemy teraz dyfeomorfizm sfery S2 który ma interesujący podzbiór niezmienniczy.

Zaczynamy od kwadratu =0,1×0,1. W tym kwadracie wyróżniamy dwa rozłaczne pozome prostokąty: H1 i H2 oraz dwa rozłaczne pionowe prostokąty V1 i V2 , położone jak na rysunku

Chcemy aby dyfeomorfizm f przekształcał H1 na V1, H2 na V2 afinicznie, i aby Df-1D=H1H2. Nieformalnie mówiąc- rozciągamy wzdłuż kwadrat D, a otrzymany prostokąt zginamy w ”podkowę” (rysunek  7.5).

Podkowa Smale'a
Rys. 7.5. Podkowa Smale'a.

Aby rozszerzyc takie przekształcenie, doklejamy do kwadratu dwa topologiczne dyski (np półkola) U, i V (otrzymujemy w ten sposób nowy dysk topologiczny N=DUV tak że fG2V, fG1U, fG3U. Teraz trzeba jeszcze zdefiniować f na U i na V. Obrazy tych połkoli są przedstawione na rysunku  7.6.

Rozszerzenie przekształcenia do sfery $\mathbb{S}^{2}$.
Rys. 7.6. Rozszerzenie przekształcenia.

f jest zdefiniowane na U w ten sposób że wewnątrz fU jest umieszczony punkt stały przyciągający S i fnU=s. Wynika stąd że dla każdego qU (a także dla każdego qV) ωq=p. Mamy więc zdefiniowany dyfeomorfizm NfN i clfNN. Tak zdefiniowane przekształcenie możemy przedłużyc też do dyfeomorfizmu całej sfery S2 (N można utożsamić przez dyfeomorfizm z górną półsferą; na dolnej półsferze S definiujemy dyfeomorfizm tak aby fS=S2fN (zatem fSS), umieszczając punkt stały na przykład w biegunie południowym r. Wówczas dla każdego qfS=S2fN mamy αq=r. Z tych obserwacji wynika że zbiór punktów niebłądzących rożnych od r,s Ωfr,s jest zawarty w wyjściowym kwadracie D. Istotnie, jeśli pS to ujemna trajektoria punktu p i całego jego otoczenia jest przyciągana do bieguna południowego r, zatem istnieje takie otoczenie U punktu p że fnUU= dla wszystkich n. Podobnie, jeśli pU, to p jest przyciągane przy iteracji w przód do punkty stałego s, i, z tych samych powodów p jest punktem błądzącym. Ponieważ fVU i zbiór punktów niebładzących Ω jest niezmienniczy, więc również zbiór V nie przecina Ωf. Korzystając jeszcze raz z niezmienniczości zbioru Ωf wykazaliśmy zatem

Stwierdzenie 7.3

Zbiór punktów niebłądzących Ωf jest zawarty w zbiorze

D=n=-fnDr,s

(zauważmy że zbiór D składa się z punktów których trajektorie przez cały czas pozostają w D)

Wykażemy teraz że cały zbiór D jest zawarty w zbiorze punktów niebłądzących Ωf. W tym celu skonstruujemy sprzężenie topologiczne pomiędzy przekształceniem f:DD i przesunięciem w lewo σ na przestrzeni symbolicznej.

Rozważmy zbiór

D0n=i=0nfiD

Widzimy (tu będzie rysunek że D0n=i=0nfiD jest sumą 2n pionowych prostokątów, których szerokości maleją wykłądniczo z n; w szczególności- D01 jest sumą dwóch pionowych prostokątów V1,V2. Ponadto, w każdym prostokącie P pojawiającym się w D0n są zawarte dokładnie dwa prostokąty następnej generacji; przy czym suma szerokości tych prostokątów jest równa szerokości P pomnożonej przez α. Zatem D0=i=0fiD jest produktem zbioru Cantora i odcinka. Zbiór ten składa się dokładnie z punktów które przez całą swoją historię w przeszłości pozostawaly w D.

Podobnie, zbiór

D-n0=i=-n0fiD

składa się z 2n poziomych prostokątów; w szczególności D-10 jest to podzbiór D złożony z punktów, które w pierwszej iteracji trafiają do D. Zbiór

D-0=i=-n0fiD

składa się zatem z punktów które przez cała swoją przyszłość pozostaną w D; podobnie jak poprzednio- widzimy ze jest to produkt ”pionowego” zbioru Cantora i poziomego odcinka.

Oczywiście D jest przecięciem tych dwóch zbiorów; jest to zatem produkt kartezjański dwóch zbiorów Cantora. W szczególności D jest zwarty.

Każdemu punktowi xD możemy przyporządkować jego ”kod”- nieskończony ciąg symboli xi=πx w przestrzeni symbolicznej Σ=1,2-: xi=1 jeśli fixH1, xi=2 jeśli fixH2.

Wykażemy

Twierdzenie 7.5

Przekształcenie f:DD jest topologicznie sprzężone z przesunięciem σ na przestrzeni symbolicznej Σ; sprzężenie jest zadane przez kodowanie π:

σπ=πf

Formuła σπ=πf wynika wprost z definicji kodowania π. Pozostaje więc do sprawdzenia że π jest homeomorfizmem. Sprawdzimy najpierw że π jest wzajemnie jednoznaczne. Różnowartościowość π wynika z obserwacji, że zbiór punktów które mają ten sam kod x-n,,x0,xn jest domkniętym prostokątem Pn o rozmiarach malejących wykładniczo z n. Ponadto Pn+1Pn. Zatem przecięcie jest jednopunktowe. Z konstrukcji wynika też że przekształcenie π jest ”na”- każdy kod jest realizowany. Wykażemy że π-1 jest ciągłe. Wystarczy w tym celu sprawdzić że jeśli ciąg kodów xikxi0 to ciąg odpowiadających punktów π-1xikπ-1xi0. Z definicji metryki w przestrzeni Σ wynika że dla każdego N istnieje takie k0 że dla każdego k>k0 ciągi xik oraz xi0 mają te same wyrazy dla wszystkich k takich że k<N. Stąd zaś wynika że odpowiadające im przy przekształceniu π-1 punkty leżą w tej samej spójnej składowej (prostokącie) zbioru D-N0D0N. Ponieważ długości boków tego prostokąta maleją wykłądniczo z N, dowodzi to zbieżności π-1xikπ-1xi0. Mamy więc ciągła bijekcję pomiędzy dwiema przestrzeniami metrycznymi zwartymi, zatem- homeomorfizm.

Zauważmy że mamy następujące stwierdzenie (pozostawiamy dowód jako ćwiczenie)

Stwierdzenie 7.4

W przestrzeni Σ punkty (ciągi) okresowe przy przekształceniu σ stanowią gęsty podzbiór.

Stąd zaś wniosek

Wniosek 7.1

W zbiorze D punkty okresowe dla f są gęste.

Ponieważ każdy punkt okresowy jest zawarty w zbiorze punktów niebłądzących Ωf, i zbiór Ωf jest domknięty, porównując ze Stwierdzeniem 7.3, otrzymujemy

Twierdzenie 7.6

Zbiór punktów niebładzących Ωf dla dyfeomorfizmu f jest równy

D=n=-fnDr,s

Punkty okresowe stanowią gęsty podzbiór Ωf.

do zadan: rozmaitości stabilne i niestabilne w podkowie, continuum Knastera.

Podkowa Smale'a to pewien abstrakcyjnie zdefiniowany układ dynamiczny. Jego ważność wyjaśnia poniższe twierdzenie

Twierdzenie 7.7 (Punkt homokliniczny produkuje podkowę)

Niech f będzie dyfeomorfizmem rozmaitości M, p- hiperbolicznym punktem stałym. Załóżmy że istnieje punkt homokliniczny q (czyli punkt transwersalnego przecięcia rozmaitości stabilnej Wsp i niestabilnej Wup, różny od p). Wówczas zbiór punktów niebłądzących Ωf zawiera zwarty niezmienniczy podzbiór Λ, homeomorficzny ze zbiorem granicznym podkowy D; homeomorfizm ten sprzęga działanie f|Λ z działaniem opisanego przekształcenia na podkowie.

Szkic dowodu

Używamy wprowadzonego powyżej układu współrzędnych. Niech V=Bδs×Bδu. Możemy założyć że qV. Istotnie, jeśli q jest punktem homoklinicznym to wszystkie jego obrazy- też. Ponieważ qWsp więc fnqp; zatem któryś obraz q leży w V.

Twierdzimy że dla wszystkich odpowiednio dużych k zbiór fkVV ma co najmniej dwie składowe; punkty q i p należą do różnych składowych (rysunek  7.7).

Składowe $A_{1}$, $A_{2}$ zbioru $f^{k}(V)\cap V$
Rys. 7.7. Składowe A1, A2.

Na rysunku  7.8 przestawiono przecięcie zbiorów A1 i A2 z ich kolejnymi obrazami. W odróznieniu modelu liniowego, żadne z używanych tu przekształceń nie jest liniowe. Ponieważ używamy iteracji fkn=fnk, więc obrazy pasków mogłyby bardzo się zdeformować. Trzeba więc sprawdzić że można wybrać k na początku tak duże że wszystkie paski pozostaną ”prawie poziome”. Wybór k można przeprowadzić na przykład tak:

  1. Istnieje n0 takie że fn0Bδu zawiera całą składową zbioru VWup do której należy punkt x (wynika to stąd że w tych lokalnych współrzędnych Bδu jest lokalną rozmaitością Wlocu, więc fnBδu=Wup).

  2. Ustalamy małe ε0>0.

  3. Ustalamy η=ηn0,ε0 takie że obraz fn0γ jest ε0 bliski (C1) zbiorowi fn0Bδu o ile γ jest η- bliskie (C1) Bδu.

  4. Ustalamy lN na tyle duże że każdy immersyjnie zanurzony dysk zawarty w V, i ε-bliski w C1 dyskowi WupA2 jest przekształcany przez fl na zbiór (dysk immersyjny) γ taki że γV jest η-bliskie Bδu.

    Tutaj wykorzystujemy λ-lemat.

  5. Ustalamy k=n0+l

Obrazy składowych $A_{1}$, $A_{2}$
Rys. 7.8. Obrazy składowych A1, A2.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.