Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Układy dynamiczne – 8. Zbiory hiperboliczne. Dyfeomorfizmy i potoki Anosowa. Stabilność zbiorów hiperbolicznych. – MIM UW

Zagadnienia

8. Zbiory hiperboliczne. Dyfeomorfizmy i potoki Anosowa. Stabilność zbiorów hiperbolicznych.

W poprzednim wykładzie opisaliśmy skomplikowany zbiór niezmienniczy dla dyfeomorfizmu- Podkowe Smale'a. Teraz opiszemy kilka innych przykładów zbiorów hiperbolicznych.

Definicja 8.1

Niech f będzie dyfeomorfizmem gładkiej zwartej rozmaitości M. Zakładamy, jak zawsze w tym wykładzie, że M jest zanurzona w przestrzeni euklidesowej R^{N}, i ma, w takim razie, odziedziczoną z R^{N} strukturę Riemannowska ( w szczególności, długości wektorów w przestrzeni stycznej mierzymy używając długości zmierzonej w \mathbb{R}^{N}.

Niech \Lambda będzie zwartym niezmienniczym podzbiorem M. Mówimy że \Lambda ma strukturę hiperboliczną jeśli w każdym punkcie p zbioru \Lambda istnieje rozkład przestrzeni stycznej T_{p}M na sumę prostą dwóch podprzestrzeni: T_{p}M=E^{s}_{p}\oplus E^{u}_{p}. Rozkład ten ma być niezmienniczy ze względu na f:

D_{p}f(E^{u}_{p})=E^{u}(f(p))
D_{p}f(E^{s}_{p})=E^{s}(f(p))

Ponadto, żądamy aby istniały stałe C>0,\lambda>1 takie że

||D_{p}f^{n}(v)||\le C\lambda^{{-n}}||v||

dla v\in E^{s}_{p} oraz

||D_{p}f^{{-n}}(v)||\le C\lambda^{{-n}}||v||

dla v\in E^{u}_{p}.

Uwaga 8.1

Warto zauważyć że jeśli wektor v\in T_{p}M ma (w rozkładzie na sumę prosta T_{p}M=E^{s}_{p}\oplus E^{u}_{p} niezerową drugą składową, to długości obrazów wektora Df^{n}(v) (n>0) rosną z n wykładniczo szybko.

Mamy następujące ważne Twierdzenie

Twierdzenie 8.1 (Twierdzenie o rozmaitości stabilnej dla zbiorów hiperbolicznych)

Niech f:M\to M będzie dyfeomorfizmem klasy C^{k}. Niech \Lambda będzie niezmienniczym zbiorem hiperbolicznym dla f. Wówczas istnieje \varepsilon>0 i \tilde{\lambda}<\lambda, \tilde{C}>0 takie że dla każdego p\in\Lambda zbiory

W^{s}_{\varepsilon}(p,f)=\{ q\in M:\forall n\ge 0 f^{n}(q)\in B(f^{n}p,\varepsilon)\}=\{ q\in M:\forall n\ge 0 d(f^{n}(q),f^{n}(p))<\tilde{C}\tilde{\lambda}^{{-n}}\}

oraz

W^{u}_{\varepsilon}(p,f)=\{ q\in M:\forall n\ge 0 f^{{-n}}(q)\in B(f^{{-n}}p,\varepsilon)\}=\{ q\in M:\forall n\ge 0 d(f^{{-n}}(q),f^{{-n}}(p))<\tilde{C}\tilde{\lambda}^{{-n}}\}

są gładkimi podrozmaitościami klasy C^{k} w M. Ponadto T_{p}W^{s}_{\varepsilon}(p,f)=E_{p}^{s} oraz T_{p}W^{u}_{\varepsilon}(p,f)=E_{p}^{u}

Uwaga 8.2

Zauważmy że równość definiująca W^{s}_{\varepsilon}(p,f) (i podobnie W^{u}_{\varepsilon}(p,f)) na dwa różne sposoby też wymaga dowodu!

do napisania

Definicja 8.2

Niech X będzie przestrzenią metryczną. Mówimy że odwracalne przekształcenie T:X\to X jest ekspansywne jeśli istnieje \varepsilon>0 takie że dla dowolnych x,y\in X istnieje n\in\mathbb{Z} takie że T^{n}(x),T^{n}(y)>\varepsilon.

Wniosek 8.1

Obcięcie dyfeomorfizmu do zbioru hiperbolicznego jest przekształceniem ekspansywnym.

Zauważmy że w definicji zbioru hiperbolicznego nie żądamy żeby przestrzenie E^{u}_{p},E^{s}_{p} zależały w sposób ciągły od punktu. Wynika to jednak z innych włąsności:

Stwierdzenie 8.1

Przestrzenie E^{s}_{p}, E^{u}_{p} zależą w ciągły sposób od p.

Weźmy ciąg punktów \Lambda\ni p_{n}\to p\in\Lambda. W każdej przestrzeni E^{s}_{{p_{m}}} wybieramy bazę ortonormalną

(v^{1}_{m},\dots,v^{s}_{m}

. Przechodząc do podciągu, można założyć że

v^{i}_{m}\to v^{i}\in T_{p}M.

Skoro

||Df^{n}_{{p_{m}}}v^{i}_{m}||\le C\lambda^{{-n}}||v^{i}_{m}||

to (z ciągłości) mamy także

||Df^{n}_{{p_{m}}}v^{i}||\le C\lambda^{{-n}}||v^{i}||

Zatem, v^{i}\in E^{s}_{p}.

Pokazaliśmy więc że

\lim E^{s}_{{p_{m}}}\subset E^{s}_{p}.

W ten sam sposób sprawdzamy że

\lim E^{u}_{{p_{m}}}\subset E^{u}_{p}.

Skoro E^{s}_{p}\oplus E^{u}_{p}=T_{p}M to musi być

\lim E^{s}_{{p_{m}}}=E^{s}_{p},
\lim E^{u}_{{p_{m}}}=E^{u}_{p}
Wniosek 8.2

Podprzestrzenie E^{s}_{p} i E^{u}_{p} są ”jednostajnie transwersalne”, tzn istnieje \alpha _{0} takie że dla lażdego p\in\Lambda i dla dowolnych v\in E^{s}_{p}, w\in E^{u}_{p} kąt między wektorami v,w jest większy niż \alpha _{0}.

Niech \alpha(p) będzie minimalnym kątem między v\in E^{s}_{p}, w\in E^{u}_{p}. z poprzedniego stwierdzenia wynika że \alpha(p) jest ciągłą funkcją p. Ze zwartości \Lambda wynika że \alpha(p)\ge\alpha _{0}>0.

Definicja 8.3

Globalna rozmaitośc stabilna (niestabilna)

Przy założeniach takich jak w poprzednim twierdzeniu definiujemy zbiory

W^{s}(p,f)=\{ q\in M:d(f^{n}(q),f^{n}(p)\to 0~~{\rm gdy}~~n\to\infty=\bigcup _{{j=0}}^{\infty}f^{{-j}}(W^{s}_{\varepsilon}(p,f)

oraz

W^{u}(p,f)=\{ q\in M:d(f^{{-n}}(q),f^{{-n}}(p)\to 0~~{\rm gdy}~~n\to\infty=\bigcup _{{j=0}}^{\infty}f^{{j}}(W^{u}_{\varepsilon}(p,f)

Zbiory te nazywamy odpowiednio globalną rozmaitością stabilną i niestabilną. Ta definicja wymaga uzasadnienia:

Ćwiczenie 8.1

Przy założeniach jak w poprzednim Twierdzeniu, wykazać że zbiory W^{s}(p,f) i W^{u}(p,f) są immersyjnymi podrozmaitościami klasy C^{k} w M

Ćwiczenie 8.2

Sprawdzić że podkowa Smale'a, zdefiniowana w poprzednim wykładzie, jest zbiorem hiperbolicznym.

Stwierdzenie 8.2 (Zbió hiperboliczny dla bliskiego przekształcenia)

Niech \Lambda będzie zbiorem hiperbolicznym dyfeomorfizmu f. Wówczas istnieje otoczenie V zbioru \Lambda takie że jeśli g jest dyfeomorfizmem, dostatecznie bliskim (w C^{1} metryce) f na V, to zbiór

\Lambda _{V}^{g}=\bigcap _{{n\in\mathbb{Z}}}g^{n}(\overline{V})

jest hiperboliczny.

Uwaga 8.3

Nie wiemy jeszcze jak zbiór \Lambda _{V}^{g} jest związany z \Lambda, a nawet- czy jest niepusty.

Na zbiorze \Lambda mamy rozkład przestrzeni stycznej T_{p}M=E^{s}_{p}\oplus E^{u}_{p}, zależny wsposób ciągły od p. Możemy ten rozkłąd rozszerzyć do ciągłego (niekoniecznie niezmienniczego!) na pewne otoczenie \Lambda\subset\tilde{V}.

Rozpatrujemy teraz rodzinę stożków poziomych i pionowych. Stożki poziome to

H^{\gamma}_{x}=\{ v+w:v\in E^{u}_{x},w\in E^{s}_{x},~~~||w||\le\gamma||v||\}

8.1. Solenoid

W tym rozdziale skonstruujemy pewien hiperboliczny atraktor (czyli zbiór który przyciąga całe swoje otoczenie). Do tej pory mielismy do czynienia z przekształceniami (lub potokami) Morse'a Smale'a, w których jedynymi atrakotrami były punkty stałe (stacjonarne) lub orbity okresowe. Ten atraktor jest zupełnie innego rodzaju.

Rozpatrzmy pełny torus M=\mathbb{S}^{1}\cap\mathbb{D}^{2}. Okrąg parametryzujemy argumentem t (t\mapsto e^{{2\pi it}}), zaś na dysku jednostkowym D używamy zespolonej zmiennej z. NA okręgu rozpatrujemy przekształcenie z^{2} czyli t\mapsto 2t_{{mod1}} Rozpatrujemy przekształcenie f:M\to M dane wzorem

f(t,z)=\left(g(t),\frac{1}{4}z+\frac{1}{2}e^{{2\pi it}}\right)

f przekształca zatem każdy dysk D_{t} odpowiadający t={\rm const} na mniejszy dysk, o promieniu czterokrotnie zmniejszonym, zawarty w dysku o dwukrotnie powiększonym argumencie. Łatwo można zobaczyć jak wygląda dysk t=t_{0} przecięty z obrazem f(M): jest to suma dwóch rozłacznych dysków, każdy o promieniu \frac{1}{4}. (Powstały jako obrazy odpowiednich dysków dla argumentów \frac{t_{0}}{2} i \frac{t_{0}}{2}+\pi).

rysunek

Niech M_{k}=\bigcap{j=0}^{k}f^{j}(M)=f^{j}(M). Następujące stwierdzenie wynika łatwo z konstrukcji

Stwierdzenie 8.3

Dla każdego t zbiór M_{k}\cap D_{t} jest sumą 2^{k} rozłacznych domkniętych dysków o promieniu \frac{1}{4^{k}} każdy. Dla każdego odcinka [t_{1},t_{2}] zbiór M_{k}\cap\bigcup _{{t\in[t_{1},t_{2}]}}D_{t} jest sumą 2^{k} rozłącznych pełnych walców (oczywiście mówimy o zbiorach dyfeomorficznych z walcami, nie o walcach geometrycznych).

dwa rysunki Niech wreszcie \Lambda=\bigcap f^{j}(M). Jest to nasz atraktor; z definicji wynika że jeśli x\i M to d(f^{n}(x),\Lambda)\to 0 gdy n\to\infty. Nietrudno sprawdzić że przecięcie D_{t}\cap\Lambda jest homeomorficzne ze zbiorem Cantora.

Wykażemy

Twierdzenie 8.2 (Własności topologiczne Solenoidu)

Zbiór \Lambda ma następujące własności:

  1. \Lambda jest spójny.

  2. \Lambda nie jest lokalnie spójny.

  3. \Lambda nie jest łukowo spójny.

  4. Punkty okresowe dla f stanowią gęsty podzbiór \Lambda.

  5. f_{{|\Lambda}} jest topologicznie tranzytywne: dla dowolnych otwartych podzbiorów U,V przecinających \Lambda istnieje n\in\mathbb{N} takie że f^{n}(U)\cap V\cap\Lambda\neq\emptyset.

Szkic dowodu

Spójność \Lambda wynika stąd że \Lambda=\bigcap M_{k}; jest to zstępujący ciąg zbiorów zwartych i spójnych.

Przypomnijmy że lokalna spójność oznacza że dla każdego x\in\Lambda mamy:

\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall y\in B(x,\delta)\exists G\subset\Lambda~~{\rm spójny~taki~że}~~x,y\in G

. Tymczasem (rysunek) zbiór M_{k} przecięty z \bigcup _{{t\in[t_{1},t_{2}]}}D_{t} jest sumą 2^{k} skręconych walców; jeśli punkty x,y należą do róznych walców to nie da się ich połączyć spójnym podzbiorem \Lambda o małej średnicy (jedyne ”połączenie” między tymi walcami prowadzi dookoła torusa).

Wykażemy teraz że zbiór \Lambda nie jest łukowo spójnym tzn że nie każde dwa punkty \Lambda dadzą się połaczyc krzywą zawartą w \Lambda. Rozważmy w tym celu dysk D_{0}; oczywiście f(D_{0})\subset D_{0}. Wybierzmy punkt p\in D_{0}\cap\Lambda.

Zbiór M_{k}\cap D_{0} jest sumą rodziny D_{{k,0}} złożonej z 2^{k} dysków, które można łączyc drogami wzdłuż rozciągniętego torusa f^{k}(M). Po wykonaniu jednego obrotu, trafiamy do kolejnego dysku w zbiorze M_{k}\cap D_{0}; po wykonaniu 2^{k} obrotów- trafiamy do wyjściowego dysku. Zatem możemy wybrać punkt q_{1} w tym dysku, ktory jest otrzymany z dysku zawierającego punkt p przez 2^{{k-1}} obrotów. Zatem- każda droga łacząca w M_{k} punkty p i q_{k} musi przeciąć D_{0} przynajmniej 2^{{k-1}} razy, i wykonać pełny obrót wokół torusa pomiędzy każdymi dwoma przecieciami. W następnym kroku konstrukcji, w dysku z rodziny D_{{k,0}} zawierającym p pojawiają się na dwa dyski z rodziny D_{{k+1,0}}. Wybieramy ten z nich, który zawiera punkt p; oznaczmy go D_{{k+1}}^{p}. Podobnie, w dysku k-tej generacji zawierającym q_{k} pojawią się dwa dyski k+1-szej generacji. Jeden z tych dysków da się połaczyć z D_{{k+1}}^{p} drogą która obraca się wokół torusa 2^{{k-1}} razy; drugi- drogą która obraca się 2^{{k}} razy. Wybieramy ten drugi, i jakiś punkt q_{{k+1}} w tym dysku. Oczywiście tak zdefiniowany ciąg q_{k} jest zbieżny i jego granica q jest w \Lambda. Z konstrukcji wynika że każda droga w \Lambda, łącząca p i q, musiałaby przecinać D_{0} przynajmniej k razy i pomiędzy dwoma przecięciami wykonać przynajmniej jeden obrót wokół torusa. Ponieważ tak musi być dla każdego k, taka droga nie istnieje (przeczy to ciągłości drogi).

Sprawdzimy gęstość orbit okresowych. Zauważmy najpierw że istnieje gęsty zbiór argumentów t dla których dysk D_{t} jest przekształcany przez pewną iterację f^{n} (zależna od t) w siebie (są to po prostu argumenty t odpowiadające punktom okresowym dla przekształcenia z^{2} na okręgu). Oczywiście w każdym takim dysku znajdzie się, w takim razie, punkt stały dla f^{n}. Zatem- w każdym zbiorze postaci \bigcup _{{t\in t_{1},t_{2}}}D_{t} jest jakiś punkt okresowy dla f. Rozważmy teraz dowolne otoczenie U dowolnego punktu p\in\Lambda. Istnieje ”cienki cylinder” - czyli zbiór postaci C_{k}=M_{k}\cap\{ t\in T_{1},T_{2}\} (dla pewnych T_{1},T_{2}) zawarty w U (dlaczego?). Wystarczy teraz zauważyć że f^{k}(C_{k}) jest zbiorem postaci \bigcup _{{t\in t_{1},t_{2}}}D_{t}. Zatem znajdzie się w nim jakiś punkt okresowy dla f. Skoro w nim- to także w zbiorze C_{k}, a więc- także w U.

Stwierdzenie 8.4

\Lambda jest zbiorem hiperbolicznym.

Szkic dowodu

Zapiszemy różniczkę przekształcenia f we współrzędnych (t,z):

Df(t,z)=\left(\begin{array}[]{rrrr}2&0\\
\pi i\exp(2\pi it)&\frac{1}{4}Id\\
\end{array}\right)

Wektor styczny zapisujemy jako (u,v), gdzie u\in\mathbb{R},v\in\mathbb{C}. Pod działaniem różniczki wektor (0,v) jest przekształcany na wektor (0,\frac{1}{4}v); mamy więc wyznaczoną wiązkę stabilną. Wykazanie istnienia wiązki niestabilnej jest trudniejsze. Metoda opisana poniżej nazywana jest metodą stożków niezmienniczych.

Wykażemy najpierw że istnieje ”wiązka niezmiennicza stożków niestabilnych”. W kazdym punkcie solenoidu S rozważamy stożek (podzbiór przestrzeni stycznej zaczepionej w tym punkcie), opisany nierównością:

S(p)=\{(u,v)\in T_{p}M:|u|>\frac{1}{2}||v||

(Zatem jest to rodzina stożków połozonych ”poziomo”). Różniczka f nie zachowuje kierunku poziomego, czyli wektora postaci (u,0) (tak jest tylko dla t=0. Ale- zachowuje rodzinę stożków poziomych

Ćwiczenie 8.3

Sprawdzić że dla każdego p\in S mamy

Df(S(p))\subset S(f(p))

Widzimy teraz jak można próbować uzyskać szukaną foliację niestabilną: skoro Df(S(p))\subset S(f(p)), to róWnież Df(S(f^{{-1}}p))\subset S(p), itd i otrzymujemy zstępujący ciąg stożków:

Df^{n}(S(f^{{-n}}(p))\subset S(p))

Jeśli wykażemy że przecięcie tego ciągu stożków, zaczepionych w punkcie p jest jedną prostą (zawartą w T_{p}(M))) otrzymamy jednowymiarową niezmienniczą foliację. Jeśli dodatkowo sprawdzimy, że Df rozciąga wektory należace do prostych z tak wybranej foliacji- otrzymamy brakującą foliację niestabilną.

Najpierw sprawdzimy warunek rozciągania: Na stożkach S(p) możemy użyc dowolnej normy równoważnej z normą euklidesową (czyli np z normą |u|+||v||). Ponieważ ||v||\le 2|u|, więc na stożkach S(p) równoważną normą jest po prostu |||(u,v)|||=|u|. Oczywiście, ta norma jest mnożona przez 2 przy działaniu różniczki Df. Zatem warunek rozciągania został sprawdzony.

Aby sprawdzić że przecięcie Df^{n}(S(f^{{-n}}(p)) jest jedną prostą, zobaczymy jak zmniejsza (zwęża) się stożek S(p) po zastosowaniu operatora rózniczki Df_{p}. Weźmy dwa wektory (u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2})\in S(p). ”Nachylenia” tych wektorów to wartości \frac{v_{1}}{u_{1}}, \frac{v_{2}}{u_{2}}. Niech teraz (U_{1},V_{1})=Df((u_{1},v_{1}), (U_{2},V_{2})=Df((u_{2},v_{2}). Z wzoru na różniczkę Df dostajemy od razu:

\left|\frac{V_{1}}{U_{1}}-\frac{V_{2}}{|U_{2}|}\right|=\frac{1}{8}\left|\frac{v_{1}}{u_{1}}-\frac{v_{2}}{u_{2}}\right|

Zatem różnica między nachyleniami obrazów przy Df^{k} dwóch dowolnych wektorów należących do stożka maleje wykładniczo z k. Wynika stąd oczywiście że przecięcie zstępującego ciągu stożków

Df^{n}(S(f^{{-n}}(p))\subset S(p))

składa się dokładnie z jednej prostej. Jest to szukana przez nas foliacja niestabilna E^{u}.

8.2. Dyfeomorfizmy Anosowa

Zaczniemy od przykładu. Rozważmy automorfizm algebraiczny torusa \mathbb{T}^{2} określony wzorem:

T(x)=\left(\begin{array}[]{rrrr}2&1\\
1&1\\
\end{array}\right)x (8.1)

Mówiąc precyzyjniej, przekształcenie T najpierw jest określone wzorem 8.1 na płaszczyźnie. Ponieważ T jest liniowe i przekształca punkty o współrzędnych całkowitych na punkty o współrzędnych całkowitych, T indukuje gładkie przekształcenie torusa f:\mathbb{T}^{2}\to\mathbb{T}^{2}. Zauważmy że f jest odwracalne (ponieważ wyznacznik macierzy jest równy 1); przekształcenie odwrotne jest indukowane przez przekształcenie liniowe płaszczyzny o macierzy:

T(x)=\left(\begin{array}[]{rrrr}1&-1\\
-1&2\\
\end{array}\right)x

Punkt p=(0,0) jest punktem stałym hiperbolicznym. Wartości własne dla macierzy przekształcenia T to \lambda _{1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}>1 i \lambda _{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}<1. Odpowiednie (wzajemnie prostopadłe) kierunki własne to y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}x, y=-\frac{\sqrt{5}+1}{2}x. Oznaczmy prostą wyznaczoną przez pierwsze równanie na płaszczyźnie przez L_{1}, drugą prostą przez L_{2}. Wówczas T(L_{1})=L_{1} (ta prosta jest rozciągana przy działąniu T); podobnie T(L_{2})=L_{2} (ta prosta jest ściągana przy działaniu T).

Zauważmy dalej że jeśli p jest dowolnym punktem płąszczyzny, to obrazem prostej afinicznej p+L_{1} jest prosta afiniczna T(p)+L_{1}; podobnie dla L_{2}. Mamy więc w każdym punkcie płaszczyzny wyznaczony kierunek stabilny E^{s} i niestabilny E^{u}. Mamy też globalne rozmaitości niestabilną p+L_{1} i stabilną p+L_{2}. Po zrzutowaniu na torus proste p+L_{1}, p+L_{2} utworzą foliacje stabilną i niestabilną dla przekształcenia f. Zrzutowane proste są gęsto nawiniętymi obmotkami na torusie.

Wniosek 8.3

Dla tego dyfeomorfizmu cała rozmaitość \mathbb{T}^{2} jest zbiorem hiperbolicznym.

Stwierdzenie 8.5

Zdefiniowany powyżej dyfeomorfizm f:\mathbb{T}^{2}\to\mathbb{T}^{2} ma gęsty zbiór orbit okresowych.

Dowód pozostawimy jako zadanie:

Ćwiczenie 8.4

Wykazać że jeśli f jest hiperbolicznym automorfizmem torusa \mathbb{T}^{m} to punkt x\in\mathbb{T}^{m} jest okresowy wtedy i tylko wtedy x=\pi(X) dla pewnego punktu X\in\mathbb{R}^{m} o wymiernych współrzędnych.

Zauważmy że ten dyfeomorfizm jest bardzo różny od dyfeomorfizmów Morse'a- Smale'a, omawianych przez nas wcześniej. Dla tamtych dyfeomorfizmów zbiór punktów niebładzących składał się ze skończonej liczby hiperolicznych orbit okresowych. Dowód ich strukturalnej stabilności (przeprowadziliśmy dowód dla dyfeomorfizmów okręgu w wykładzie ??? rozpoczynał się od sprawdzenia że przy małym zaburzeniu wszystkie orbity zachowają się.

W tej nowej sytuacji mamy nieskończenie wiele hiperbolicznych orbit okresowych. Mimo to, przy małym zaburzeniu wszystkie te orbity zachowują się! Twierdzenie to ma daleko idące uogólnienia (stabilność dowolnych zbiorów hiperbolicznych). Najpierw podamy elegancki dowód (pochodzący od J. Mosera) dla automorfizmu algebraicznego torusa.

Twierdzenie 8.3

Hiperboliczny automorfizm torusa \mathbb{T}^{m} jest C^{1} strukturalnie stabilny.

Będziemy dla uproszczenia zakładali że mamy do czynienia z automorfizmem f dwuwymiarowego torusa. Jest on reprezentowany przez macierz przekształcenia liniowego T na płaszczyźnie. NIech g będzie dyfeomorfizmem torusa bliskim f w C^{1} topologii. Twierdzimy że wówczas istnieje dyfeomorfizm płaszczyzny G, który jest C^{1} bliski T, i taki że \pi\circ G=g. Istotnie, mamy f\circ\pi=\pi\circ T. Zatem, jeśli g(x) jest \varepsilon bliskie f(x) to dla każdego X\in\pi^{{-1}}(x) istnieje dokładnie jeden punkt Y\in\pi^{{-1}}(g(x) który jest \varepsilon bliski punktowi T(X) na płaszczyźnie. Kładziemy G(X)=Y. G jest zatem dobrze określone; jest gładkie ponieważ -lokalnie G zapisuje się jako \pi^{{-1}}\circ g\circ\pi ( dla pewnej gałezi \pi^{{-1}}). Zastosujemy do przekształcenia liniowego T i do dyfeomorfizmu G twierdzenie Grobmana- Hartmana. Możemy je zastosować bo G jestC^{1} małym zaburzeniem T w całym \mathbb{R}^{2} . Zatem G możemy zapisać jako G=T+\phi gdzie phi jest klasy C^{1} i jest C^{1} bliskie zera.

Wspomniane Twierdzenie gwarantuje istnienie homeomorfizmu H:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}, który jest sprzężeniem między T i G:

H\circ T=G\circ H (8.2)

Oczywiście, nie wynika stąd że homeomorfizm H da się zrzutować do homeomorfizmu h na torusie, sprzęgającego działanie f i g. Przypomnijmy, że w dowodzie twierdzenia Grobmana- Hartmana (rozdział 6) homeomorfizm H otrzymuje się w postaci I+u (I jest przekształceniem identycznościowym). Na to żeby H=I+u rzutowało się do T^{2} potrzeba aby dla każdego p\in\mathbb{Z}^{2} istniało q\in\mathbb{Z}^{2} takie że

(I+u)(X+p)=q+(I+u)(X)

czyli u(X+p)=q+X+u(X), u(X+p)-X=q-p. Jeśli H ma być bliskie identyczności (czyli ||u|| ma być małe) to trzeba aby u(x+p)=u(x), czyli żeby u było (dwu)okresowe. Wówczas h=\pi\circ(I+u)\circ\pi^{{-1}} jest dobrze określone i jest homeomorfizmem torusa. Musimy zatem wykazać że w dowodzie twierdzenia Grobmana- Hartmana możemy poszukiwać rozwiązania zagadnienia 8.2 w postaci H=I+u gdzie u należy do podprzestrzeni przestrzeni C^{0}_{b}(\mathbb{R}^{2} złożonej z funkcji dwuokresowych. Oznaczmy tę podprzestrzeń przez \mathcal{P}. Tak jak w dowodzie twierdzenia Grobmana- Hartmana, wprowadzamy operator S działający w przestrzeni funkcji C^{0}_{b}(\mathbb{R}^{2}, określony wzorem S(u)=u\circ T-T\circ u. Tak samo jak poprzednio, stwierdzamy że S jest odwracalny, skoro T jest hiperboliczny. Zauważamy teraz że S przekształca funkcję dwuokresową u na funkcję dwuokresową. Zatem S zachowuje przestrzeń \mathcal{P}. Przekształcenie

K(u)=S^{{-1}}(\phi(I+u))

jest kontrakcją w normie C_{b}^{0} i zachowuje domkniętą podprzestrzeń \mathcal{P}. Zatem jedyny punkt stały u leży w podprzestrzeni \mathcal{P}.

Punkt stały u spełnia równanie

(I+u)\circ T=(T+\phi)(I+u)

czyli H=I+u spełnia

H\circ T=G\circ H

. Wówczas homeomorfizm H rzutuje się do homeomorfizmu h:\mathbb{T}^{2}\to\mathbb{T}^{2}, czyli \pi\circ H=h\circ\pi i h jest szukanym sprzężeniem: h\circ f=g\circ h.

Wniosek 8.4

Jest to jeszcze jeden sposób na przekonanie się że w wymiarze \ge 2 dyfeomorfizmy Morse'a-Smale'a na gładkiej zwartej rozmaitości nie stanowią gęstego podzioru w C^{1} topologii.

8.3. Stabilność zbiorów hiperbolicznych

Stwierdzenie 8.6 (Zbió hiperboliczny dla bliskiego przekształcenia)

Niech \Lambda będzie zbiorem hiperbolicznym dyfeomorfizmu f. Wówczas istnieje otoczenie V zbioru \Lambda takie że jeśli g jest dyfeomorfizmem, dostatecznie bliskim (w C^{1} metryce) f na V, to zbiór

\Lambda _{V}^{g}=\bigcap _{{n\in\mathbb{Z}}}g^{n}(\overline{V})

jest hiperboliczny.

Uwaga 8.4

Nie wiemy jeszcze jak zbiór \Lambda _{V}^{g} jest związany z \Lambda, a nawet- czy jest niepusty.

Na zbiorze \Lambda mamy rozkład przestrzeni stycznej T_{p}M=E^{s}_{p}\oplus E^{u}_{p}, zależny wsposób ciągły od p. Możemy ten rozkład rozszerzyć do ciągłego (niekoniecznie niezmienniczego!) na pewne otoczenie \Lambda\subset\tilde{V}.

Rozpatrujemy teraz rodzinę stożków poziomych i pionowych. Stożki poziome to

H^{\gamma}_{x}=\{ v+w:v\in E^{u}_{x},w\in E^{s}_{x},~~~||w||\le\gamma||v||\},

stożki pionowe:

V^{\gamma}_{x}=\{ v+w:v\in E^{u}_{x},w\in E^{s}_{x},~~~||v||\le\gamma||w||\}.

Jeśli x\in\Lambda, to stożek poziomy H^{\gamma}_{x} jest przekształcany przez D_{x}f w stożek poziomy zaczepiony w punkcie f(x); podobnie stożek pionowy V^{\gamma}_{x} jest przekształcany przez D_{x}f^{{-1}} w stożek pionowy w punkcie f^{{-1}}(x); dokładniej- mamy nawet pewien ”zapas”- obraz H^{\gamma}_{x} jest zawarty w H^{{\gamma _{\lambda}^{{-2}}}}x; podobnie dla stożków pionowych. Dzięki temu, jeśli g jest bliskie f w C^{1} metryce, to również D_{x}g zachowuje tę rodzinę stożków poziomych i pionowych; nie tylko dla x\in\Lambda ale też dla x\in V, gdzie V jest pewnym otoczeniem \Lambda.

Wykażemy że stąd wynika dla punktów x\in\Lambda _{V}^{g} istnienie niezmienniczego rozkładu T_{x}M na podprzestrzeń stabilną i niestabilną przy działaniu g.

W tym celu udowodnimy następujący

Lemat 8.1

Niech L_{m}:\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}^{u}\oplus\mathbb{R}^{s}\to\mathbb{R}^{u}\oplus\mathbb{R} będzie ciągiem przekształceń liniowych takich że

  1. L_{m}(H^{\gamma})\subset{\rm int}H^{\gamma}

  2. L_{m}^{{-1}}V_{\gamma}\subset{\rm int}V^{\gamma}

  3. ||L_{m}(u)||>\lambda||u|| dla u\in H^{\gamma}

  4. ||L_{m}(v)||<\lambda^{{-1}}||v|| dla v\in L_{m}^{{-1}}(V^{\gamma}).

Wówczas zbiory

E^{u}_{m}=\bigcap _{{i=0}}^{\infty}L_{{m-1}}\circ L_{{m-2}}\circ\dots\circ L_{{m-i}}H^{\gamma}

oraz

E^{s}_{m}=\bigcap _{{i=0}}^{\infty}L^{{-1}}_{m}\circ L^{{-1}}_{{m+1}}\circ\dots\circ L^{{-1}}_{{m+i}}V^{\gamma}

są (odpowiednio) s- i u- wymiarowymi podprzestrzeniami liniowymi \mathbb{R}^{n}

do skończenia

8.4. DA atraktor

do uzupełnienia Naszkicujemy konstrukcję interesujacego atraktora, który powstaje dla przekształcenia uzyskanego przez modyfikację automorfizmu ergodycznego torusa (stąd nazwa: Derived from Anosov). Zaczynamy od opisanego w poprzednim rozdziale hiperbolicznego automorfizmu torusa f wyznaczonego przez przekształcenie liniowe

T(x)=\left(\begin{array}[]{rrrr}1&-1\\
-1&2\\
\end{array}\right)x

Punkt p=(0,0) jest punktem stałym hiperbolicznym. Zmodyfikujemy przekształcenie w otoczeniu punktu p tak aby stał się źródłem; blisko pojawią się dwa inne punkty stałe (siodła). Ustalmy więc małe otoczenie U punktu p; będziemy w nim używali współrzędnych w bazie wyznaczonej przez kierunki własne. Zatem zapis wektora (u_{1},u_{2}) oznacza że wektor ten jest kombinacją liniową (u_{1}v_{u}+u_{2}v_{s}). Zmodyfikujemy przekształcenie f ”likwidując” ściaganie w kierunku stabilnym. Formalnie, można to zrobic na przykład tak: Weźmy pomocniczą funkcję \varphi klasy C^{\infty} o wykresie w kształcie ”dzwonu”: \varphi(x)=1 dla |x|<r_{0}, \varphi(x)=0 dla |x|>r_{0}. Rozpatrujemy w otoczeniu punktu (0,0) pole wektorowe o równaniu:

\begin{cases}\dot{u}_{1}=0\\
\dot{u}_{2}=u_{2}\varphi(||u||)\\
\end{cases}

Oznaczając przez F_{t} potok tego pola widzimy że

DF_{t}(0,0)=\left(\begin{array}[]{rrrr}1&0\\
0&e^{t}\\
\end{array}\right)

i że poza otoczeniem zera ||u||<r_{0} F_{t} jest identycznością.

Nasze nowe przekształcenie to

g=F_{t}\circ f

gdzie t jest na tyle duże że e^{t} jest większe od odwrotności mniejszej wartości własnej T. We współrzędnych w bazie wektorów własnych T macierz różniczki g ma postać

Dg(0,0)=\left(\begin{array}[]{rrrr}\lambda _{u}&0\\
0&e^{t}\lambda _{s}\\
\end{array}\right)

Zatem punkt (0,0) stał się źródłem. Nowe przekształcenie też jest dyfeomorfizmem.

Wykażemy

Twierdzenie 8.4

Dla dyfeomorfizmu g mamy:

\Omega(g)=\{ p\}\cup\Lambda

gdzie \Lambda jest hiperbolicznym atraktorem. Wymiar topologiczny \Lambda jest równy 1. g_{{|\Lambda}} jest topologicznie tranzytywne. Orbity okresowe są gęste w \Lambda

Rozmaitość stabilna dla f (jest to podprzestrzeń liniowa stabilna) W^{s} jest zachowywana oczywiście również przez g; podobnie- podprzestrzeń niestabilna. Przekształcenie obcięte do rozmaitości niestabilnej pozostaje niezmienione. Natomiast na rozmaitości stabilnej (rysunek) pojawiają się dwa nowe punkty stałe p_{1}ip_{2}. rysunek

Twierdzimy że są to siodła. Istotnie, w kierunku stabilnym różniczka ma wartość własną mniejszą niż 1. Zauważmy że macierz różniczki dyfeomorfizmu F_{t} ma postać

=\left(\begin{array}[]{rrrr}1&0\\
*&*\\
\end{array}\right)

Wynika to stąd że potok F_{t} zachowuje współrzędną u_{1}. Zatem Dg ma postać

=\left(\begin{array}[]{rrrr}1&0\\
*&*\\
\end{array}\right)\cdot=\left(\begin{array}[]{rrrr}\lambda _{u}&0\\
0&\lambda _{s}\\
\end{array}\right)==\left(\begin{array}[]{rrrr}\lambda _{u}&0\\
0&*\\
\end{array}\right)

Dla różniczki wyliczonej w punktach p_{1} i p_{2} wyraz zaznaczony * ma moduł mniejszy niż 1 (por. wykres przekształcenia g obciętego do podrzestrzeni stabilnej f. Zatem p_{1}, p_{2} są siodłami.

Z naszych rozważań wynika też że w całym zbiorze U różniczka g ma postać

=\left(\begin{array}[]{rrrr}a&0\\
b&c\\
\end{array}\right)

Dla różniczki policzonej w punkcie p oczywiście b jest równe 0, zaś c ma moduł większy od 1.

Ustalmy teraz otoczenie V ounktu p takie że

  1. Dla q\in V wyraz c w wyrażeniu na różniczkę Dg(q) jest większy (co do modułu) od 1.

  2. 0<c<1 dla różniczki policzonej w punktach q\notin g(V) (czyli poza V g pozostaje ściągające wzdłuż wyjsciowego kierunku stabilnego E^{s}).

  3. g(V)\supset V

DA atraktor
Rys. 8.1. Konstrukcja DA atraktora.

Istnienie takiego V wynika z linearyzacji g w otoczeniu p.

Skoro V\subset g(V) to V\subset W^{u}_{g}(p); ponadto W^{u}_{g}(p)=\bigcup _{{j=0}}^{\infty}g^{j}(V). Niech Z=\mathbb{T}^{2}\setminus V. Wówczas g(Z)\subset Z.

Definiujemy \Lambda=\mathbb{T}^{2}\setminus W^{u}_{g}(p)=\bigcap _{{n=0}}^{\infty}g^{n}(Z)

Widać jak powstaje zbiór \Lambda. Operacja zamiany f na g prowadzi do ”rozszczepienia” rozmaitości stabilnej punktu p; staje sie on źródłem, a dodatkowo powstają dwa siodła p_{1} i p_{2}. ”Szczelina” pomiędzy W^{s}(p_{1}) i W^{s}(p_{2}) to W^{u}_{g}(p). Uzupełnienie tego zbioru to \Lambda.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.