Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Układy dynamiczne – 9. Przekształcenia zachowujące miarę – MIM UW

Zagadnienia

9. Przekształcenia zachowujące miarę

9.1. Podstawowe definicje i fakty

Rozpatrujemy przestrzeń z miarą probabilistyczną (X,\mathcal{F},\mu) (\mathcal{F} jest \sigma caiłem zbiorów mierzalnych).

Definicja 9.1

Mówimy że przekształcenie T:X\to X jest mierzalne względem \sigma-ciała \mathcal{F} jeśli dla każdego zbioru A\in\mathcal{F} zbiór T^{{-1}}(A) też należy do \sigma-ciała \mathcal{F}.

Definicja 9.2

Mówimy że mierzalne przekształcenie zachowuje miarę \mu jeśli dla każdego A\in\mathcal{F} mamy

\mu(T^{{-1}}(A)=\mu(A) (9.1)

tu będą przykłady: z^{2}, namiot, 2-z^{2}, ułamki łancuchowe

Uwaga 9.1

Jeśli dodatkowo T jest odwracalne i T^{{-1}} jest mierzalne, to warunek 9.1 możemy zapisać

\mu(T(A)=\mu(A)
Twierdzenie 9.1 (Twierdzenie Poincare'go o powracaniu)

Niech (X,\mathcal{F},\mu) będzie przestrzenią probablistyczną T:X\to X - zachowuje miarę \mu, A\in\mathcal{F}. Wówczas dla \mu-prawie każdego x\in A istnieje nieskończenie wiele czasów n takich że T^{n}(x)\in A.

Zbiór

B=\{ x\in A:\exists m>0:\forall n\ge m~~T^{n}(x)\not\in A

jest mierzalny (dlaczego?). Pokażemy że \mu(B)=0. Wystarczy pokazać że \mu(C)=0 gdzie

C=\{ x\in A:\forall n\ge 1~~T^{n}(x)\not\in A

Zauważamy że zbiory C,T^{{-1}}(C),\dots,T^{{-n}}(C)\dots są parami rozłaczne. Jest ich nieskończenie wiele, miara X jest skończona, Zatemu wszystkie te zbiory muszą mieć miarę zero.

Podamy teraz ważną definicję:

Definicja 9.3 (Ergodyczność)

Przekształcenie mierzalne przestrzeni z miarą X nazywamy ergodycznym jeśli dla każdego A zbioru mierzalnego mamy

\mu(A\div T^{{-1}}(A))=0\implies\mu(A)=0~~{\rm lub}~~\mu(X\setminus A)=0
Uwaga 9.2

W tej definicji ergodyczności nie zakłądamy ani niezmienniczości miary \mu dla przekształcenia T ani skończoności miary \mu. Jeśli T dodatkowo spełnia implikację \mu(A)=0\implies\mu(T^{{-1}}(A)=0, w szczególności jeśli T zachowuje miarę \mu to definicję ergodyczności można równoważnie zapisać (taką definicję spotyka się na ogół)

Definicja 9.4 (Ergodyczność miary niezmienniczej)

Przekształcenie mierzalne T przestrzeni z miarą X, zachowujące tę miarę jest ergodyczne jeśli dla każdego A zbioru mierzalnego mamy

A=T^{{-1}}(A)\implies\mu(A)=0~~{\rm lub}~~\mu(X\setminus A)=0

Zdefiniujemy teraz \sigma-ciało zbiorów ”prawie” niezmienniczych

\mathcal{G}=\{ A\in\mathcal{F}:\mu(A\div T^{{-1}}(A))=0

Mamy łatwe

Stwierdzenie 9.1

Jeśli funkcja \phi:X\to\mathbb{R} jest mierzalna względem \sigma-ciała \mathcal{G} to \phi jest prawie na pewno stała na trajektoriach:

\mu\{ x:\phi(Tx)=\phi(x)\}=1

. Załóżmy przeciwnie, że D=\{ x:\phi(Tx)\neq\phi(x)\} ma dodatnią miarę. Wówczas istnieje takie a\in\mathbb{Q} że zbiór D_{a}=\{ x\in D:\phi(x)<a~{\rm i}~\phi(Tx)>a\} ma dodatnią miarę (albo dodatnią miarę ma zbiór D_{a} zdefiniowany przez przeciwne nierówności). Ale D_{a} nie przecina się z T^{{-1}}(D_{a}) (wystarczy spojrzeć na definicję zbioru D_{a}); z drugiej strony D_{a} jest elementem \sigma ciała \mathcal{G}. Wynika stąd że \mu(D_{a})=0, wbrew przypuszczeniu (zbiory z \sigma-ciała \mathcal{G} różnią się przecież od swojego przeciwobrazu o zbiór miary zero).

Zanotujmy jeszcze oczywiste ale ważne fakty:

Stwierdzenie 9.2

Jesłi T:X\to X jest przekształceniem zachowujacym miarę, to T jest ergodyczne wtedy i tylko wtedy gdy \sigma- ciało \mathcal{G} jest trywialne (składa się wyłącznie ze zbiorów miary 0 i zbiorów miary 1).

Wniosek 9.1

Jeśli T:X\to X jest ergodyczne, to każda funkcja mierzalna \phi:X\to\mathbb{R} która jest T- niezmiennicza (tzn \phi\circ T=\phi prawie wszędzie) jest stałą prawie wszędzie.

Gdzies troszke dalej w forma zadania moze, trzeba umiescic różne warunki równoważne na ergodyczność

9.2. Twierdzenie ergodyczne

Twierdzenie Ergodyczne jest jednym z najważniejszych wyników w teorii przekształceń zachowujących miarę. Rozważmy funkcję mierzalną \phi:X\to\mathbb{R} (czyli - w języku rachunku prawdopodobieństwa- zmienną losową). Mamy wówczas ciąg funkcji mierzalnych (zmiennych losowych)

\phi,\phi\circ T,\phi\circ T^{2},\dots,\phi\circ T^{n},\dots (9.2)

(mamy więc jakąs funkcję (obserwablę) określoną na naszej przestrzeni X i wyliczamy jej wartości wzdłuż trajektorii).

Otrzymujemy w ten sposób ciąg zmiennych losowych o tym samym rozkłądzie (dlaczego?), ale oczywiscie nie niezależnych. Twierdzenie Ergodyczne jest odpowiednikiem Prawa Wielkich Liczb, dla takiego właśnie ciągu jednakowo rozlożonych i całkowalnych ale zależnych (przez sposób w jaki zostały zdefiniowane) zmiennych losowych.

Twierdzenie 9.2 (Twierdzenie Ergodyczne)

Niech T:X\to X będzie przekształceniem zachowującym miarę probabilistyczną \mu określoną na \sigma ciele \mathcal{F} podzbiorów X. Niech \phi:X\to\mathbb{R} będzie funkcją całkowalną względem miary \mu (\phi\in L^{1}(\mu)). Wówczas mamy

{{\phi+\phi\circ T+\phi\circ T^{2}+\dots+\phi\circ T^{{n-1}}}\over{n}}\to E(\phi|\mathcal{G}) (9.3)

(gdzie E(\phi|\mathcal{G} oznacza warunkową wartość oczekiwaną względem \sigma- ciała \mathcal{G}). Zbieżność jest tutaj prawie wszędzie i w L^{1}.

Uwaga 9.3

Zauważmy że (jak wynika ze Stwierdzenia 9.1) funkcja E(\phi|\mathcal{G} jest (prawie wszędzie) T- niezmiennicza. Zatem w twierdzieniu ergodycznym otzymujemy zbieżność do funcji T- niezmienniczej, oczywiscie o tej samej całce co \phi.

Wniosek 9.2

Jeśli dodatkowo założymy że T jest ergodyczne, mamy

{{\phi+\phi\circ T+\phi\circ T^{2}+\dots+\phi\circ T^{{n-1}}}\over{n}}\to E(\phi) (9.4)

prawie wszędzie (zatem dla ergodycznego przekształcenia T teza twierdzenia jest dokładnym odpowiednikiem Prawa Wielkich Liczb).

Wniosek 9.3 (Częstość odwiedzin)

Jesli T:X\to X jest ergodyczne, A\in\mathcal{F} to z Twierdzenia Ergodycznego, zastosowanego dla \phi=\xi _{A} otrzymujemy

{{{\rm card}\left(i\le n:T^{i}(x)\in A\right)}\over n}\to\mu(A) (9.5)

prawie wszędzie.

Dowód Twierdzenia Ergodycznego

Najpierw udowodnimy następujący Lemat:

Lemat 9.1 (Maksymalne Twierdzenie Ergodyczne)

Niech f\in L^{{1}}(\mu). Zdefiniujmy zbiór A następująco:

A=\{ x\in X:\sup\sum _{{k=0}}^{n}f(T^{i}(x))=\infty

Wówczas

\int _{A}f\ge 0

Określamy

F_{n}=\max\left(\sum _{{i=0}}^{{k-1}}f\circ T^{i},~~1\le k\le n\right) (9.6)

Zauważmy że

F^{{n+1}}(x)-F^{n}(Tx)=f(x)-\min\left(0,F_{n}(Tx)\right) (9.7)

Wynika stąd po pierwsze że ciąg F^{{n+1}}(x)-F^{n}(Tx) jest nierosnący, a po drugie- że dla x\in A mamy

F_{{n+1}}(x)-F_{n}(Tx)\to f(x) (9.8)

a stąd:

0\le\int _{A}\left(F_{{n+1}}-F_{n}\right)d\mu=\int _{A}\left(F_{{n+1}}-F_{n}\circ T\right)\to\int _{A}fd\mu (9.9)

Równość wynika stąd że z niezmienniczości miary \mu mamy \int _{{f^{{-1}}(A)}}F_{n}\circ T=\int _{A}F_{n}, a dzięki temu że zbiór A jest niezmienniczy ( A (f^{{-1}}(A)=A), możemy następnie f^{{-1}}(A) zastąpić przez A.

Ostatnie przejscie do granicy jest uprawnione, bo ciąg funkcji F_{{n+1}}-F_{n}\circ T jest nierosnący, i zbieżny na zbiorze A do całkowalnej funkcji f. Formuła LABEL:max kończy dowód Maksymalnego Twierdzenia Ergodycznego.

Założmy teraz że E(f|\mathcal{G})<0 prawie wszędzie. Skoro A jest niezmienniczy, to oczywiście A\in\mathcal{G}, zatem

\int _{A}f=\int _{A}E(f|\mathcal{G})<0

Zatem: jeśli E(f|\mathcal{G})<0 prawie wszędzie, to z Maksymalnego Twierdzenia Ergodycznego wynika że \mu(A)=0. Poza zbiorem A mamy zaś oczywiście:

\limsup{1\over n}\sum _{{k=0}}^{{n-1}}f\circ T^{k}\le 0 (9.10)

Zastosujemy tę obserwację do funkcji

f=\phi-E(\phi|\mathcal{G})-\varepsilon

(\varepsilon jest tu dowolną liczbą dodatnią). Oczywiście E(f|\mathcal{G})=-\varepsilon<0

Mamy zatem

\limsup{1\over n}\sum _{{k=0}}^{{n-1}}\left(\phi-E(\phi|\mathcal{G})-\varepsilon\right)\circ T^{k}\le 0 (9.11)

Stwierdzenie refniezm pozwala teraz zauważyć że funkcja E(\phi|\mathcal{G}) jest T- niezmiennicza, zatem nierówność 9.11 możemy (prawie wszędzie) przepisac:

\limsup{1\over n}\sum _{{k=0}}^{{n-1}}\left(\phi\circ T^{k}\right)\le E(\phi|\mathcal{G})+\varepsilon (9.12)

Dla zakończenia dowodu wystarczy teraz zauważyć że \varepsilon jest dowolne, zatem

\limsup{1\over n}\sum _{{k=0}}^{{n-1}}\left(\phi\circ T^{k}\right)\le E(\phi|\mathcal{G})

prawie wszędzie (wystarczy wybrać ciąg epsylonów zbieżny do zera), zaś zamieniając \phi na -\phi otrzymujemy:

\liminf{1\over n}\sum _{{k=0}}^{{n-1}}\left(\phi\circ T^{k}\right)\ge E(\phi|\mathcal{G})

Pozostaje do sprawdzenia że zbieżność jest także w L^{1}

Sformułujemy teraz kilka warunków równoważnych ergodyczności; pozostawimy je jako zadanie:

Ćwiczenie 9.1 (Warunki równoważne ergodyczności)

Niech T:X\to X będzie przekształceniem zachowującym miarę \mu. Wykazać równoważność następujących warunków:

  • 1. T jest ergodyczne

  • 2. każda funkcja f\in L^{1}(\mu, T- niezmiennicza jest stała prawie wszędzie.

  • 2'. każda funkcja f\in L^{2}(\mu, T- niezmiennicza jest stała prawie wszędzie.

  • 3. dla każdej funkcji \phi\in L^{{1}}(\mu) mamy

    {1\over n}\sum _{{k=0}}^{{n-1}}\phi\circ T^{k}\to\int\phi d\mu
  • 3'. dla każdego zbioru A\in\mathcal{F} mamy

    \lim _{{n\to\infty}}{1\over n}\left({\rm card}\{ i\le n:T^{i}(x)\in A\}\right)\to\mu(A)

    \mu- prawie wszędzie.

  • 4. dla dowolnych zbiorów A,B\in\mathcal{F}

    {1\over n}\sum _{{k=0}}^{{n-1}}\mu\left(A\cap T^{{-k}}(B)\right)\to\mu(A)\mu(B)

Następne ćwiczenie pokazuje że dla tego samego przekształcenia miary ergodyczne niezmiennicze są dla siebie ”wzajemnie niewidoczne”.

Ćwiczenie 9.2

NIech T:X\to X będzie przekształceniem mierzalnym względem \sigma-ciała \mathcal{F}. Wykazać że jeśli \mu _{1}, \mu _{2} są dwiema różnymi miarami określonymi na \mathcal{F}, to \mu _{1}, \mu _{2} są wzajemnie singularne.

Wskazówka: 

Skoro miary są rózne, to istnieje A\in\mathcal{F} taki że \mu _{1}(A)\neq\mu _{2}(A). Skorzystać z własności 3^{{\prime}} z poprzedniego zadania.

9.3. Przykłady przekształceń ergodycznych

obrot na okręgu, przesunięcia na torusie, automorfizmy torusa, układy symboliczne

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.