Zagadnienia

9. Przekształcenia zachowujące miarę

9.1. Podstawowe definicje i fakty

Rozpatrujemy przestrzeń z miarą probabilistyczną X,F,μ (F jest σ caiłem zbiorów mierzalnych).

Definicja 9.1

Mówimy że przekształcenie T:XX jest mierzalne względem σ-ciała F jeśli dla każdego zbioru AF zbiór T-1A też należy do σ-ciała F.

Definicja 9.2

Mówimy że mierzalne przekształcenie zachowuje miarę μ jeśli dla każdego AF mamy

μ(T-1(A)=μ(A) (9.1)

tu będą przykłady: z2, namiot, 2-z2, ułamki łancuchowe

Uwaga 9.1

Jeśli dodatkowo T jest odwracalne i T-1 jest mierzalne, to warunek 9.1 możemy zapisać

μ(T(A)=μ(A)
Twierdzenie 9.1 (Twierdzenie Poincare'go o powracaniu)

Niech X,F,μ będzie przestrzenią probablistyczną T:XX - zachowuje miarę μ, AF. Wówczas dla μ-prawie każdego xA istnieje nieskończenie wiele czasów n takich że TnxA.

Zbiór

B={xA:m>0:nmTn(x)A

jest mierzalny (dlaczego?). Pokażemy że μB=0. Wystarczy pokazać że μC=0 gdzie

C={xA:n1Tn(x)A

Zauważamy że zbiory C,T-1C,,T-nC są parami rozłaczne. Jest ich nieskończenie wiele, miara X jest skończona, Zatemu wszystkie te zbiory muszą mieć miarę zero.

Podamy teraz ważną definicję:

Definicja 9.3 (Ergodyczność)

Przekształcenie mierzalne przestrzeni z miarą X nazywamy ergodycznym jeśli dla każdego A zbioru mierzalnego mamy

μAT-1A=0μA=0lubμXA=0
Uwaga 9.2

W tej definicji ergodyczności nie zakłądamy ani niezmienniczości miary μ dla przekształcenia T ani skończoności miary μ. Jeśli T dodatkowo spełnia implikację μ(A)=0μ(T-1(A)=0, w szczególności jeśli T zachowuje miarę μ to definicję ergodyczności można równoważnie zapisać (taką definicję spotyka się na ogół)

Definicja 9.4 (Ergodyczność miary niezmienniczej)

Przekształcenie mierzalne T przestrzeni z miarą X, zachowujące tę miarę jest ergodyczne jeśli dla każdego A zbioru mierzalnego mamy

A=T-1AμA=0lubμXA=0

Zdefiniujemy teraz σ-ciało zbiorów ”prawie” niezmienniczych

G={AF:μ(A÷T-1(A))=0

Mamy łatwe

Stwierdzenie 9.1

Jeśli funkcja ϕ:XR jest mierzalna względem σ-ciała G to ϕ jest prawie na pewno stała na trajektoriach:

μx:ϕTx=ϕx=1

. Załóżmy przeciwnie, że D=x:ϕTxϕx ma dodatnią miarę. Wówczas istnieje takie aQ że zbiór Da=xD:ϕxaiϕTxa ma dodatnią miarę (albo dodatnią miarę ma zbiór Da zdefiniowany przez przeciwne nierówności). Ale Da nie przecina się z T-1Da (wystarczy spojrzeć na definicję zbioru Da); z drugiej strony Da jest elementem σ ciała G. Wynika stąd że μDa=0, wbrew przypuszczeniu (zbiory z σ-ciała G różnią się przecież od swojego przeciwobrazu o zbiór miary zero).

Zanotujmy jeszcze oczywiste ale ważne fakty:

Stwierdzenie 9.2

Jesłi T:XX jest przekształceniem zachowujacym miarę, to T jest ergodyczne wtedy i tylko wtedy gdy σ- ciało G jest trywialne (składa się wyłącznie ze zbiorów miary 0 i zbiorów miary 1).

Wniosek 9.1

Jeśli T:XX jest ergodyczne, to każda funkcja mierzalna ϕ:XR która jest T- niezmiennicza (tzn ϕT=ϕ prawie wszędzie) jest stałą prawie wszędzie.

Gdzies troszke dalej w forma zadania moze, trzeba umiescic różne warunki równoważne na ergodyczność

9.2. Twierdzenie ergodyczne

Twierdzenie Ergodyczne jest jednym z najważniejszych wyników w teorii przekształceń zachowujących miarę. Rozważmy funkcję mierzalną ϕ:XR (czyli - w języku rachunku prawdopodobieństwa- zmienną losową). Mamy wówczas ciąg funkcji mierzalnych (zmiennych losowych)

ϕ,ϕT,ϕT2,,ϕTn, (9.2)

(mamy więc jakąs funkcję (obserwablę) określoną na naszej przestrzeni X i wyliczamy jej wartości wzdłuż trajektorii).

Otrzymujemy w ten sposób ciąg zmiennych losowych o tym samym rozkłądzie (dlaczego?), ale oczywiscie nie niezależnych. Twierdzenie Ergodyczne jest odpowiednikiem Prawa Wielkich Liczb, dla takiego właśnie ciągu jednakowo rozlożonych i całkowalnych ale zależnych (przez sposób w jaki zostały zdefiniowane) zmiennych losowych.

Twierdzenie 9.2 (Twierdzenie Ergodyczne)

Niech T:XX będzie przekształceniem zachowującym miarę probabilistyczną μ określoną na σ ciele F podzbiorów X. Niech ϕ:XR będzie funkcją całkowalną względem miary μ (ϕL1μ). Wówczas mamy

ϕ+ϕT+ϕT2++ϕTn-1nE(ϕ|G) (9.3)

(gdzie E(ϕ|G oznacza warunkową wartość oczekiwaną względem σ- ciała G). Zbieżność jest tutaj prawie wszędzie i w L1.

Uwaga 9.3

Zauważmy że (jak wynika ze Stwierdzenia 9.1) funkcja E(ϕ|G jest (prawie wszędzie) T- niezmiennicza. Zatem w twierdzieniu ergodycznym otzymujemy zbieżność do funcji T- niezmienniczej, oczywiscie o tej samej całce co ϕ.

Wniosek 9.2

Jeśli dodatkowo założymy że T jest ergodyczne, mamy

ϕ+ϕT+ϕT2++ϕTn-1nEϕ (9.4)

prawie wszędzie (zatem dla ergodycznego przekształcenia T teza twierdzenia jest dokładnym odpowiednikiem Prawa Wielkich Liczb).

Wniosek 9.3 (Częstość odwiedzin)

Jesli T:XX jest ergodyczne, AF to z Twierdzenia Ergodycznego, zastosowanego dla ϕ=ξA otrzymujemy

card(in:Ti(x)A)nμA (9.5)

prawie wszędzie.

Dowód Twierdzenia Ergodycznego

Najpierw udowodnimy następujący Lemat:

Lemat 9.1 (Maksymalne Twierdzenie Ergodyczne)

Niech fL1μ. Zdefiniujmy zbiór A następująco:

A={xX:supk=0nf(Ti(x))=

Wówczas

Af0

Określamy

Fn=max(i=0k-1fTi,1kn) (9.6)

Zauważmy że

Fn+1x-FnTx=fx-min0,FnTx (9.7)

Wynika stąd po pierwsze że ciąg Fn+1x-FnTx jest nierosnący, a po drugie- że dla xA mamy

Fn+1x-FnTxfx (9.8)

a stąd:

0AFn+1-Fndμ=AFn+1-FnTAfdμ (9.9)

Równość wynika stąd że z niezmienniczości miary μ mamy f-1AFnT=AFn, a dzięki temu że zbiór A jest niezmienniczy ( A (f-1A=A), możemy następnie f-1A zastąpić przez A.

Ostatnie przejscie do granicy jest uprawnione, bo ciąg funkcji Fn+1-FnT jest nierosnący, i zbieżny na zbiorze A do całkowalnej funkcji f. Formuła LABEL:max kończy dowód Maksymalnego Twierdzenia Ergodycznego.

Założmy teraz że E(f|G)<0 prawie wszędzie. Skoro A jest niezmienniczy, to oczywiście AG, zatem

Af=AE(f|G)<0

Zatem: jeśli E(f|G)<0 prawie wszędzie, to z Maksymalnego Twierdzenia Ergodycznego wynika że μA=0. Poza zbiorem A mamy zaś oczywiście:

lim sup1nk=0n-1fTk0 (9.10)

Zastosujemy tę obserwację do funkcji

f=ϕ-E(ϕ|G)-ε

(ε jest tu dowolną liczbą dodatnią). Oczywiście E(f|G)=-ε<0

Mamy zatem

lim sup1nk=0n-1(ϕ-E(ϕ|G)-ε)Tk0 (9.11)

Stwierdzenie refniezm pozwala teraz zauważyć że funkcja E(ϕ|G) jest T- niezmiennicza, zatem nierówność 9.11 możemy (prawie wszędzie) przepisac:

lim sup1nk=0n-1(ϕTk)E(ϕ|G)+ε (9.12)

Dla zakończenia dowodu wystarczy teraz zauważyć że ε jest dowolne, zatem

lim sup1nk=0n-1(ϕTk)E(ϕ|G)

prawie wszędzie (wystarczy wybrać ciąg epsylonów zbieżny do zera), zaś zamieniając ϕ na -ϕ otrzymujemy:

lim inf1nk=0n-1(ϕTk)E(ϕ|G)

Pozostaje do sprawdzenia że zbieżność jest także w L1

Sformułujemy teraz kilka warunków równoważnych ergodyczności; pozostawimy je jako zadanie:

Ćwiczenie 9.1 (Warunki równoważne ergodyczności)

Niech T:XX będzie przekształceniem zachowującym miarę μ. Wykazać równoważność następujących warunków:

  • 1. T jest ergodyczne

  • 2. każda funkcja fL1(μ, T- niezmiennicza jest stała prawie wszędzie.

  • 2'. każda funkcja fL2(μ, T- niezmiennicza jest stała prawie wszędzie.

  • 3. dla każdej funkcji ϕL1μ mamy

    1nk=0n-1ϕTkϕdμ
  • 3'. dla każdego zbioru AF mamy

    limn1ncardin:TixAμA

    μ- prawie wszędzie.

  • 4. dla dowolnych zbiorów A,BF

    1nk=0n-1μAT-kBμAμB

Następne ćwiczenie pokazuje że dla tego samego przekształcenia miary ergodyczne niezmiennicze są dla siebie ”wzajemnie niewidoczne”.

Ćwiczenie 9.2

NIech T:XX będzie przekształceniem mierzalnym względem σ-ciała F. Wykazać że jeśli μ1, μ2 są dwiema różnymi miarami określonymi na F, to μ1, μ2 są wzajemnie singularne.

Wskazówka: 

Skoro miary są rózne, to istnieje AF taki że μ1Aμ2A. Skorzystać z własności 3 z poprzedniego zadania.

9.3. Przykłady przekształceń ergodycznych

obrot na okręgu, przesunięcia na torusie, automorfizmy torusa, układy symboliczne

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.