Zagadnienia

3. Ciągłość trajektorii

Wiemy już kiedy istnieje proces o zadanych skończenie wymiarowych rozkładach. Nasuwa się pytanie – kiedy taki proces ma ciągłe trajektorie? Zanim jednak zastanowimy się nad odpowiedzią wprowadzimy dwa ważne sposoby porównywania procesów.

3.1. Procesy stochastycznie równoważne i nierozróżnialne

Definicja 3.1

Niech X=XttT oraz Y=YttT będą dwoma procesami stochastycznymi, określonymi na tej samej przestrzeni probabilistycznej. Powiemy, że:
a) X jest modyfikacją Y (lub X jest stochastycznie równoważny Y), jeśli

tTPXt=Yt=1;

b) X i Y są nierozróżnialne, jeśli

PtTXt=Yt=1.

Zauważmy, że procesy nierozróżnialne są oczywiście stochastycznie równoważne. Ponadto dwa procesy stochastycznie równoważne mają ten sam rozkład. Poniższy przykład pokazuje, że z rozkładu procesu nie można wnioskować o własnościach trajektorii.

Przykład 3.1

Niech Z0 będzie dowolną zmienną losową o rozkładzie bezatomowym tzn. PZ=z=0 dla wszystkich zR. Zdefiniujmy dwa procesy na T=0,:

Xt0 oraz Ytω=0 dla tZω,1 dla t=Zω.

Wówczas Y jest modyfikacją X, bo PXtYt=PZ=t=0. Zauważmy jednak, że wszystkie trajektorie Y są nieciągłe. W szczególności Pt0Xt=Yt=0, a zatem procesy X i Y nie są nierozróżnialne.

Stwierdzenie 3.1

Załóżmy, że T jest przedziałem oraz procesy X=XttT i Y=YttT mają prawostronnie ciągłe trajektorie. Wówczas, jeśli X jest modyfikacją Y, to X i Y są nierozróżnialne.

Wybierzmy przeliczalny podzbiór T0T, gęsty w T, zawierający dodatkowo supT, jeśli T jest przedziałem prawostronnie domkniętym. Niech

A={tT0Xt=Yt},

wówczas PA=1, jako przeliczalne przecięcie zbiorów pełnej miary. Ponadto, jeśli ωA, to dla dowolnego tT,

Xtω=limst+,sT0Xsω=limst+,sT0Ysω=Ytω,

czyli

PtTXt=YtPA=1.

3.2. Twierdzenie o ciągłej modyfikacji

Najważniejsze twierdzenie tego wykładu podaje kryterium istnienia modyfikacji procesu, która ma ciągłe trajektorie. Zanim sformułujemy dokładny wynik przypomnijmy definicję funkcji hölderowskiej.

Definicja 3.2

Funkcja f:a,bR jest hölderowsko ciągła z wykładnikiem γ, jeśli dla pewnej stałej C<,

fs-ftCt-sγ dla wszystkich s,ta,b.
Twierdzenie 3.1

Załóżmy, że X=Xtta,b jest procesem takim, że

t,sa,bEXt-XsαCt-s1+β (3.1)

dla pewnych stałych dodatnich α,β,C. Wówczas istnieje proces X~=X~tta,b, będący modyfikacją procesu X, którego wszystkie trajektorie są ciągłe. Co więcej trajektorie każdej modyfikacji X o ciągłych trajektoriach są, z prawdopodobieństwem 1, hölderowsko ciągłe z dowolnym wykładnikiem γ<βα.

Zainteresownych dowodem odsyłamy np. do [4] lub [8].

Wniosek 3.1

Twierdzenie 3.1 jest prawdziwe, gdy przedział a,b zastąpimy nieskończonym przedziałem, o ile hölderowskość trajektorii zastąpimy lokalną hölderowskością (tzn. hölderowskością na każdym przedziale skończonym). Co więcej, wystarczy, by warunek (3.1) zachodził dla s-tδ, gdzie δ jest ustaloną liczbą dodatnią.

Przedział nieskończony T można zapisać jako przeliczalną sumę przedziałów an,an+1, długości nie większej od δ. Z Twierdzenia 3.1 wynika istnienie modyfikacji X~tn procesu X na przedziale an,an+1, o ciągłych trajektoriach. Niech An={X~an+1nX~n+1an+1}, wówczas A=nAn ma miarę zero. Możemy więc położyć:

X~tω=X~tnω dla tan,an+1,ωA,0 dla ωA.
Wniosek 3.2

Istnieje proces Wienera, tzn. proces spełniający warunki (W0)-(W3).

Mamy EWs-Wt4=Et-sW14=s-t2EW14=3s-t2 i możemy zastosować Wniosek 3.1 z β=1, α=4 i C=3.

Wniosek 3.3

Prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera są lokalnie hölderowsko ciągłe z dowolnym parametrem γ<1/2.

Mamy EWs-Wtp=s-tp/2EW1p=Cps-tp/2 dla dowolnego p<. Stosując Twierdzenie 3.1 z β=p/2-1, α=p dostajemy hölderowską ciągłość trajektorii z dowolnym γ<12-1p. Biorąc p dostajemy tezę.

Uwaga 3.1

Prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera nie są jednostajnie ciągłe na 0,, nie mogą więc być globalnie hölderowskie z żadnym wykładnikiem.

Uwaga 3.2

Założenia β>0 nie można opuścić – wystarczy rozważyć proces Poissona Ntt0 (tzn. proces o prawostronnie ciaglych trajektoriach, startujący z zera, o przyrostach niezależnych taki, że Nt-Ns ma rozkład Poissona z parametrem λt-s – zob. np. rozdział 23 w [1]). Wówczas ENt-Ns=λt-s, a oczywiście proces Poissona przyjmuje wartości całkowite, więc nie ma modyfikacji o ciągłych trajektoriach.

3.3. Uwagi i uzupełnienia

W tym wykładzie koncentrowaliśmy uwagę nad procesami o trajektoriach ciągłych. Warto jednak wspomnieć o innych formach ciągłości procesów stochastycznych.

Definicja 3.3

Niech X=XttT będzie procesem stochastycznym. Mówimy, że
a) proces X jest stochastycznie ciągły, jeśli

tntXtnPXt.

b) proces X jest ciągły wg p-tego momentu (ciągły w Lp), jeśli

tntEXtn-Xtp0.
Uwaga 3.3

Ciągłość trajektorii oraz ciągłość wg p-tego momentu implikują ciągłość stochastyczną procesu. Z pozostałych czterech implikacji między powyższymi pojęciami ciągłości procesu żadna nie jest prawdziwa bez dodatkowych założeń.

3.4. Zadania

Ćwiczenie 3.1

Proces X jest modyfikacją procesu Wienera. Które z następujących własności są spełnione dla procesu X:
a) niezależność przyrostów,
b) stacjonarność przyrostów,
c) ciągłość trajektorii,
d) limtXtt=0 p.n.,
e) limtXtt=0 według prawdopodobieństwa?

Ćwiczenie 3.2

Wykaż, że trajektorie procesu Wienera nie są lokalnie 1/2-hölderowskie.

Ćwiczenie 3.3

Scentrowany proces gaussowski nazywamy ułamkowym ruchem Browna, jeśli EXt-Xs2=t-s2α (można wykazać, że taki proces istnieje dla 0<α<1). Udowodnij, że ułamkowy ruch Browna ma ciągłą modyfikację. Co można powiedzieć o hölderowskości jej trajektorii?

Ćwiczenie 3.4

Udowodnij tezę Uwagi 3.3.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.