Przyjmujemy założenia Z̃1 – Z̃6. Wówczas dwa poniższe ciągi mają tą samą granicę:

n⁢B-β∼dN⁢0,S2⁢Sx⁢x-1.

Zatem dla pojedynczej współrzędnej otrzymujemy

n⁢Bk-βk∼dN⁢0,S2⁢Sx⁢x-1k,k.

Oznaczenie. Błąd standardowy estymatora Bk będziemy oznaczać przez S⁢E⁢Bk

S⁢E⁢Bk=1n⁢S2⁢Sx⁢x-1k,k.

Testujemy hipotezę H0:βk=β¯k wobec hipotezy alternatywnej H1:βk≠β¯k, gdzie β¯k ustalona liczba rzeczywista.

Jako statystykę testową przyjmujemy stosunek odchylenia estymatora od wartości testowej i błędu standardowego estymatora

Tk=Bk-β¯kS⁢E⁢Bk.

Dowód.
Ponieważ n⁢Bk-βk zbiega według rozkładu do N⁢0,A⁢v⁢a⁢r⁢Bk a S2⁢Sx⁢x-1k,k prawie napewno do A⁢v⁢a⁢r⁢Bk, to otrzymujemy

Tk=Bk-β¯k1n⁢S2⁢Sx⁢x-1k,k=n⁢Bk-β¯kS2⁢Sx⁢x-1k,k⟶dN⁢0,1.

□

Reguła decyzyjna dla zadanego poziomu istotności α.
1. Na podstawie próbki ω wyznaczamy realizację statystyki testowej tk=Tk⁢ω.
2. Wyznaczamy wartość krytyczną tα/2∗ jako kwantyl rozkładu normalnego

F⁢tα/2∗=1-α2,

gdzie F oznacza dystrybuantę rozkładu N⁢0,1.
3. Jeżeli tk<tα/2∗ to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
Jeżeli tk≥tα/2∗ to odrzucamy H0 na rzecz H1.

Uwaga.
Powyższa reguła jest zgodna z regułami przedstawionymi w rozdziale 5.1, gdyż rozkład t-Studenta wraz ze wzrostem liczby stopni swobody zbiega do standardowego rozkładu normalnego

t⁢n-K⟶dN⁢0,1.

Zajmiemy sie teraz testowaniem hipotezy, że nieznany parametr β=β1,…,βKT spełnia m niezależnych warunków liniowych. Czyli, że należy do podprzestrzeni afinicznej kowymiaru m.

Niech r macierz o współczynnikach rzeczywistych wymiaru m×K, rzędu m, gdzie m=1,…,K, a r~ wektor kolumnowy wymiaru m. Testujemy hipotezę

H0:⁢⁢r⁢β=r~,

wobec

H1:⁢⁢r⁢β≠r~.

Jako statystykę testową przyjmujemy statystykę Walda

W=nS2⁢r⁢B-r~T⁢r⁢Sx⁢x-1⁢rT-1⁢r⁢B-r~.

Dowód.
Zapiszemy statystykę W jako

W=CnT⁢Qn-1⁢Cn,

gdzie

Cn=n⁢r⁢B-r~,⁢⁢⁢Qn=S2⁢r⁢Sx⁢x-1⁢rT.

Hipoteza zerowa H0 implikuje, że r⁢β=r~ i

Cn=r⁢n⁢B-β.

Zatem (Tw. 9.1 b.)

Cn⟶dC∼N⁢0,r⁢⁢A⁢v⁢a⁢r⁢B⁢⁢rT.

Natomiast Qn zbiega do pewnej macierzy deterministycznej Q (Tw. 9.1 d.)

Qn⟶a⁢sQ=r⁢⁢A⁢v⁢a⁢r⁢B⁢⁢rT=V⁢a⁢r⁢C.

Ponieważ asymptotyczna macierz wariancji A⁢v⁢a⁢r⁢B jest dodatnio określona, a wiersze macierzy r są liniowo niezależne (macierz r ma rząd m), to m×m macierz Q jest odwracalna (jest to macierz Grama wierszy macierzy r). Zatem przechodząc do granicy otrzymujemy

W⟶dCT⁢Q-1⁢C=CT⁢V⁢a⁢r⁢C-1⁢C∼χ2⁢m.

□

Metoda delty (Tw. 8.4) pozwala uogólnić test Walda na przypadek zależności nieliniowych. Niech Φ oznacza submersję

Φ:RK⟶Rm,⁢⁢⁢m≤K,

tzn. odwzorowanie klasy C1 o maksymalnym rzędzie pochodnej

∀p∈RK⁢⁢⁢⁢⁢r⁢a⁢n⁢k⁢D⁢Φ⁢p=m.

Dla ustalenia uwagi przyjmiemy, że Φ⁢p jest wektorem kolumnowym.

Będziemy testować hipotezę

H0:Φ⁢β=0,

wobec hipotezy alternatywnej

H1:Φ⁢β≠0.

Jako statystykę testową przyjmujemy statystykę Walda

W=nS2⁢Φ⁢BT⁢D⁢Φ⁢B⁢Sx⁢x-1⁢D⁢Φ⁢BT-1⁢Φ⁢B.

Dowód.
Z twierdzenia o odwzorowaniu ciągłym (Tw. 8.2) i założenia H0 otrzymujemy, że

Φ⁢B⟶a⁢sΦ⁢β=0.

Zatem możemy zastosować metodę delty (Tw. 8.4)

n⁢Φ⁢B=n⁢Φ⁢B-Φ⁢β⟶dC∼N⁢0,D⁢Φ⁢β⁢A⁢v⁢a⁢r⁢B⁢D⁢Φ⁢βT.

Z założeń modelowych wynika, że

S2⁢Sx⁢x-1⟶a⁢sA⁢v⁢a⁢r⁢B,

a z twierdzenia o odwzorowaniu ciągłym, że

D⁢Φ⁢B⟶a⁢sD⁢Φ⁢β.

Z powyższego wynika, że

S2⁢D⁢Φ⁢B⁢Sx⁢x-1⁢D⁢Φ⁢BT⟶a⁢sD⁢Φ⁢β⁢A⁢v⁢a⁢r⁢B⁢D⁢Φ⁢βT=V⁢a⁢r⁢C.

Ponieważ macierz pochodnych ma rząd m to m×m macierz V⁢a⁢r⁢C jest odwracalna. Zatem statystyka W jest dobrze zdefiniowana i

W=nS2⁢Φ⁢BT⁢D⁢Φ⁢B⁢Sx⁢x-1⁢D⁢Φ⁢BT-1⁢Φ⁢B⟶dCT⁢V⁢a⁢r⁢C-1⁢C∼χ2⁢m.

□

Rozważamy model liniowy

Yt=Xt⁢β+εt,⁢⁢⁢t=0,1,…,

gdzie Xt jest K wymiarowym wektorem wierszowym.
Niech

Zt=Zt,1,…,Zt,m,1

wektor złożony z wybranych elementów K×K macierzy XtT⁢X, m≤K2 i wyrazu stałego. Załóżmy, że proces εt2,Zt spełnia warunki Z̃1 – Z̃6 modelu dużej próbki, w szczególności, że istnieją wektor β~ i składnik losowy ε1 takie, że

εt2=Zt⁢β~+ε1,t.

Testujemy hipotezę

H0:β~1=…=β~m=0,

wobec hipotezy alternatywnej

H1:∃i⁢⁢⁢⁢β~i≠0.

W teście White reguła decyzyjna opiera się na fakcie, że przy załóżeniu H0

n⁢R2⟶dχ2⁢m,

gdzie R2 współczynnik determinacji wyznaczony dla modelu pomocniczego

ξt2=Zt⁢β~+ξ1,t,⁢⁢⁢ξt=Y-Xt⁢B,

w którym składnik losowy ε zastąpiono składnikiem resztowym ξ z metody MNK.