12.1. Przykład E.Fama - konstrukcja modelu
Określenie.
Mówimy, że rynek jest efektywny, gdy w sposób efektywny wykorzytywana jest posiadana informacja.
Ceny na efektywnym rynku ”w pełni” odzwierciedlają dostępne informacje.
Przeanalizujemy przykład E.Fama, aby sprawdzić na ile rynek amerykańskich bonów skarbowych jest efektywny.
Ograniczymy się do bonów jednomiesięcznych.
Charakterystyka instrumentu:
∙ czas życia 1 miesiąc,
∙ wypłata 100 USD,
∙ zakup z dyskontem.
Podstawą analizy będą dane miesięczne:
t – numer kolejny miesiąca;
Vt – cena bonu na początku miesiąca t;
Pt – indeks cen konsumenta (CPI) na początku miesiąca t (por. [10], §1.4).
Na ich podstawie wyznaczamy:
Rt – miesięczną stopę zwrotu dla bonów w miesiącu t
|
Rt=1-VtVt, czyli Vt=11+Rt; |
|
πt – miesięczną stopę inflacji od początku miesiąca t-1 do początku miesiąca t
rt – realną stopę zwrotu w miesiącu t-1 (por.[10], §1.4)
|
rt=1Pt-Vt-1Pt-1Vt-1Pt-1=Pt-1PtVt-1-1=1+Rt-11+πt-1=Rt-1-πt1+πt. |
|
Ze względu na małą inflację będziemy stosowali wzór przybliżony
Ponadto w analizie uwzględnimy wielkości nieobserwowalne:
π^t+1,t – prognozowaną (oczekiwaną) na początku miesiąca t stopę inflacji w miesiącu t
( π^t+1,t jest prognozą πt+1);
ηt – błąd prognozy inflacji
r^t+1,t – prognozowaną (oczekiwaną) na początku miesiąca t realną stopę zwrotu z bonów w miesiącu t
( r^t+1,t jest prognozą rt+1);
|
r^t+1,t=Rt-π^t+1,t1+π^t+1,t≈Rt-π^t+1,t; |
|
It – zasób informacji dostępny dla inwestorów na początku miesiąca t
|
a) | | It⊃Rt,Rt-1,…,πt,πt-1,…, |
|
|
b) | | It⊇It-1⊇It-2⊇…. |
|
Własność b) oznacza, że agenci nie zapominają informacji z poprzednich miesięcy.
It modelujemy jako σ-ciała, natomiast
Vt,Pt,Rt,πt,rt,π^t+1,t,ηt,r^t+1,t modelujemy jako zmienne losowe klasy L2 mierzalne względem It.
12.2. Hipoteza efektywnego rynku
Hipoteza efektywnego rynku opiera się na dwóch założeniach:
E1. Racjonalne oczekiwania inflacyjne
E2. Stała oczekiwana realna stopa zwrotu
Przeanalizujemy wnioski jakie wynikają z założeń E1 i E2.
Lemat 12.1
|
a) | | E(ηt+1|It)=0; |
|
|
b) | | It⊇σηt,ηt-1,…; |
|
|
c) | | proces ηt jest ciągiem przyrostów martyngałowych. |
|
Dowód.
Ad a.
|
E(ηt+1|It)=E(πt+1-π^t+1,t|It)=E(πt+1|It)-π^t+1,t=π^t+1,t-π^t+1,t=0. |
|
Punkt b wynika z faktu, że dla s≤t zmienna losowa ηs jest Is mierzalna zatem
Punkt c wynika z a i b.
|
E(ηt+1)=E(E(ηt+1|It))=E(0)=0. |
|
|
E(ηt+1|ηt,ηt-1,…)=E(E(ηt+1|It)|ηt,ηt-1,…)=E(0|…)=0. |
|
□
Szczególnie ważne są wnioski dotyczące wielkości obserwowalnych gdyż można je przetestować.
Wniosek 12.1
|
a) | | Rt-1-πt=r-ηt; |
|
|
b) | | Ert=r; |
|
|
c) | | proces rt nie jest autoskorelowany; |
|
|
d) | | E(πt+1|It)=-r+Rt. |
|
Dowód.
Zauważmy, że z przyjętych założeń wynika co następuje
|
Rt-1-πt=Rt-1-π^t,t-1-πt-π^t,t-1=r^t,t-1-ηt=r-ηt. |
|
Z drugiej strony
zatem
Ponieważ stopa r jest deterministyczna to
Ponadto proces ηt jest ciągiem przyrostów martyngałowych, zatem nie jest on autoskorelowany i to samo dotyczy procesu rt.
Punkt d wynika z faktu, że
Zatem
|
E(πt+1|It)=E(Rt-r+ηt+1|It)=Rt-r+E(ηt+1|It)=Rt-r. |
|
□
Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
