Rozważamy następujący model liniowy

gdzie
t – czas (kolejny moment), t∈N (lub t∈Z),
εt – niezależny, biały szum; tzn. εt nie zależą od historii i mają ten sam rozkład. Ponadto zakładamy, że ε∈L4, E⁢ε=0 oraz E⁢εt2=σ2>0.

Przyjmiemy następujące oznaczenia

Wówczas model 13.1 można zapisać w następujący sposób

W zapisie macierzowym otrzymamy

Powyższy model spełnia założenia modelu klasycznego Z1 – Z4 (bez założenia o normalności składnika losowego) i nie spełnia założeń modelu ”dużej próbki”, bo proces t nie jest stacjonarny.

Problem.
Co można powiedzieć o asymptotyce estymatorów MNK dla modelu opisanego równaniem 13.1?

Rozważmy proces generujący dane Yt,Xtt=0∞, z którego bierzemy n-elementową próbkę dla t=0,…,n-1. MNK estymator wektora β wyznaczamy ze wzoru

gdzie

Natomiast MNK estymator wariancji σ2 wynosi

Dowód.
Zauważmy, że

gdzie

Macierz Sx⁢x można łatwo wyliczyć

Gdy n rośnie do nieskończoności to 3 wyrazy macierzy Sx⁢x zbiegają do nieskończoności

Aby uzyskać rodzine macierzy o skończonej granicy pomnożymy macierz Sx⁢x z obu stron przez macierz diagonalną

Otrzymujemy

gdzie

Z drugiej strony z centralnego twierdzenia granicznego Linderberga-Levy'ego ([9] §10.2 Twierdzenie 1) otrzymujemy asymptotyczną normalność Φn⁢g¯

Podsumowując

Ponieważ macierze Φn⁢Sx⁢x⁢Φn-1 zbiegają do Q-1, a proces n⁢Φn⁢g¯T zbiega według rozkładu do N⁢0,σ2⁢Q to

Aby zakończyć dowód wystarczy zauważyć, że

□

Dowód.
Jak pokazaliśmy w rozdziale 4 (patrz równanie 4.3)

gdzie M macierz rzutu na dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni rozpiętej przez kolumny macierzy X

Zatem

Stosując notację i oszacowania z dowodu poprzedniego twierdzenia otrzymujemy

□

Dla k=0,1 testujemy hipotezę

wobec hipotezy alternatywnej

Analogicznie jak w modelu klasycznym przyjmujemy

gdzie

Dowód.
Korzystamy z faktu, że S2 zbiega do σ2, n2⁢Sx⁢x-11,1 do Σ1,1, a Sx⁢x-12,2 do Σ2,2.

□