Zmienność odchyleń standardowych (heteroscedasticity) zwrotów finansowych powoduje, że do ich opisu należy stosować bardziej skomplikowane modele stochastyczne niż model błądzenia przypadkowego, na przykład modele z rodziny GARCH. Są to modele nieliniowe. Ponadto, oprócz badanej wielkości, np. przyrostów logarytmicznych kursów walutowych, wprowadza się zmienne pomocnicze, których nie można bezpośrednio mierzyć.

Najprostszy model z tej rodziny, GARCH(1,1), jest opisany następująco:
Rozważamy dwa ciągi zmiennych losowych rt i ht. Wartość rt poznajemy w momencie t, a ht jest zmienną pomocniczą. Są one związane wzorami

rt=ht⋅εt,

ht=a+b⁢ht-1+c⁢rt-12,⁢⁢⁢t∈Z,

gdzie a,b,c są parametrami modelu a εt są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie o wartości oczekiwanej 0 i wariancji 1.
ht można interpretować jako zmienne odchylenie standardowe zmiennych losowych rt.

Indeksy 1,1 w nazwie modelu oznaczają, że ht zależy liniowo od ht-1 i rt-12. W literaturze są badane również modele GARCH(p,q)

rt=ht⋅εt,⁢⁢⁢t∈Z,

ht=a+b1⁢ht-1+…+bp⁢ht-p+c1⁢rt-12+…+cq⁢rt-q2.

Model GARCH pozwala w prosty sposób wyliczać warunkową wartość oczekiwaną i warunkowe momenty zmiennej rt. Dla uproszczenia przyjmiemy, że inowacje εt mają rozkład normalny

∀t⁢⁢⁢⁢εt∼N⁢0,1.

Oznaczmy przez Et(⋅) wartość oczekiwaną wyznaczoną gdy znane są już wartości ri dla i≤t. Zauważmy, że dla każdego t ht i εt są niezależne zatem

Et⁢rt+k2⁢m-1=Et⁢ht+km-1/2⋅Et⁢εt+k2⁢m-1=0,

Et⁢rt+k2⁢m=Et⁢ht+km⋅Et⁢εt+k2⁢m=1⋅3⋅…⋅2⁢m-1⋅Et⁢ht+km.

Wynika, to z założenia, εt nie zależą od historii i mają rozkład normalny N⁢0,1

Et⁢εt+km=E⁢εt+km=⁡0m=1,3,5,7,…1⋅3⋅5⋅…⋅m-1m=2,4,6,…⁢

(patrz [12] str.60 lub [11] §18.8-3.)

Zauważmy, że ht+1 jest wyznaczone przez h1 i wartości historyczne ri, i≤t. Zatem przy prognozowaniu o jeden krok naprzód, mamy

Et⁢rt+12⁢m=ht+1m⋅1⋅3⋅…⁢2⁢m-1

gdzie ht+1=a+b⁢ht+c⁢rt2.

Dla k>1 korzystamy ze wzoru

ht+1=a+b⁢ht+c⁢ht⁢εt2.

Co daje nam

Et⁢ht+k=a+b+c⁢Et⁢ht+k-1.

Oznaczmy przez Ak warunkową wartość oczekiwaną Et⁢ht+k. Zależność rekurencyjna

Ak=a+b+c⁢Ak-1,⁢⁢k=2,3,…,⁢⁢⁢A1=ht+1>0

wyznacza jednoznacznie Ak.
Jeśli b+c=1 to

Ak=k-1⁢a+A1;

gdy b+c≠1 to

Ak=a1-b-c+b+ck-1⁢A1-a1-b-c.

Zauważmy, że w przypadku gdy b+c=1 i a=0 ciąg Ak jest stały, a gdy b+c=1 i a>0 rozbieżny liniowo do nieskończoności.
Gdy b+c<1 to ciąg Ak jest zbieżny do

A∞=a1-b-c,

a gdy b+c>1 to ciąg Ak jest rozbieżny wykładniczo.

Aby wyznaczyć czwarty moment rt, czyli drugi ht, korzystamy ze wzoru

ht+12=a2+2⁢a⁢b+c⁢εt2⋅ht+b+c⁢εt22⁢ht2.

Otrzymujemy

Et(ht+k2)=a2+2a(b+cEt(εt+k-12))⋅Et(ht+k-1)+(b2+2bcEt(εt+k-12)+c2Et(εt+k-14)⋅Et(ht+k-12).

Oznaczmy przez Bk warunkowy moment Et⁢ht+k2. Wówczas mamy zależność

Bk=a2+2⁢a⁢b+c⁢Ak-1+b+c2+2⁢c2⁢Bk-1,⁢⁢B1=ht+12≠0.

Gdy b+c=1 to

Bk=a2+2⁢a⁢k-1⁢a+A1+1+2⁢c2⁢Bk-1.

Zatem gdy c≠0 to ciąg Bk jest rozbieżny. W szczególności model wzorowany na Risk Metrics (a=0, b=0,94 i c=0,06) jest rozbieżny.

Zauważmy, że ograniczność czwartego momentu jest zagwarantowana gdy
b+c2+2⁢c2<1. Wówczas Bk zbiega do

B∞=a2⁢1+b+c1-b-c⁢1-b+c2-2⁢c2.

Otrzymujemy w ten sposób następujący wzór na asymptotyczną kurtozę:

3⁢B∞A∞2=3⁢1-b+c21-b+c2-2⁢c2=3+6⁢c21-b+c2-2⁢c2.

Ograniczenia na parametry modelu wynikają z naturalnych założeń dotyczących ograniczoności procesu. Zakładamy, że istnieją granice warunkowych wartości oczekiwanych

limk→∞⁡Et⁢ht+k,⁢⁢ i ⁢⁢⁢limk→∞⁡Et⁢ht+k2.

Pierwsza granica istnieje gdy b+c<1 i zachodzi wówczas

limk→∞⁡Et⁢ht+k=a1-b-c.

Druga gdy b+c2+2⁢c2<1, wówczas

limk→∞⁡Et⁢ht+k2=a2⁢1+b+c1-b-c⁢1-b+c2-2⁢c2.

Natomiast założenie o rozkładzie εt możemy osłabić. Istotne są tylko następujące warunki

E⁢εt=0,⁢⁢⁢E⁢εt2=1,⁢⁢⁢E⁢εt3=0,⁢⁢⁢E⁢εt4=3.

Nie dla wszystkich modeli GARCH istnieją rozwiązania stacjonarne. Potrzebne są dodatkowe warunki na parametry (patrz [14] §3.3.1). Przykładowo dla modelu GARCH(1,1) zachodzi:

Momenty rozwiązania stacjonarnego można stosunkowo łatwo wyznaczyć.