Zagadnienia

6.1 Funkcja Cobba-Douglasa
6.2 Przykład Nerlove'a

6. Modele produkcji - funkcja Cobba-Douglasa

Klasyczny jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny -cd. Przykład: Modele produkcji - funkcja Cobba-Douglasa. (1 wykład)

6.1. Funkcja Cobba-Douglasa

6.1.1. Wprowadzenie

Funkcja Cobba-Douglasa to funkcyjne przedstawienie zależności wielkości produkcji Q od nakładów na czynniki produkcji. W dalszym ciągu ograniczymy sie do trzech czynników pracy x1, kapitału x2 i paliwa x3.

Q=A⁢x1α1⁢x2α2⁢x3α3, 0<αi<1,⁢⁢⁢xi>0.

Współczynnik A zależy od efektywności konkretnej firmy.

Funkcja Cobba-Douglasa jest chętnie wykorzystywana w modelowaniu, gdyż dobrze przedstawia następujące fakty stylizowane:
∙ monotoniczność;
Q jest rosnąca ze względu na każdy xi,

∂⁡Q∂⁡xi=αi⁢Qxi>0.

∙ wklęsłość;
Q jest wklęsła ze względu na każdy xi,

∂2⁡Q∂⁡xi2=αi⁢αi-1⁢Qxi2<0.

Funkcja zachowuje zasadę malejących przychodów – każda kolejna jednostka jednego z zasobów bez wzrostu zasobu drugiego skutkuje mniejszym przyrostem produkcji.
∙ wzrost przychodów przy zwiększaniu nakładów na dwa czynniki produkcji;

∂2⁡Q∂⁡xi⁢∂⁡xj=αi⁢αj⁢Qxi⁢xj>0⁢⁢⁢⁢ dla ⁢⁢⁢i≠j.

∙ stała elastyczność ze względu na każdy czynnik produkcji;

Exi⁢Q=xi⁢∂⁡Q∂⁡xiQ=xi⁢αi⁢QxiQ=αi.

Uwaga 6.1

Elastyczność mówi nam o ile wzrośnie produkcja gdy zwiększymy nakłady na czynnik produkcji

Q⁢1+h⁢xi-Q⁢xiQ⁢xi≈h⁢xi⁢∂⁡Q∂⁡xiQ=h⁢Exi⁢Q.

6.1.2. Efekt skali

Zmniejszamy albo zwiększamy proporcjonalnie wszystkie xi

xi′=h⁢xi,⁢⁢⁢h>0,⁢⁢⁢i=1,2,3.

Wówczas nowa wielkość produkcji wyniesie:

Q′=Q⁢x′=A⁢x1α1⁢x2α2⁢x3α3⁢hα1+α2+α3.

Czyli

Q′Q=hα1+α2+α3.

Zauważmy, że gdy α1+α2+α3>1 to

h>1⇒Q′Q>h,

h<1⇒Q′Q<h.

Wniosek: opłaca się zwiększyć nakłady i produkcję.

Gdy α1+α2+α3<1 to

h>1⇒Q′Q<h,

h<1⇒Q′Q>h.

Wniosek: opłaca się zmniejszyć nakłady i produkcję.

Podsumowując, jeśli obserwujemy ,,stan równowagi” to α1+α2+α3=1. Mówimy wówczas o braku efektów skali.

6.1.3. Koszty produkcji

Koszty całkowite produkcji T⁢C można wyrazić za pomocą kosztów jednostkowych dla poszczególnych czynników produkcji

T⁢C=p1⁢x1+p2⁢x2+p3⁢x3.

Zadanie: Zminimalizować koszty dla zadanego poziomu produkcji Q, Q>0.

T⁢C⁢x⟶m⁢i⁢n,⁢⁢Q⁢x=Q.

Lemat 6.1

Powyższe zadanie optymalizacyjne posiada dokladnie jedno rozwiązanie.

T⁢Cm⁢i⁢n=rA⁢α1α1⁢α2α2⁢α3α31r⁢Q1r⁢p1α1r⁢p2α2r⁢p3α3r,

gdzie r=α1+α2+α3.

Dowód. Połóżmy,

x~i=Q1r⁢A-1r,⁢⁢⁢i=1,2,3.

Jak łatwo zauważyć

Q⁢x~=Q.

Połóżmy

T=T⁢C⁢x~.

Ponieważ zbiór

M=x∈R3:xi≥0,⁢⁢T⁢C⁢x≤T,⁢⁢⁢Q⁢x=Q,

jest niepusty, domknięty i ograniczony, zatem badane zadanie optymalizacyjne posiada rozwiązanie.

Rozważmy warunek konieczny istnienia lokalnego ekstremum – ∇Q∥∇TC.

∇⁡Q=Q⁢x⁢α1x1,α2x2,α3x3,⁢⁢⁢∇⁡T⁢C=p1,p2,p3.

Równoległość gradientów implikuje istnienie stałej λ takiej, że

α1p1⁢x1=α2p2⁢x2=α3p3⁢x3=λ.

A zatem

xi=αiλ⁢pi,⁢⁢⁢i=1,2,3.

Po podstawieniu do warunku Q⁢x=Q otrzymujemy

Q=A⁢α1λ⁢p1α1⁢α2λ⁢p2α2⁢α3λ⁢p3α3=λ-r⁢A⁢α1α1⁢α2α2⁢α3α3⁢p1-α1⁢p2-α2⁢p3-α3,

gdzie r=α1+α2+α3. Wyznaczamy λ

λ=Q-1r⁢A⁢α1α1⁢α2α2⁢α3α31r⁢p1-α1r⁢p2-α2r⁢p3-α3r.

Teraz możemy wyznaczyć T⁢Cm⁢i⁢n

T⁢Cm⁢i⁢n=T⁢C⁢α1λ⁢p1,α2λ⁢p2,α3λ⁢p3=p1⁢α1λ⁢p1+p2⁢α2λ⁢p2+p3⁢α3λ⁢p3=rλ=rA⁢α1α1⁢α2α2⁢α3α31r⁢Q1r⁢p1α1r⁢p2α2r⁢p3α3r.

□

6.2. Przykład Nerlove'a

6.2.1. Charakterystyka danych

M.Nerlove przeprowadził badania dotyczące produkcji energii elektrycznej w USA w 1955 roku. Dane zostały zebrane dla 145 spółek w 44 stanach. Dotyczą one:
∙ całkowitych kosztów T⁢C (mln USD),
∙ wielkości produkcji Q (mld kWh),
∙ średnich zarobków (koszt pracy) P⁢L=p1,
∙ ceny kapitału (stopy procentowe) P⁢K=p2,
∙ ceny paliwa P⁢F=p3.

Warunki działania spółek:
∙ dostawa energii zgodnie z zapotrzebowaniem,
∙ cena energii ustalana administracyjnie dla regionu,
∙ firmy nie mają bezpośredniego wpływu na P⁢L, P⁢K i P⁢F. P⁢F i P⁢K kształtuje rynek, a P⁢L długoterminowe umowy ze związkami zawodowymi.

6.2.2. Konstrukcja modelu

Model ekonometryczny:

T⁢Ci=eμi⁢Qiβ2⁢pi,1β3⁢pi,2β4⁢pi,3β5,⁢⁢⁢β2=1r,⁢⁢⁢β2+j=αjr,⁢⁢⁢j=1,2,3.

(6.1)

μi=ln⁡r⁢Ai⁢α1α1⁢α2α2⁢α3α3-1r.

μi zawiera część losową zależną od firmy,

E⁢μi=β1,⁢⁢⁢μi=β1+εi.

Logarytmujemy równanie 6.1 i przechodzimy do modelu liniowego

ln⁡T⁢Ci=β1+β2⁢ln⁡Qi+β3⁢ln⁡pi,1+β4⁢ln⁡pi,2+β5⁢ln⁡pi,3+εi.

(6.2)

Dodatkowo rozważamy model ograniczony, w którym spełniona jest zależność β3+β4+β5=1. Podstawiamy β5=1-β3-β4 i otrzymujemy

ln⁡T⁢Cipi,3=β1+β2⁢ln⁡Qi+β3⁢ln⁡pi,1pi,3+β4⁢ln⁡pi,2pi,3+εi.

(6.3)

6.2.3. Estymacja parametrów modelu 6.2

Estymujemy parametry strukturalne metodą MNK. Otrzymujemy następujące równanie regresji. W nawiasach podane są odchylenia standardowe estymatorów.

ln⁡T⁢C=-3,5+0,72⁢ln⁡Q+0,44⁢ln⁡p1-0,22⁢ln⁡p2+0,43⁢ln⁡p31,80,0170,290,340,10

Ponadto suma kwadratów składnika resztowego wyniosła S⁢K⁢R=21,552.
Uwaga: Test t wskazuje na statystyczną nieistotność parametru β4.

6.2.4. Estymacja parametrów modelu 6.3

Estymujemy parametry strukturalne metodą MNK. Otrzymujemy następujące równanie regresji. W nawiasach podane są odchylenia standardowe estymatorów.

ln⁡T⁢Cp3=-4,7+0,72⁢ln⁡Q+0,59⁢ln⁡p1p3-0,007⁢ln⁡p2p30,880,0170,200,19

Ponadto suma kwadratów składnika resztowego wyniosła S⁢K⁢Ro=21,640.
Uwaga: Test t wskazuje na statystyczną nieistotność parametru β4.

6.2.5. Test jednorodności modelu

Testujemy hipotezę H0:β3+β4+β5=1 wobec H1:β3+β4+β5≠1 na poziomie istotności α=0,05.
Mamy m=1, n-K=145-5=140 stopni swobody. Wyznaczamy statystykę F.

F=S⁢K⁢Ro-S⁢K⁢RS⁢K⁢R⋅n-Km=0,57.

Wartość krytyczną F∗ wyznaczamy z rozkładu Snedecora F⁢1,140 otrzymujemy

F∗=3,9≫F.

Zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.

6.2.6. Test braku efektów skali dla modelu ograniczonego 6.3

Testujemy hipotezę H0:β2=1 wobec H1:β2≠1 na poziomie istotności α=0,05.
Mamy n-K=145-4=141 stopni swobody. Wyznaczamy statystykę t

t=b2-1s⁢b2=0,72-10,017=-16.

Wartość krytyczną t∗ wyznaczamy z rozkładu Studenta t⁢141 otrzymujemy

t∗=1,98≪t.

Zatem odrzucamy hipotezę H0.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Ekonometria