Zagadnienia

10. Teoria dużej próbki cd

10.1. Testy asymptotyczne

10.1.1. Testowanie pojedynczego parametru strukturalnego bk

Przyjmujemy założenia Z̃1 – Z̃6. Wówczas dwa poniższe ciągi mają tą samą granicę:

nB-βdN0,S2Sxx-1.

Zatem dla pojedynczej współrzędnej otrzymujemy

nBk-βkdN0,S2Sxx-1k,k.

Oznaczenie. Błąd standardowy estymatora Bk będziemy oznaczać przez SEBk

SEBk=1nS2Sxx-1k,k.

Testujemy hipotezę H0:βk=β¯k wobec hipotezy alternatywnej H1:βkβ¯k, gdzie β¯k ustalona liczba rzeczywista.

Jako statystykę testową przyjmujemy stosunek odchylenia estymatora od wartości testowej i błędu standardowego estymatora

Tk=Bk-β¯kSEBk.
Twierdzenie 10.1

Przy założeniach Z̃1 – Z̃6 i H0

Tk=Bk-β¯kSEBkdN0,1.

Dowód.
Ponieważ nBk-βk zbiega według rozkładu do N0,AvarBk a S2Sxx-1k,k prawie napewno do AvarBk, to otrzymujemy

Tk=Bk-β¯k1nS2Sxx-1k,k=nBk-β¯kS2Sxx-1k,kdN0,1.

Reguła decyzyjna dla zadanego poziomu istotności α.
1. Na podstawie próbki ω wyznaczamy realizację statystyki testowej tk=Tkω.
2. Wyznaczamy wartość krytyczną tα/2 jako kwantyl rozkładu normalnego

Ftα/2=1-α2,

gdzie F oznacza dystrybuantę rozkładu N0,1.
3. Jeżeli tk<tα/2 to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
Jeżeli tktα/2 to odrzucamy H0 na rzecz H1.

Uwaga.
Powyższa reguła jest zgodna z regułami przedstawionymi w rozdziale 5.1, gdyż rozkład t-Studenta wraz ze wzrostem liczby stopni swobody zbiega do standardowego rozkładu normalnego

tn-KdN0,1.

10.1.2. Testowanie hipotezy liniowości

Zajmiemy sie teraz testowaniem hipotezy, że nieznany parametr β=β1,,βKT spełnia m niezależnych warunków liniowych. Czyli, że należy do podprzestrzeni afinicznej kowymiaru m.

Niech r macierz o współczynnikach rzeczywistych wymiaru m×K, rzędu m, gdzie m=1,,K, a r~ wektor kolumnowy wymiaru m. Testujemy hipotezę

H0:rβ=r~,

wobec

H1:rβr~.

Jako statystykę testową przyjmujemy statystykę Walda

W=nS2rB-r~TrSxx-1rT-1rB-r~.
Twierdzenie 10.2

Przy założeniach Z̃1 – Z̃6 i H0

W=nS2rB-r~TrSxx-1rT-1rB-r~dχ2m,

gdzie χ2m oznacza rozkład chi-kwadrat z m stopniami swobody.

Dowód.
Zapiszemy statystykę W jako

W=CnTQn-1Cn,

gdzie

Cn=nrB-r~,Qn=S2rSxx-1rT.

Hipoteza zerowa H0 implikuje, że rβ=r~ i

Cn=rnB-β.

Zatem (Tw. 9.1 b.)

CndCN0,rAvarBrT.

Natomiast Qn zbiega do pewnej macierzy deterministycznej Q (Tw. 9.1 d.)

QnasQ=rAvarBrT=VarC.

Ponieważ asymptotyczna macierz wariancji AvarB jest dodatnio określona, a wiersze macierzy r są liniowo niezależne (macierz r ma rząd m), to m×m macierz Q jest odwracalna (jest to macierz Grama wierszy macierzy r). Zatem przechodząc do granicy otrzymujemy

WdCTQ-1C=CTVarC-1Cχ2m.
Uwaga 10.1

Zauważmy, że statystyka Walda daje się wyrazić przez F-statystykę stosowaną w modelu klasycznym (Tw. 5.2)

W=nn-KmF.

W przypadku gdy spełnione są zarówno aksjomaty modelu klasycznego jak i modelu dużej próbki, to oba podejścia są zgodne. Rzeczywiście gdy n, to

χ2n-Kn-Kas1,

a zatem

Fm,n-Kdχ2mmχ2n-Kn-Kdχ2mm.
Uwaga 10.2

Podobnie jak w modelu klasycznym możemy wyrazić statystykę W za pomocą sum kwadratów reszt. Niech SKRo suma kwadratów reszt dla modelu spełniającego ograniczenie rβ=r~. Wówczas

W=mSKRo-SKRSKR.
Uwaga 10.3

W modelu z wyrazem stałym (XK=e) współczynnik determinacji daje się wyrazić za pomocą statystyki W wyznaczonej dla K-1 warunków β1==βK-1=0,

nR2=W1+Wn.

Zatem, po przejściu z n do granicy otrzymujemy

nR2dχ2m.

10.1.3. Testowanie nieliniowych zależności między parametrami modelu

Metoda delty (Tw. 8.4) pozwala uogólnić test Walda na przypadek zależności nieliniowych. Niech Φ oznacza submersję

Φ:RKRm,mK,

tzn. odwzorowanie klasy C1 o maksymalnym rzędzie pochodnej

pRKrankDΦp=m.

Dla ustalenia uwagi przyjmiemy, że Φp jest wektorem kolumnowym.

Będziemy testować hipotezę

H0:Φβ=0,

wobec hipotezy alternatywnej

H1:Φβ0.

Jako statystykę testową przyjmujemy statystykę Walda

W=nS2ΦBTDΦBSxx-1DΦBT-1ΦB.
Twierdzenie 10.3

Przy założeniach Z̃1 – Z̃6 i H0

W=nS2ΦBTDΦBSxx-1DΦBT-1ΦBdχ2m,

gdzie χ2m oznacza rozkład chi-kwadrat z m stopniami swobody.

Dowód.
Z twierdzenia o odwzorowaniu ciągłym (Tw. 8.2) i założenia H0 otrzymujemy, że

ΦBasΦβ=0.

Zatem możemy zastosować metodę delty (Tw. 8.4)

nΦB=nΦB-ΦβdCN0,DΦβAvarBDΦβT.

Z założeń modelowych wynika, że

S2Sxx-1asAvarB,

a z twierdzenia o odwzorowaniu ciągłym, że

DΦBasDΦβ.

Z powyższego wynika, że

S2DΦBSxx-1DΦBTasDΦβAvarBDΦβT=VarC.

Ponieważ macierz pochodnych ma rząd m to m×m macierz VarC jest odwracalna. Zatem statystyka W jest dobrze zdefiniowana i

W=nS2ΦBTDΦBSxx-1DΦBT-1ΦBdCTVarC-1Cχ2m.

10.1.4. Testowanie warunkowej homoskedastyczności – test White'a

Rozważamy model liniowy

Yt=Xtβ+εt,t=0,1,,

gdzie Xt jest K wymiarowym wektorem wierszowym.
Niech

Zt=Zt,1,,Zt,m,1

wektor złożony z wybranych elementów K×K macierzy XtTX, mK2 i wyrazu stałego. Załóżmy, że proces εt2,Zt spełnia warunki Z̃1 – Z̃6 modelu dużej próbki, w szczególności, że istnieją wektor β~ i składnik losowy ε1 takie, że

εt2=Ztβ~+ε1,t.

Testujemy hipotezę

H0:β~1==β~m=0,

wobec hipotezy alternatywnej

H1:iβ~i0.

W teście White reguła decyzyjna opiera się na fakcie, że przy załóżeniu H0

nR2dχ2m,

gdzie R2 współczynnik determinacji wyznaczony dla modelu pomocniczego

ξt2=Ztβ~+ξ1,t,ξt=Y-XtB,

w którym składnik losowy ε zastąpiono składnikiem resztowym ξ z metody MNK.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.