Zagadnienia

6. Modele produkcji - funkcja Cobba-Douglasa

Klasyczny jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny -cd. Przykład: Modele produkcji - funkcja Cobba-Douglasa. (1 wykład)

6.1. Funkcja Cobba-Douglasa

6.1.1. Wprowadzenie

Funkcja Cobba-Douglasa to funkcyjne przedstawienie zależności wielkości produkcji Q od nakładów na czynniki produkcji. W dalszym ciągu ograniczymy sie do trzech czynników pracy x1, kapitału x2 i paliwa x3.

Q=Ax1α1x2α2x3α3,   0<αi<1,xi>0.

Współczynnik A zależy od efektywności konkretnej firmy.

Funkcja Cobba-Douglasa jest chętnie wykorzystywana w modelowaniu, gdyż dobrze przedstawia następujące fakty stylizowane:
monotoniczność;
Q jest rosnąca ze względu na każdy xi,

Qxi=αiQxi>0.

wklęsłość;
Q jest wklęsła ze względu na każdy xi,

2Qxi2=αiαi-1Qxi2<0.

Funkcja zachowuje zasadę malejących przychodów – każda kolejna jednostka jednego z zasobów bez wzrostu zasobu drugiego skutkuje mniejszym przyrostem produkcji.
wzrost przychodów przy zwiększaniu nakładów na dwa czynniki produkcji;

2Qxixj=αiαjQxixj>0 dla ij.

stała elastyczność ze względu na każdy czynnik produkcji;

ExiQ=xiQxiQ=xiαiQxiQ=αi.
Uwaga 6.1

Elastyczność mówi nam o ile wzrośnie produkcja gdy zwiększymy nakłady na czynnik produkcji

Q1+hxi-QxiQxihxiQxiQ=hExiQ.

6.1.2. Efekt skali

Zmniejszamy albo zwiększamy proporcjonalnie wszystkie xi

xi=hxi,h>0,i=1,2,3.

Wówczas nowa wielkość produkcji wyniesie:

Q=Qx=Ax1α1x2α2x3α3hα1+α2+α3.

Czyli

QQ=hα1+α2+α3.

Zauważmy, że gdy α1+α2+α3>1 to

h>1QQ>h,
h<1QQ<h.

Wniosek: opłaca się zwiększyć nakłady i produkcję.

Gdy α1+α2+α3<1 to

h>1QQ<h,
h<1QQ>h.

Wniosek: opłaca się zmniejszyć nakłady i produkcję.

Podsumowując, jeśli obserwujemy ,,stan równowagi” to α1+α2+α3=1. Mówimy wówczas o braku efektów skali.

6.1.3. Koszty produkcji

Koszty całkowite produkcji TC można wyrazić za pomocą kosztów jednostkowych dla poszczególnych czynników produkcji

TC=p1x1+p2x2+p3x3.

Zadanie: Zminimalizować koszty dla zadanego poziomu produkcji Q, Q>0.

TCxmin,Qx=Q.
Lemat 6.1

Powyższe zadanie optymalizacyjne posiada dokladnie jedno rozwiązanie.

TCmin=rAα1α1α2α2α3α31rQ1rp1α1rp2α2rp3α3r,

gdzie r=α1+α2+α3.

Dowód. Połóżmy,

x~i=Q1rA-1r,i=1,2,3.

Jak łatwo zauważyć

Qx~=Q.

Połóżmy

T=TCx~.

Ponieważ zbiór

M=xR3:xi0,TCxT,Qx=Q,

jest niepusty, domknięty i ograniczony, zatem badane zadanie optymalizacyjne posiada rozwiązanie.

Rozważmy warunek konieczny istnienia lokalnego ekstremum – QTC.

Q=Qxα1x1,α2x2,α3x3,TC=p1,p2,p3.

Równoległość gradientów implikuje istnienie stałej λ takiej, że

α1p1x1=α2p2x2=α3p3x3=λ.

A zatem

xi=αiλpi,i=1,2,3.

Po podstawieniu do warunku Qx=Q otrzymujemy

Q=Aα1λp1α1α2λp2α2α3λp3α3=λ-rAα1α1α2α2α3α3p1-α1p2-α2p3-α3,

gdzie r=α1+α2+α3. Wyznaczamy λ

λ=Q-1rAα1α1α2α2α3α31rp1-α1rp2-α2rp3-α3r.

Teraz możemy wyznaczyć TCmin

TCmin=TCα1λp1,α2λp2,α3λp3=p1α1λp1+p2α2λp2+p3α3λp3=rλ=rAα1α1α2α2α3α31rQ1rp1α1rp2α2rp3α3r.

6.2. Przykład Nerlove'a

6.2.1. Charakterystyka danych

M.Nerlove przeprowadził badania dotyczące produkcji energii elektrycznej w USA w 1955 roku. Dane zostały zebrane dla 145 spółek w 44 stanach. Dotyczą one:
całkowitych kosztów TC (mln USD),
wielkości produkcji Q (mld kWh),
średnich zarobków (koszt pracy) PL=p1,
ceny kapitału (stopy procentowe) PK=p2,
ceny paliwa PF=p3.

Warunki działania spółek:
dostawa energii zgodnie z zapotrzebowaniem,
cena energii ustalana administracyjnie dla regionu,
firmy nie mają bezpośredniego wpływu na PL, PK i PF. PF i PK kształtuje rynek, a PL długoterminowe umowy ze związkami zawodowymi.

6.2.2. Konstrukcja modelu

Model ekonometryczny:

TCi=eμiQiβ2pi,1β3pi,2β4pi,3β5,β2=1r,β2+j=αjr,j=1,2,3. (6.1)
μi=lnrAiα1α1α2α2α3α3-1r.

μi zawiera część losową zależną od firmy,

Eμi=β1,μi=β1+εi.

Logarytmujemy równanie 6.1 i przechodzimy do modelu liniowego

lnTCi=β1+β2lnQi+β3lnpi,1+β4lnpi,2+β5lnpi,3+εi. (6.2)

Dodatkowo rozważamy model ograniczony, w którym spełniona jest zależność β3+β4+β5=1. Podstawiamy β5=1-β3-β4 i otrzymujemy

lnTCipi,3=β1+β2lnQi+β3lnpi,1pi,3+β4lnpi,2pi,3+εi. (6.3)

6.2.3. Estymacja parametrów modelu 6.2

Estymujemy parametry strukturalne metodą MNK. Otrzymujemy następujące równanie regresji. W nawiasach podane są odchylenia standardowe estymatorów.

lnTC=-3,5+0,72lnQ+0,44lnp1-0,22lnp2+0,43lnp31,80,0170,290,340,10

Ponadto suma kwadratów składnika resztowego wyniosła SKR=21,552.
Uwaga: Test t wskazuje na statystyczną nieistotność parametru β4.

6.2.4. Estymacja parametrów modelu 6.3

Estymujemy parametry strukturalne metodą MNK. Otrzymujemy następujące równanie regresji. W nawiasach podane są odchylenia standardowe estymatorów.

lnTCp3=-4,7+0,72lnQ+0,59lnp1p3-0,007lnp2p30,880,0170,200,19

Ponadto suma kwadratów składnika resztowego wyniosła SKRo=21,640.
Uwaga: Test t wskazuje na statystyczną nieistotność parametru β4.

6.2.5. Test jednorodności modelu

Testujemy hipotezę H0:β3+β4+β5=1 wobec H1:β3+β4+β51 na poziomie istotności α=0,05.
Mamy m=1, n-K=145-5=140 stopni swobody. Wyznaczamy statystykę F.

F=SKRo-SKRSKRn-Km=0,57.

Wartość krytyczną F wyznaczamy z rozkładu Snedecora F1,140 otrzymujemy

F=3,9F.

Zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.

6.2.6. Test braku efektów skali dla modelu ograniczonego 6.3

Testujemy hipotezę H0:β2=1 wobec H1:β21 na poziomie istotności α=0,05.
Mamy n-K=145-4=141 stopni swobody. Wyznaczamy statystykę t

t=b2-1sb2=0,72-10,017=-16.

Wartość krytyczną t wyznaczamy z rozkładu Studenta t141 otrzymujemy

t=1,98t.

Zatem odrzucamy hipotezę H0.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.