Aksjomatyczne określenie przestrzeni afinicznej jest następujące: jeśli mamy pewien zbiór E i przestrzeń liniową V, oraz działanie odejmowania punktów, które parze punktów p i q∈E przyporządkowuje pewien wektor v=p-q∈V, takie że

• dla każdego q∈E i v∈V istnieje dokładnie jeden punkt p∈E spełniający równanie v=p-q, oraz

• dla dowolnych punktów p,q,r∈E zachodzi tak zwana równość trójkąta: r-p=r-q+q-p,

to zbiór E nazywa się przestrzenią afiniczną, a przestrzeń V jej przestrzenią wektorów swobodnych. Wymiar przestrzeni afinicznej jest równy wymiarowi przestrzeni V. Związki między punktami przestrzeni E i wektorami swobodnymi są takie:

Przestrzeń afiniczna jest rzeczywista, jeśli jej przestrzeń wektorów swobodnych jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych R i w grafice tylko takie przestrzenie się rozpatruje, głównie dwu- i trójwymiarową (nie wykluczam zastosowania przestrzeni nad innymi ciałami w jakichś bardzo specyficznych zastosowaniach).

W przestrzeni wektorów swobodnych V możemy określić iloczyn skalarny, czyli funkcję 〈⋅,⋅〉:V×V→R, która jest symetryczna,

liniowa ze względu na pierwszy (a ze względu na symetrię także drugi) argument,

i dodatnio określona,

Przestrzeń afiniczna, której przestrzeń wektorów swobodnych jest wyposażona w iloczyn skalarny, nazywa się przestrzenią euklidesową. W takiej przestrzeni możemy mierzyć odległości punktów, wzorem

a także kąty między prostymi, np. jeśli prosta ℓ1 przechodzi przez dwa różne punkty p i q, a ℓ2 przez s i t, to kąt α między tymi prostymi spełnia równość

Mając pojęcia odległości i kąta, możemy określić miary, takie jak pole powierzchni i objętość. Po to, by to wszystko obliczać, potrzebny jest jakiś układ współrzędnych.

Istotne jest, że w dowolnej przestrzeni liniowej (oprócz zerowymiarowej) istnieje wiele różnych iloczynów skalarnych. Każdy z nich określa kąty i odległości inaczej. Możemy wybrać jeden z nich, wyróżniając pewien układ współrzędnych kartezjańskich i postulując, że wersory osi właśnie tego układu mają długość 1 i są wzajemnie do siebie prostopadłe (co określa się stwierdzeniem tworzą układ ortonormalny).

Ustalmy dowolne punkty p0,…,pn w n-wymiarowej przestrzeni afinicznej E. Jeśli układ wektorów v1=p1-p0,…,vn=pn-p0 jest liniowo niezależny (jest bazą przestrzeni wektorów swobodnych), to można go użyć do określenia układu współrzędnych w E; dla dowolnego punktu q∈E istnieje dokładnie jeden ciąg liczb x1,…,xn, taki że

Liczby x1,…,xn to współrzędne kartezjańskie punktu q.

Punkt p0 jest początkiem układu i razem z wektorami v1,…,vn (zwanymi wersorami osi) tworzy układ odniesienia rozpatrywanego układu współrzędnych kartezjańskich.

Ciąg liczb będących współrzędnymi (nie tylko kartezjańskimi) punktu wygodnie jest przedstawiać w postaci macierzy. Może to być macierz kolumnowa (tu będzie stosowana ta konwencja) lub wierszowa (spotykana często w literaturze i w różnych pakietach oprogramowania). Użycie macierzy umożliwia przedstawienie przekształceń za pomocą mnożenia macierzy; powyższe dwie konwencje różnią się wtedy kolejnością zapisu czynników.

Pewien układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej wyróżnimy i nazwiemy układem globalnym, albo układem świata. W tym układzie będziemy ustawiać rozmaite przedmioty, z których składa się scena do przedstawienia na obrazie, oraz ,,kamerę”, czyli obiekt określający odwzorowanie przestrzeni trójwymiarowej na płaszczyznę obrazu. Przyjmiemy, że iloczyn skalarny w tym układzie jest dany wzorem

przy czym utożsamiliśmy tu wektory (swobodne) z ich macierzami (kolumnowymi) współrzędnych w układzie globalnym. W konsekwencji, układ odniesienia globalnego układu współrzędnych składa się z wektorów o długości 1, wzajemnie do siebie prostopadłych — wektory układu odniesienia stanowią bazę ortonormalną przestrzeni R3. W wielu innych układach współrzędnych iloczyn skalarny jest określony tym samym wzorem; układ odniesienia każdego takiego układu współrzędnych, który będziemy nazywać układem prostokątnym, jest też bazą ortonormalną. Pozostałe układy współrzędnych będziemy nazywać układami ukośnymi.

Dowolny układ współrzędnych jest prawoskrętny albo lewoskrętny; przynależność do jednej z tych klas nazywa się orientacją. Nazwa jest kwestią umowy; przyjmiemy, że układ globalny jest prawoskrętny i prawoskrętny jest też układ wektorów wyznaczonych przez kciuk, palec wskazujący i palec środkowy prawej ręki (rys. 4.2). Orientacja jest związana z kolejnością współrzędnych; przestawienie dowolnych dwóch współrzędnych (czyli przestawienie dowolnych dwóch wektorów układu odniesienia) powoduje zmianę orientacji na tę drugą.

Równość (4.1) można zapisać w bardziej symetrycznej postaci,

w której b0=1-∑i=0nxi oraz bi=xi dla i=1,…,n. Liczby bi nazywają się współrzędnymi barycentrycznymi punktu q w układzie odniesienia p0,…,pn.

Fizyczna interpretacja współrzędnych barycentrycznych jest następująca: niech bi oznacza masę odważnika umieszczonego w punkcie pi. Poszczególne odważniki mogą mieć masy dodatnie, ujemne, a także równe 0, ale zakładamy, że ich suma jest równa 1. Wtedy punkt q, którego współrzędnymi barycentrycznymi w układzie odniesienia p0,…,pn są liczby bi, jest środkiem ciężkości układu punktów pi (stąd i z greki wzięła się nazwa tych współrzędnych). Na płaszczyźnie punkty p0,p1,p2, które stanowią układ odniesienia układu współrzędnych barycentrycznych, są wierzchołkami trójkąta. Współrzędne barycentryczne dowolnego punktu wewnątrz tego trójkąta są dodatnie; punkty każdej z trzech prostych, na których leżą boki trójkąta, mają jedną ze współrzędnych barycentrycznych równą 0, a punkty na zewnątrz trójkąta mają jedną lub dwie współrzędne barycentryczne ujemne.

Przykład zastosowania: przypuśćmy, że dana jest funkcja ciągła f, której dziedzina jest wielokątem, składającym się z trójkątów o rozłącznych wnętrzach. Wykres tej funkcji w każdym trójkącie zawiera się w płaszczyźnie (czyli też jest trójkątem, zobacz rysunek (4.4)), a więc jeśli wprowadzimy układ współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie zawierającej dziedzinę, to we wspomnianych trójkątnych fragmentach dziedziny funkcja f jest wielomianem pierwszego stopnia tych współrzędnych. Należy obliczyć wartość funkcji f w dowolnym punkcie q na podstawie wartości tej funkcji w wierzchołkach trójkąta zawierającego punkt q.

W grafice komputerowej powyższe zadanie rozwiązuje się podczas cieniowania trójkątów. Najprostsza (i powszechnie stosowana, a w szczególności implementowana w sprzęcie, tj. w procesorach graficznych) metoda polega na nadaniu każdemu pikselowi należącemu do trójkąta na obrazie wartości (koloru) otrzymanej przez interpolację wartości podanych w wierzchołkach (jest to tzw. cieniowanie Gourauda).

Załóżmy, że mamy obliczyć wartość funkcji f w (pojedynczym) punkcie q (którego współrzędne kartezjańskie są dane) i znamy wszystkie trójkąty, tj. współrzędne kartezjańskie ich wierzchołków i wartości funkcji f w tych punktach. Aby obliczyć wartość funkcji f⁢q, należy

1. znaleźć wierzchołki pi, pj, pk trójkąta zawierającego punkt q,

2. obliczyć współrzędne barycentryczne bi, bj, bk punktu q w układzie odniesienia pi, pj, pk, rozwiązując układ równań liniowych

   xixjxkyiyjyk111⁢bibjbk⁢=⁢xqyq1,

   którego współczynnikami są współrzędne kartezjańskie odpowiednich punktów,

3. obliczyć f⁢q=bi⁢f⁢pi+bj⁢f⁢pj+bk⁢f⁢pk.

Sposób obliczania współrzędnych barycentrycznych punktów w przestrzeni trójwymiarowej jest taki sam; układ odniesienia składa się z wierzchołków dowolnego czworościanu (tj. z dowolnych czterech punktów nie leżących w jednej płaszczyźnie). Ze współrzędnych kartezjańskich tych punktów i punktu q, którego współrzędne barycentryczne chcemy obliczyć, tworzymy układ równań liniowych

i rozwiązujemy.

Dowolnemu punktowi w n-wymiarowej przestrzeni afinicznej z ustalonym układem współrzędnych kartezjańskich możemy przyporządkować współrzędne jednorodne; jest ich n+1, przy czym ostatnia z tych współrzędnych jest różna od zera. Współrzędne kartezjańskie otrzymamy dzieląc pierwsze n współrzędnych jednorodnych przez ostatnią, np. w przestrzeni trójwymiarowej punkt, którego współrzędnymi jednorodnymi są liczby X, Y, Z, W, ma współrzędne kartezjańskie x=XW, y=YW, z=ZW. Najprostszy sposób otrzymania współrzędnych jednorodnych to dołączenie jedynki do współrzędnych kartezjańskich danego punktu. Ostatnią współrzędną jednorodną będziemy nazywać współrzędną wagową.

Jest oczywiste, że pomnożenie wszystkich współrzędnych jednorodnych przez dowolną liczbę inną niż 0 daje w wyniku współrzędne jednorodne tego samego punktu. Przymiotnik ,,jednorodne” oznacza w matematyce właśnie tę cechę różnych obiektów. Współrzędne jednorodne wydają się być ,,nieoszczędne”, jeśli chodzi o ilość zajmowanego miejsca i czas przetwarzania punktów, ale dają liczne i istotne korzyści w zastosowaniach.

Rozważmy przestrzeń współrzędnych jednorodnych R3. Zbadamy jej związek z dwuwymiarową przestrzenią afiniczną E i jej przestrzenią wektorów swobodnych V. Przestrzeń E możemy utożsamić z warstwą W=1 przestrzeni współrzędnych jednorodnych, a przestrzeń V z warstwą W=0 (która jest podprzestrzenią liniową).

Jeśli W≠0, to wektor X,Y,WT reprezentuje punkt XW,YW,1T. Wszystkie takie wektory reprezentują pewne punkty przestrzeni E, natomiast pozostałe reprezentują kierunki wektorów w przestrzeni wektorów swobodnych V. Jeśli uznamy, że nie interesują nas różnice między punktami przestrzeni E i kierunkami wektorów w V (które są nazywane punktami niewłaściwymi), to otrzymamy przestrzeń rzutową i okaże się, że zajmujemy się geometrią rzutową.

Jeśli chcemy wykonywać rachunki na punktach i wektorach reprezentowanych przez wektory współrzędnych jednorodnych, dopuszczając różne wagi (czyli różne wartości ostatniej współrzędnej jednorodnej), to musimy ,,uzgodnić” reprezentacje. Rozważmy przykład — wyznaczanie środka odcinka, którego końce są reprezentowane przez macierze 0,0,1T i -2,0,-2T. Jeśli obliczymy macierz 12⁢0,0,1T+-2,0,-2T=-1,0,-12T, to otrzymamy punkt który nie leży nawet na naszym odcinku (współrzędne kartezjańskie końców tego odcinka to 0,0T i 1,0T, a otrzymana macierz reprezentuje punkt 2,0T). Aby dostać poprawny wynik, należy pomnożyć macierz współrzędnych jednorodnych jednego punktu przez taki czynnik, aby ostatnia współrzędna obu argumentów była taka sama. Nieco większy kłopot sprawiają wektory swobodne; macierz współrzędnych jednorodnych reprezentuje tylko kierunek takiego wektora i trzeba ,,z zewnątrz” dostarczyć informację, jakiej współrzędnej wagowej punktów odpowiada dana macierz współrzędnych jednorodnych.

Podobnie jak współrzędne kartezjańskie, możemy ,,ujednorodnić” także współrzędne barycentryczne; wystarczy opuścić założenie, że ich suma jest równa 1. Podanie dla ustalonego układu współrzędnych barycentrycznych ciągu dowolnych n+1 liczb m0,…,mn, których suma jest różna od 0, określa punkt, którego współrzędne barycentryczne otrzymamy dzieląc te liczby przez ich sumę. Oczywiście, suma jednorodnych współrzędnych barycentrycznych, które interpretujemy jako masy odważników, jest współrzędną wagową punktu. Jeśli suma jednorodnych współrzędnych barycentrycznych jest równa 0, to określają one pewien kierunek wektorów swobodnych, czyli punkt niewłaściwy.

Przekształcenie f:E→E jest afiniczne, jeśli dla każdego układu punktów p0,…,pm i liczb b0,…,bm, takich że ∑i=0mbi=1 jest spełniony warunek

To oznacza w szczególności, że obrazem dowolnej prostej jest prosta (prosta to zbiór ⁢q:q=t⁢p0+1-t⁢p1,t∈R⁢ dla ustalonych punktów p0≠p1), albo punkt. Obrazem prostych równoległych są punkty albo proste równoległe (bo jeśli proste ℓ1=⁢q:q=t⁢p0+1-t⁢p1,t∈R⁢ i ℓ2=⁢q:q=t⁢p2+1-t⁢p3,t∈R⁢ są równoległe, czyli wektory p1-p0 i p3-p2 są liniowo zależne, to łatwo jest sprawdzić, że ich obrazy w przekształceniu f są punktami albo spełniają tę samą definicję równoległości).

Własności figur, zachowywane przez przekształcenia afiniczne, nazywają się niezmiennikami afinicznymi. Dalsze ich przykłady to

• współliniowość i współpłaszczyznowość punktów,

• równoległość prostych i płaszczyzn,

• wypukłość figury,

• proporcje odległości punktów współliniowych (ten i następne przykłady dotyczą przekształceń różnowartościowych),

• bycie trójkątem,

• bycie równoległobokiem,

• bycie elipsą.

Jeśli mamy ustalony układ współrzędnych (kartezjański), to obliczenia punktów sprowadzamy do rachunków na wektorach współrzędnych. Ogólnie, przekształcenie afiniczne można zapisać w postaci

w której macierz A reprezentuje część liniową przekształcenia f, a wektor t — przesunięcie.

Przekształcenie jest różnowartościowe wtedy gdy macierz A jest nieosobliwa. Macierz ta opisuje związane z przekształceniem f przekształcenie liniowe przestrzeni wektorów swobodnych:

Złożenie przekształceń afinicznych jest przekształceniem afinicznym. Odwrotność (jeśli istnieje) też.

Często trzeba wyznaczyć złożenie przekształceń afinicznych; możemy je opisać wzorem

który jest niewygodny (i jeszcze mniej wygodne wzory dostaniemy chcąc opisać złożenie większej liczby przekształceń). Jeśli do współrzędnych kartezjańskich x, y, z punktu p dopiszemy 1, to możemy napisać

W ten sposób pojawiają się współrzędne jednorodne, dzięki którym przekształcenie afiniczne możemy przedstawić w wygodny sposób, za pomocą jednego mnożenia macierzy.

Macierze A i t są blokami macierzy jednorodnej przekształcenia f (to jest jeden z dwóch głównych powodów, dla których działania na macierzach 4×4 i 4×1 są często realizowane przez sprzęt). Składanie przekształceń afinicznych reprezentowanych w takiej postaci polega na mnożeniu macierzy reprezentujących poszczególne przekształcenia.

Możemy też jednolicie traktować punkty i wektory swobodne. Istotnie, wystarczy do współrzędnych wektora swobodnego dopisać 0 i dalej przekształcenie wektora za pomocą mnożenia macierzy jest wykonywane poprawnie (otrzymujemy wynik działania części liniowej przekształcenia f na wektor).

Rozważmy płaszczyznę w przestrzeni trójwymiarowej,

daną za pomocą punktu p i wektora normalnego n. Załóżmy, że iloczyn skalarny jest dany wzorem x,y=yT⁢x, a zatem równanie płaszczyzny π (które jest spełnione przez wszystkie punkty x tej płaszczyzny i przez żadne inne) ma postać

Niech f oznacza różnowartościowe przekształcenie afiniczne, którego część liniowa jest reprezentowana przez macierz A. Obraz płaszczyzny π w przekształceniu f jest płaszczyzną zawierającą punkt f⁢p, który łatwo jest znaleźć, a jej wektor normalny też jest łatwy do znalezienia. Możemy mianowicie napisać

skąd wynika, że tym wektorem jest A-1T⁢n (zamiast A-1T możemy w skrócie pisać A-T). Warto o tym pamiętać z uwagi na rolę, jaką spełnia wektor normalny we wszystkich modelach oświetlenia powierzchni.

Przypuśćmy, że punkt r ma w układzie współrzędnych określonym przez układ odniesienia q0;w1,w2,w3 współrzędne jednorodne x,y,z,1T, a z kolei punkt q0=xq,yq,zq,1T i wektory wi=xi,yi,zi,0T znamy mając ich współrzędne jednorodne w układzie p0;v1,v2,v3. Wtedy współrzędne punktu r w tym drugim układzie spełniają równość

Zatem, wzór opisujący przekształcenie afiniczne (mnożenie wektora współrzędnych przez macierz) można też interpretować jako przejście do nowego układu współrzędnych. Często w grafice komputerowej modelujemy sceny złożone z wielu obiektów, z których każdy jest opisywany osobno w wygodnym dla opisania tego obiektu układzie. Składanie sceny z takich obiektów jest równoważne określeniu sposobu przejscia od ich układów współrzędnych do układu całej sceny, co polega na podaniu odpowiednich macierzy.

Często należy znaleźć macierz przekształcenia, które jest określone przy użyciu innego układu odniesienia niż układ dany. Aby to zrobić, należy dokonać odpowiedniego przejścia. Na przykład, niech macierz R opisuje (we współrzędych jednorodnych) obrót wokół prostej ℓ przechodzącej przez początek układu. Niech T oznacza macierz przesunięcia, która początek p0 wyjściowego układu przekształca na punkt q0. Aby znaleźć obraz punktu x w obrocie o ten sam kąt wokół prostej równoległej do ℓ i przechodzącej przez punkt q0, należy kolejno

1. obliczyć współrzędne punktu x w układzie przesuniętym (którego początkiem jest punkt q0; macierz zmiany układu jest równa T-1,

2. dokonać obrotu,

3. obliczyć współrzędne obrazu w wyjściowym układzie; odpowiednią macierzą jest macierz T.

Zatem poszukiwana macierz jest równa iloczynowi T⁢R⁢T-1. Podobne wyrażenia opisują wszelkie przekształcenia określone w innym układzie niż układ wyjściowy.

Zbadamy teraz sposoby składania przekształceń w trzech typowych sytuacjach, z jakimi mamy do czynienia w grafice. Interesuje nas kolejność, w jakiej trzeba mnożyć macierze reprezentujące składane przekształcenia.

Każde przekształcenie afiniczne jest złożeniem obrotów, skalowań i przesunięć. Interesującym problemem, którego rozwiązanie bywa potrzebne w praktyce, jest znalezienie tych przekształceń na podstawie danej macierzy reprezentującej pewne przekształcenie afiniczne.

Dowolne przekształcenie afiniczne jest złożeniem przekształcenia liniowego i przesunięcia. Współrzędne wektora przesunięcia są dane w czwartej kolumnie macierzy (reprezentacji jednorodnej). Pozostaje niebanalny problem rozłożenia macierzy 3×3, opisującej część liniową przekształcenia afinicznego, na macierze obrotów i skalowań. W tym celu przypomnijmy, że każda macierz rzeczywista jest iloczynem trzech macierzy:

takich że U i V są ortogonalne, a macierz Σ jest diagonalna, o nieujemnych współczynnikach na diagonali. Jest to tak zwany rozkład SVD (albo rozkład względem wartości szczególnych). W naszym przypadku wszystkie te macierze mają wymiary 3×3. Zmieniając odpowiednio znaki wierszy macierzy U i kolumn macierzy VT oraz współczynników diagonalnych macierzy Σ, możemy otrzymać macierze U i VT, których wyznaczniki są równe 1. Rozważymy jeszcze jeden rozkład, tzw. rozkład biegunowy:

w którym Q=U⁢VT oraz S=V⁢Σ⁢VT. Macierz Q jest ortogonalna, a macierz S jest symetryczna. Jeśli macierz A jest nieosobliwa, to rozkład biegunowy możemy łatwo znaleźć za pomocą algorymu Highama. Przyjmujemy Q0=A, a następnie obliczamy kolejne macierze

Otrzymany ciąg macierzy bardzo szybko zbiega do macierzy Q; w praktyce często wystarczy wykonać kilka iteracji. Macierz S otrzymamy, obliczając iloczyn S=QT⁢A.

Mając macierz S, możemy znaleźć macierze V i Σ przez rozwiązanie algebraicznego zagadnienia własnego. Macierz diagonalna Σ reprezentuje skalowanie. Macierz S też reprezentuje skalowanie, w kierunkach pewnych trzech prostych wzajemnie prostopadłych; kolumny macierzy V mają te kierunki. Oczywiście, współczynnikami skalowania są wartości własne macierzy S i Σ. Znając macierz V, możemy obliczyć macierz U=Q⁢V.

Macierz ortogonalna 3×3 ma wyznacznik równy +1 albo -1. W pierwszym przypadku jest to macierz obrotu; jej wartościami własnymi są liczby zespolone 1, c,s i c,-s. Oś obrotu ma kierunek wektora własnego przynależnego do wartości własnej 1. Liczby c i s to kosinus i sinus kąta obrotu. Oś obrotu reprezentowanego przez macierz U możemy znaleźć (z dokładnością wystarczającą w grafice), wybierając dwa niezależne liniowo wiersze macierzy U-I3 i obliczając ich iloczyn wektorowy.

W drugim przypadku wartościami własnymi (macierzy ortogonalnej 3×3) są liczby -1, c,s i c,-s. Macierz taka reprezentuje złożenie obrotu z odbiciem symetrycznym względem płaszczyzny prostopadłej do osi obrotu. W obu przypadkach, jeśli s=0, to mamy do czynienia z odbiciem symetrycznym względem punktu, prostej lub płaszczyzny.

Podsumowując: dowolne przekształcenie afiniczne jest złożeniem obrotu, skalowania osi układu x⁢y⁢z, drugiego obrotu i przesunięcia (to jest interpretacja związana z rozkładem SVD), albo złożeniem skalowania pewnych trzech osi prostopadłych, obrotu i przesunięcia (ta interpretacja jest związana z rozkładem biegunowym).

W pewnych zastosowaniach (np. w animacji i rejestrowaniu ruchu) mamy do czynienia z macierzami ortogonalnymi, które są znane niedokładnie, z powodu błędów zaokrągleń. Algorytm Highama jest najprostszym sposobem wyeliminowania tych błędów, tj. znalezienia macierzy ortogonalnej najbliższej macierzy danej.

Liczba zespolona jest parą liczb rzeczywistych: z=a,b; na zbiorze takich obiektów określa się dodawanie, tak jakby to były wektory w R2, i mnożenie, wzorem a1,b1⁢a2,b2=a1⁢a2-b1⁢b2,a1⁢b2+b1⁢a2. Liczba zespolona z=c,s, taka że c2+s2=1 nazywa się jednostkowa; pomnożenie dowolnej liczby zespolonej p przez z daje w wyniku liczbę, której obie części, rzeczywista i urojona, są równe współrzędnym obrazu wektora p w obrocie o kąt φ, takim że c=cos⁡φ, s=sin⁡φ.

Liczbie zespolonej z=a,b przyporządkowujemy macierz

Pierwsza jej kolumna to liczba z. Mnożenie i dodawanie liczb zespolonych to działania równoważne dodawaniu i mnożeniu takich macierzy, a w przypadku, gdy liczba z jest jednostkowa, macierz Z jest macierzą obrotu w R2.

Dość podobną reprezentację obrotów w przestrzeni trójwymiarowej stanowią kwaterniony. Są to wektory w R4, z odpowiednio określonymi działaniami. Dodawanie i odejmowanie kwaternionów jest dodawaniem i odejmowaniem wektorów w R4.

Aby określić mnożenie i dzielenie, zamiast macierzy kolumnowej q=a,x,y,zT, będziemy używać notacji q=a,b, w której wyróżniamy część skalarną a∈R (pierwszą współrzędną) i część wektorową b=x,y,zT∈R3. Wzór opisujący mnożenie kwaternionów ma postać

Jak widać, wzór opisujący iloczyn kwaternionów bardzo przypomina wzór na iloczyn liczb zespolonych; najbardziej widoczna różnica to składnik b1∧b2 w części wektorowej. Z powodu tego składnika mnożenie kwaternionów jest nieprzemienne, ale jest ono łączne i rozdzielne względem dodawania (ćwiczenie: sprawdź to).

Aby dokładniej zbadać własności kwaternionów, kwaternionowi q=a,x,y,zT=a,b przyporządkujemy macierz

Oczywiście, każdej macierzy utworzonej z czterech liczb zgodnie z tym schematem odpowiada pewien kwaternion. Wykonując odpowiednie rachunki, możemy sprawdzić, że sumie kwaternionów q1 i q2 odpowiada suma przyporządkowanych im macierzy, Q1+Q2, a ponadto q1⋅q2=Q1⁢q2, skąd dalej wynika, że macierz Q1⁢Q2 odpowiada iloczynowi kwaternionów q1⋅q2.

Dalej przyda się kilka określeń: kwaternion sprzężony do q=a,b to q¯=a,-b; wartość bezwzględna kwaternionu q=a,b jest liczbą rzeczywistą q=a2+b,b. Wartość bezwzględna kwaternionu jest więc pierwiastkiem z sumy kwadratów wszystkich czterech współrzędnych i jedyny kwaternion, którego wartość bezwzględna jest równa 0 to zero, czyli 0,0.

Zobaczmy, jak to wygląda w notacji macierzowej. Jeśli kwaternion q jest związany z macierzą Q, to kwaternionowi sprzężonemu q¯ odpowiada macierz transponowana QT. Iloczynowi q⋅q¯ odpowiada macierz Q⁢QT=q2⁢I4. Macierz Q jest więc iloczynem pewnej macierzy ortogonalnej i liczby q. Zachodzi równość det⁡Q=q4 (można pokazać, że wyznacznik macierzy Q jest nieujemny), a z niej (i z twierdzenia Cauchy'ego) wynika, że dla dowolnych kwaternionów q1, q2 zachodzi równość q1⋅q2=q1⁢q2.

Kwaternion niemy ma część wektorową równą 0 (odpowiadająca mu macierz jest diagonalna). Zauważmy, że mnożenie kwaternionów niemych daje w wyniku kwaternion niemy, o części skalarnej równej iloczynowi części skalarnych czynników; można więc utożsamić zbiór kwaternionów niemych ze zbiorem liczb rzeczywistych i dodawanie oraz mnożenie w obu zbiorach są wykonywane tak samo. Zauważmy jeszcze dwie rzeczy: jeśli dowolny argument mnożenia jest kwaternionem niemym, to kolejność tych argumentów można zmienić, a ponadto wzór opisujący wartość bezwzględną dowolnego kwaternionu możemy teraz zapisać w postaci q=q⋅q¯.

Jedynka kwaternionowa to kwaternion 1,0 (odpowiada jej macierz jednostkowa I4). Jest ona elementem neutralnym mnożenia (i jest to jedyny taki element). Dla skrótu kwaternion zerowy i jedynkę można zapisywać symbolami 0 i 1, pamiętając, że to kwaterniony.

Kwaternion odwrotny do q to q-1, taki że q⋅q-1=q-1⋅q=1,0. Odwrotność jest jednoznaczna i wyraża się wzorem q-1=q¯/q2 (przypomina on wzór na odwrotność liczby zespolonej). Każdy kwaternion różny od zera ma odwrotność. W notacji macierzowej kwaternionowi q-1 odpowiada macierz Q-1=1q2⁢QT.

Mając pojęcie odwrotności, można określić dzielenie kwaternionów, a właściwie dwa dzielenia: q1/q2=q1⋅q2-1 i q2\q1 = q2-1⋅q1. Uwaga: przypominam, że na ogół q1⋅q2-1≠q2-1⋅q1 (równość zachodzi wtedy, gdy części wektorowe obu kwaternionów są liniowo zależne). Dlatego nie będziemy pisać kwaternionowych wyrażeń z kreską ułamkową, chyba że mianownik jest liczbą rzeczywistą (albo kwaternionem niemym).

Ostatnie dwa pojęcia, których będziemy potrzebować, to kwaternion czysty, którego część skalarna jest równa 0 i kwaternion jednostkowy (nie mylić z jedynką), którego wartość bezwzględna jest równa 1. Ponieważ wartość bezwzględna iloczynu kwaternionów jest iloczynem ich wartości bezwzględnych, zbiór kwaternionów jednostkowych jest zamknięty ze względu na mnożenie. Co więcej, odwrotnością kwaternionu jednostkowego jest jego kwaternion sprzężony. Kwaternionom jednostkowym odpowiadają macierze ortogonalne 4×4.

Z punktu widzenia algebry zbiór kwaternionów z opisanymi wyżej działaniami jest ciałem nieprzemiennym\QH. Tradycyjnie oznacza się je symbolem , dla uczczenia Williama R. Hamiltona, który 16 października 1843 r odkrył je w Dublinie⁴Hamilton wymyślił wtedy sposób mnożenia czwórek liczb rzeczywistych, który spełnia wszystkie z wyjątkiem przemienności warunki potrzebne do otrzymania ciała (ze ,,zwykłym” działaniem dodawania). Kwintesencją tego mnożenia jest wzór

Obroty w przestrzeni R3 są reprezentowane przez kwaterniony jednostkowe⁵Dla porządku odnotujmy, że dowolny obrót w R4 może być reprezentowany za pomocą dwóch kwaternionów jednostkowych, choć w grafice to ma niewielkie znaczenie.. Weźmy dowolny wektor jednostkowy v∈R3 i liczbę φ. Obrotowi o kąt φ wokół prostej o kierunku v przyporządkujemy kwaternion q=cos⁡φ2,v⁢sin⁡φ2. Jest on oczywiście jednostkowy. Wektorowi p∈R3 przyporządkujemy kwaternion czysty p=0,p. Udowodnimy, że

gdzie p′ jest kwaternionem czystym, p′=0,p′, takim że wektor p′ jest obrazem wektora p w rozpatrywanym obrocie.

Oznaczmy s=sin⁡φ2 i c=cos⁡φ2. Liczymy

Część skalarna iloczynu jest zgodnie z zapowiedzią równa 0, część wektorową, p′, trzeba jeszcze obliczyć. Zauważmy, że s2=1-c2; stąd mamy

Ponadto v∧p=b (rysunek 4.9), oraz b∧v=a=p-v,p⁢v. Na podstawie wzorów 2⁢c⁢s=sin⁡φ, c2-s2=cos⁡φ otrzymujemy

czyli wcześniej wyprowadzony wzór opisujący obraz wektora p w zadanym obrocie, co kończy dowód. □

Zauważmy, że reprezentacja kwaternionowa obrotu nie jest jednoznaczna: kwaternion -q reprezentuje ten sam obrót co q. Mamy bowiem

czyli reprezentację obrotu o kąt 2⁢π-φ w drugą stronę, tj. wokół osi zorientowanej odwrotnie. Ponadto, jedynka kwaternionowa reprezentuje przekształcenie tożsamościowe, czyli obrót o kąt 0 wokół osi, której kierunek nie jest (i nie musi być) określony.

Bezpośrednie obliczanie iloczynu trzech kwaternionów nie jest zbyt tanie; trzeba wykonać przy tym 28 mnożeń liczb rzeczywistych, podczas gdy licząc na podstawie wzoru, do którego rzecz doprowadziliśmy, wykonamy tylko 16 mnożeń. Dysponując kwaternionami, mamy jednak możliwość stosunkowo łatwego dokonania interpolacji położeń kątowych bryły w ruchu kulistym, zadanych w wybranych chwilach. W tym celu trzeba skonstruować krzywą położoną na sferze jednostkowej w R4. Krzywa ta przechodzi przez podane punkty (odpowiadające kolejno zadanym położeniom kątowym bryły w ruchu kulistym) i określa jednoznacznie położenia bryły w innych chwilach. Konstruowanie skomplikowanych krzywych, których punkty są kwaternionami jednostkowymi, zostawimy na później, a tymczasem skonstruujemy najkrótszą krzywą o zadanych końcach.

Przypuśćmy, że dwa kwaterniony, q0 i q1, reprezentują pewne obroty, które wyznaczają położenia kątowe dowolnego obiektu w chwilach 0 i 1. Chcielibyśmy interpolować te obroty, tj. dla dowolnego t∈0,1 znaleźć obrót (czyli odpowiedni kwaternion jednostkowy qt), który wyznacza położenie ,,pośrednie” obiektu.

Jedno z możliwych podejść polega na użyciu operacji potęgowania kwaternionów. Możemy zauważyć, że dla dowolnej liczby całkowitej n i kwaternionu q=q⁢cos⁡φ2,v⁢sin⁡φ2 zachodzi równość

Możemy rozszerzyć potęgowanie tak, aby dopuścić dowolny wykładnik rzeczywisty t; dla kwaternionu jednostkowego q=cos⁡φ2,v⁢sin⁡φ2 mamy zatem

Obrót odpowiadający chwili t moglibyśmy określić przy użyciu jednego z kwaternionów określonych wzorami qt′=q01-t⋅q1t albo qt′′=q1t⋅q01-t, do których należałoby podstawić odpowiednie potęgi kwaternionów q0 i q1 określone wyżej. W obu przypadkach dla t=0 otrzymamy kwaternion q0, a dla t=1 kwaternion q1. Dla t∉0,1 brak przemienności mnożenia kwaternionów daje różne wyniki, dlatego oba podane tu wzory nie są poprawne. Poprawny wzór wyprowadzimy za chwilę.

Poprawny sposób polega na dokonaniu interpolacji łukowej kwaternionów. Kwaterniony jednostkowe q0 i q1, takie że q0≠q1 i q0≠-q1 jednoznacznie określają najkrótszy łuk na sferze jednostkowej, którego te kwaterniony są końcami. Dla chwili t∈0,1 przyjmiemy obrót reprezentowany przez kwaternion qt, który dzieli ten łuk w proporcji t:1-t. Na rysunku 4.10 jest pokazany przekrój przez sferę jednostkową w R4 płaszczyzną zawierającą kwaterniony q0 i q1; przekrój ten jest oczywiście okręgiem jednostkowym. Kąt ψ między kwaternionami q0 i q1 możemy znaleźć, traktując te kwaterniony jak wektory w R4 i obliczając ich iloczyn skalarny; jest on równy cos⁡ψ. Kąt między kwaternionami q0 i qt jest rówmy t⁢ψ. Niech q2 oznacza leżący na rozważanym okręgu kwaternion prostopadły do q0. Wtedy mamy

Wyznaczając q2 na podstawie pierwszego równania i wstawiając do drugiego, po uporządkowaniu otrzymamy wzór

Stosowanie tego wzoru wymaga użycia funkcji trygonometrycznych, ale w szczególnym przypadku mamy

dzięki czemu łuk łączący kwaterniony q0 i q1 możemy dzielić rekurencyjnie na połowy, ćwiartki itd. za pomocą dodawań, mnożeń i pierwiastka kwadratowego.

Chcąc interpolować położenia kątowe obiektu, reprezentowane przez kwaterniony q0 i q1, możemy dzielić w odpowiednich proporcjach łuk o końcach q0 i q1 lub łuk o końcach q0 i -q1. Zwykle wybieramy łuk krótszy, tj. jeśli kosinus kąta ψ między q0 i q1 jest ujemny, to wybieramy drugi z tych dwóch łuków (ruch określony przez dłuższy łuk jest obracaniem w drugą stronę, trzeba wtedy obrócić obiekt o kąt większy niż π).

Interpretację interpolacji łukowej, a także poprawny zapis tej interpolacji przy użyciu potęgowania, otrzymamy, rozpatrując przyporządkowane kwaternionom macierze. Jak wiemy, macierz Q, odpowiadająca dowolnemu kwaternionowi jednostkowemu q, jest ortogonalna. Macierz ta reprezentuje pewien obrót przestrzeni czterowymiarowej. Łuk, którego końcami są kwaterniony q0 i q1, obrócimy tak, aby przekształcić q0 na jedynkę kwaternionową. Obrazem punktu qt na tym łuku jest kwaternion q~t=Q0-1⁢qt, a w szczególności koniec q1 przejdzie na q~1=Q0-1⁢q1=q0-1⁢q1. Zauważmy, że q~t=q~1t. Stąd otrzymujemy

Stosując interpolację łukową, np. w animacji, otrzymamy ciąg położeń kątowych przedmiotu, który obraca się (ze stałą prędkością, jeśli parametr t zmieniamy ze stałą prędkością) wokół ustalonej osi w przestrzeni.

Interpolacja łukowa może być wykorzystana do skonstruowania gładkiej krzywej interpolacyjnej położonej na sferze jednostkowej w R4 (czyli złożonej z kwaternionów jednostkowych), przechodzącej przez punkty dane na sferze. Konstrukcja tych krzywych przypomina określenie krzywych Béziera, o których będzie mowa dalej — interpolacja afiniczna używana w algorytmie de Casteljau zostaje zastąpiona przez interpolację łukową.

Reprezentacja obrotów przy użyciu kwaternionów ma pewną cechę, która może być wadą albo zaletą, zależnie od sytuacji. Otóż ruch, którego opis skonstruujemy w obróconym układzie współrzędnych, jest identyczny jak w układzie wyjściowym. Metoda ta nie bierze pod uwagę czegoś takiego jak kierunek ,,pionowy”, przez co otrzymany ruch może być nienaturalny w danym zastosowaniu.