W inżynierii finansowej funkcjonuje wiele rodzajów zmienności. Mamy

• zmienność historyczną,

• zmienność implikowaną,

• zmienność lokalną,

• zmienność stochastyczną.

Wszystkie one są używane w roli zmienności σ, która występuje w podstawowym modelu opisującym proces cen (w świecie wolnym od ryzyka)

gdzie Wt jest procesem Wienera, a r jest stopą wolną od ryzyka. Zmienność historyczna jest również używana w niektórych metodach szacowania ryzyka (rynkowego) portfeli instrumentów finansowych (na przykład w tak zwanej metodzie delta-normalnej wyznaczania wartości zagrożonej).

Z równania (11.1) wynika, że jeśli σ jest stała, to

Konsekwencje przyjętego modelu (wzorów (11.1) – (11.2)):

• St ma rozkład log-normalny, bowiem Wt ma rozkład normalny (o średniej zero i wariancji t),

• log-normalność St umożliwia wyprowadzenie formuł Blacka-Scholesa (BS) na wycenę europejskich opcji waniliowych.

Z (11.2) wynika, że

czyli że σ jest zannualizowanym odchyleniem standardowym (logarytmicznej) stopy zwrotu z S. W związku z tym obliczając cenę opcji z modelu BS, w określonych przypadkach za σ przyjmuje się wartość obliczoną statystycznym estymatorem odchylenia standardowego logarytmicznych stóp zwrotu. Tak obliczoną zmienność nazywamy zmiennością historyczną i na potrzeby naszego wykładu oznaczamy ją symbolem σ⌃.

Obliczanie zmienności historycznej

Zwykle najpierw oblicza się zmienność w skali jednego dnia σ1d, po czym ta jednodniowa zmienność jest skalowana do zmienności rocznej wzorem

U w a g i:

1. Magiczna liczba 252 we wzorze (11.3) wynika z założenia, że rok ma 252 dni handlowe. W zasadzie liczba ta zależy od kraju (waluty). W pobieżnych szacunkowych obliczeniach można zmienność dzienną skalować do rocznej mnożąc σ1d przez 16.

2. Skalowanie ,,pierwiastkiem z czasu”, takie jak na przykład w (11.3), jest poprawne pod pewnymi warunkami (szereg czasowy zaobserwowanych wartości S jest realizacją ciągu niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie), które w praktyce rzadko kiedy można uznać, że są spełnione.

3. Ponadto, zakładamy, że stopa zwrotu w skali rocznej jest sumą dziennych stóp zwrotu. Jeżeli stopy są zdefiniowane wzorem (11.5), to tak oczywiście jest. Natomiast proste stopy zwrotu określone w (11.7) nie są ,,addytywne”.

4. Ze względu na założenia wymienione w punkcie 2, skalowanie ,,pierwiastkiem z czasu” dziennych zmienności wyznaczonych modelami typu GARCH (patrz poniżej) nie ma sensu (bo te modele zakładają, że rozkład zmiennej losowej w danym dniu zależy od rozkładu z poprzedniego dnia!).

Estymacja zmienności średnią ruchomą (MA)

Załóżmy, że na koniec dnia tn-1 dysponujemy szeregiem czasowym zrealizowanych wartości procesu cen

Prognozowana (estymowana) dzienna wariancja dla następnego dnia tn obliczana jest w następujący sposób:

gdzie

są zrealizowanymi ,,jednodniowymi” (w okresie od ti-1 do ti) stopami zwrotu, a

jest estymatorem średniej (wartości oczekiwanej).

Aspekty praktyczne

1. Jak należy wybrać długość szeregu czasowego zrealizowanych cen Sti do estymacji zmienności?

   • a) Czasami m wybiera się tak, by szereg czasowy pokrywał okres o tej samej długości jak czas trwania opcji. Nie zawsze to ma sens – w skrajnym przypadku opcji o kilkudniowym czasie trwania statystyczne własności estymatora obliczonego na podstawie krótkiego szeregu czasowego są złe.

   • b) Ta uwaga jest adresowana do tych, którzy już wiedzą czym jest wartość zagrożona VaR (Value at Risk) i którzy wcześniej zetknęli się z analizą portfelową. Zmienność historyczną używa się także do obliczania VaR portfela. Mianowicie, w metodzie RiskMetrics obliczania VaR zakłada się, że zmienna losowa opisująca P&L portfela ma rozkład normalny o średniej zero. Wówczas, VaR portfela przy poziomie ufności c dane jest wzorem

     VaR=-Φ-1⁢1-c⁢⁢σ,

     gdzie Φ jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego a σ jest odchyleniem standardowym (zmiennością) P&L tego portfela. Na przykład, przy poziomie ufności c=95⁢% mamy VaR≃1.65⁢σ. Zwykle przy obliczaniu odchylenia standardowego σ, na jednym z etapów obliczeń, estymowana jest macierz kowariancji pomiędzy czynnikami ryzyka od których zależy wartość portfela. Wówczas m powinno być takie samo dla wszystkich czynników ryzyka oraz powinno być dostatecznie duże – przy m zbyt małym w stosunku do liczby czynników ryzyka wyestymowana macierz kowariancji może nie być dodatnio określona.

2. Czasami we wzorze (11.4) na zmienność historyczną

   • a) pomijana jest wartość średnia r¯, to znaczy zakłada się iż jest ona zaniedbywanie mała,

   • b) zamiast m-1 bierzemy m,

   • c) zamiast logarytmicznej stopy zwrotu (11.5) bierzemy prostą stopę zwrotu

     ri=Sti-Sti-1Sti-1

     (11.7)

   i wtedy wariancję dzienną obliczamy ze wzoru

   σn2=1m⁢∑i=1mri2.

   (11.8)

Estymacja zmienności według EWMA (stosowana przez J.P. Morgan w RiskMetrics)

W tym modelu zakłada się, że

gdzie 0<λ<1 określa proporcje wkładu (kwadratu) bieżącej zmiany ceny i (kwadratu) zmienności za poprzedni dzień do bieżącej wartości (kwadratu) zmienności. Ze wzoru (11.9) wynika, że

Wzór (11.10) wyjaśnia dlaczego model ten nazywa się EWMA (wykładniczo ważona średnia ruchoma) i pokazuje, czym różni się ten sposób estymacji zmienności od estymatora (11.8).

Aspekty praktyczne

1. Wartość parametru λ można wyestymować metodą największej wiarogodności (patrz Hull, 5-th Ed., strony 378–382[1]).

2. J.P. Morgan w swoim modelu RiskMetrics przyjmuje λ=0.94. Według nich estymatory zmienności obliczone przy tej wartości parametru λ są bliskie zrealizowanej zmienności wyliczonej jako średnia z 25 kolejnych ,,przyszłych” (w stosunku do dnia estymacji) wielkości ri2.

Estymacja zmienności według GARCH(1,1)

W tym modelu zakłada się, że

gdzie

przy czym zwykle zakłada się, że

Wielkość v∞ w (11.11) jest długoterminową średnią wariancją w tym sensie, że jeżeli α+β<1, to w średniej

Gdy γ=0, α=1-λ, β=λ, GARCH(1,1) redukuje się do EWMA.

Aspekty praktyczne

1. Wartości parametrów α, β i ω=γ⁢v∞ można wyestymować metodą największej wiarogodności.

2. Proces estymacji parametrów można uprość przyjmując za v∞ długoterminową średnią obliczoną na przykład wzorem (11.4). Ustalenie v∞ umożliwia wyznaczenie parametru ω przy danych α i β, bowiem ω=1-α-β⁢v∞.

3. Jeżeli stosujemy model GARCH(1,1) do wyznaczania zmienności, macierz kowariancji powinna być wyznaczana również w analogiczny sposób.

• Formuła Blacka-Scholesa (BS) jest wyprowadzona przy silnych założeniach, o których na ogół możemy z góry powiedzieć, że nie są w rzeczywistości spełnione.

• Tym niemniej, formuła BS przyjęła się w praktyce, choć jest używana inaczej niż było jej pierwotne przeznaczenie.

• W uproszczeniu, można powiedzieć, że formuła BS jest narzędziem do ,,interpolacji” rynkowej ceny opcji. Przy tej interpolacji kluczową rolę odgrywa zmienność implikowana.

Przypomnijmy podstawowe oznaczenia:

• S – bieżąca wartość instrumentu podstawowego,

• σ – zmienność,

• K – cena wykonania,

• T – czas trwania opcji,

• CBS⁢S,σ,K,T – cena BS waniliowej opcji call,

• PBS⁢S,σ,K,T – cena BS waniliowej opcji put,

• Cmkt⁢S,K,T – cena rynkowa waniliowej opcji call,

• Pmkt⁢S,K,T – cena rynkowa waniliowej opcji put.

Jak widać z (11.12),

Sens zmienności implikowanej

σimp kalibruje formułę BS dla opcji o czasie trwania T i cenie wykonania K do ceny rynkowej. Inaczej, zmienność implikowana to specjalna liczba, która wstawiona do niewłaściwej (bo obowiązującej przy założeniach, o których z góry można powiedzieć, że nie są spełnione) formuły (Blacka-Scholesa) daje właściwą (prawdziwą, rynkową) wartość opcji.

Uwagi

1. Ponieważ vega opcji VC=∂⁡CBS∂⁡σ>0, zmienność σimp istnieje i jest jednoznaczne wyznaczona przez (11.12), o ile 0<Cmkt⁢S,K,T<S.

2. σimp spełnia również równanie

   PBS⁢S,σimp,K,T=Pmkt⁢S,K,T,

   (11.13)

   bowiem jak wynika z parytetu opcji call-put (który jest spełniony bez żadnych modelowych założeń),

   PBS-Pmkt=CBS-Cmkt.

   Inaczej: zmienność implikowana ITM (OTM) call jest taka sama jak zmienność OTM (ITM) put.

3. Jeśli zmienność implikowana nie jest bezpośrednio kwotowana na rynku, a kwotowane są ceny opcji, to zmienność implikowaną oblicza się rozwiązując równanie (11.12) lub równanie (11.13) ze względu na σimp, zwykle korzystając, na przykład, z algorytmu Newtona rozwiązywania równań nieliniowych.

Terminologia

• Zależność σimp od czasu trwania opcji T nazywamy strukturą terminową zmienności implikowanej (dla ustalonych S i K).

• Zależność σimp od ceny wykonania K (czy od ilorazu K/S, czy też od ,,delty” opcji) nazywamy uśmiechem zmienności implikowanej (dla ustalonego T).

Sposób prezentacji uśmiechu zmienności

• w zależności od ceny wykonania K – dla opcji na akcje/indeksy, dla zestawu opcji na stopę procentową (dla cap/floor), dla opcji na kontrakt IRS (dla swapcji),

• w zależności od ,,delty” (to jest wielkości blisko związanej z deltą opcji) – dla opcji walutowych,

• w zależności od wielkości

  x=ln⁡KS⁢er-δ⁢T,

  która określa ,,poziom (stopień) bycia w pieniądzu” opcji (ang. log-moneyness) – w rozważaniach teoretycznych. I tak dla

  • x<0 – opcja call (put) jest ITM (OTM),

  • x=0 – opcja call (put) jest ATM-F (at the money forward),

  • x>0 – opcja call (put) jest OTM (ITM).

U w a g i:

1. Czasami x (log-moneyness) jest definiowane ,,z przeciwnym znakiem”. Jest to kwestia przyjęcia pewnej konwencji.

2. Wyjaśnienia wymaga pojęcie ,,delty” używane do opisu uśmiechu zmienności opcji walutowych. W tym kontekście ,,deltą” jest liczba przeciwna do delty forward opcji put, czyli wielkość

   Δ^=Φ⁢-d1,

   gdzie Φ jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego. Delta forward to (zwykła) delta przeniesiona na termin wygaśnięcia opcji czynnikiem e+rf⁢T, gdzie rf jest stopą waluty bazowej a T terminem zapadalności opcji. W szczególności, na przykład, będziemy mówić o opcji (czy też zmienności implikowanej) 25-delta put (co oznaczymy symbolem 25P) mając oczywiście na myśli opcję put (zmienność implikowaną opcji put), której delta forward wynosi -0.25.

3. Oś ,,delt” przy prezentacji uśmiechu zmienności bywa różnie oznaczana. Na przykład tak:

   • 10P, 25P, ATM, 25C, 10C

   lub

   • 10P, 25P, 50P, 75P, 90P.

Kwotowanie uśmiechu zmienności dla opcji walutowych

W wersji podstawowej uśmiech zmienności jest wyznaczany przez trzy punkty wykresu:

• zmienność opcji 25-delta put -A- σ25 P,

• zmienność opcji ATM -A- σATM,

• zmienność opcji 25-delta call -A- σ25 C, przy czym dwie ostatnie wielkości są kwotowane pośrednio przez

• zmienność strategii 25-delta risk reversal (oznaczenie: 25-RR)

  σ25 RR=σ25 C-σ25 P,

  (11.14)

• zmienność strategii 25-delta butterfly (oznaczenie: 25-BF)

  σ25 BF=12⁢σ 25 C+σ 25 P-σATM.

  (11.15)

Z tych kwotowań wyliczamy

U w a g i:

1. Zmienność strategii 25-delta risk reversal określa stopień ,,skośności” uśmiechu zmienności.

2. Zmienność strategii 25-delta butterfly określa stopień ,,wypukłości” uśmiechu zmienności.

3. Czasami do opisu struktury uśmiechu zmienności używa się również zmienności implikowanych strategii RR i BF przy innych deltach, na przykład 10-delta. Te zmienności, na ogół, nawet jeśli pochodzą z rynku (są kwotowane), są efektem pewnego procesu ,,przybliżania” dokonywanego na podstawie zmienności ATM, 25-RR i 25-BF, przy czym to ,,przybliżanie” może polegać na ocenie rynku przez ,,kwotującego” albo na zastosowaniu pewnych analitycznych metod interpolacji (i ekstrapolacji).

Dyskretna struktura zmienności implikowanej jest przedstawiona w postaci dwuwymiarowej tablicy, tzn. jako macierz wartości indeksowanych dwiema zmiennymi:

• okresami, które odpowiadają pewnym ,,wystandaryzowanym” czasom trwania opcji,

• ,,deltami” opcji.

Indeksy czasowe

Standardowo przyjmuje się następujący układ Ti (i=1,…,8) czasów trwania opcji:

1D, 1W, 1M, 2M, 3M, 6M, 9M, 1Y.

Każdego dnia tym okresom są przypisane określone liczby dni odpowiadające czasom trwania opcji, które były by zawarte w danym dniu. Te liczby dni nie są wielkościami stałymi i z dnia na dzień zmieniają się w pewnym zakresie.

Indeksy ,,delta”

Standardowo przyjmuje się następujący układ Δ^k (k=1,…,5) ,,delt”, określających stopień ,,bycia w pieniądzu lub poza pieniądzem” opcji (put):

0.10,  0.25,  0.50,  0.75,  0.90,

gdzie przypomnijmy znak ujemny delt (forward) opcji put został pominięty.

Dyskretna struktura zmienności implikowanej ma postać następującej tablicy

Przybliżanie zmienności implikowanej względem czasu

W praktyce rynkowej stosuje się jedną z dwóch metod przybliżania zmienności względem czasu trwania opcji, które różnią się sposobem obliczania liczby dni do wygaśnięcia opcji (ang. expiry):

• metoda podstawowa: uwzględnia się rzeczywistą liczbę dni od daty wyceny (włącznie) do daty wygaśnięcia (wyłącznie),

• metoda dni handlowych (metoda TD, TD – od ang. Trade Day): przy obliczaniu liczby dni między datą wyceny (włącznie) a datą wygaśnięcia (wyłącznie) dni weekendowe oraz dni świąteczne są uwzględniane z wagami, które mają odzwierciedlić mniejszą zmienność kursu walutowego w tych dniach.

Obliczanie liczby dni w okresie czasu metodą dni handlowych

Niech

• Td oznacza liczbę dni handlowych w okresie,

• Tw oznacza liczbę dni weekendowych w okresie,

• Th oznacza liczbę dni świątecznych w okresie,

• ωw∈0,1 oznacza wagę z jaką uwzględniane będą dni weekendowe w okresie,

• ωh∈0,1 oznacza wagę z jaką uwzględniane będą dni świąteczne w okresie.

Wówczas liczba dni dla okresu czasu od chwili początkowej (daty wyceny) do chwili T według metody dni handlowych dana jest wzorem

Załóżmy, że mamy dane wartości σi⁢k zmienności implikowanych dla czasów trwania Ti, i=1,…,8 i przy których delty opcji (put) wynoszą Δ^k dla pewnego k. Wartość zmienności implikowanej σ⁢T,Δ^k opcji (put) z deltą Δ^k dla czasu trwania:

• T<T1 przyjmujemy następująco:

  σ⁢T,Δ^k=σ1⁢k,

  (11.17)

• Ti<T<Ti+1 przybliżamy według następującego wzoru (interpolacja liniowa względem nieannualizowanej wariancji):

  σ⁢T,Δ^k=1T⁢σi⁢k2⁢Ti+τ⁢σi+1,k2⁢Ti+1-σi⁢k2⁢Ti,

  (11.18)

  gdzie

  • w przypadku metody podstawowej

    τ=T-TiTi+1-Ti

  • w przypadku metody dni handlowych

    τ=T*-Ti*Ti+1*-Ti*

    z liczbami dni T*, Ti*, oraz Ti+1* obliczonymi według metody dni handlowych,

• T8<T przyjmujemy następująco:

  σ⁢T,Δ^k=σ8⁢k.

  (11.19)

Przybliżenie zmienności względem ,,delt”

Przybliżenia dokonujemy dla ustalonego czasu trwania T, dla którego mamy dane (lub obliczone stosując przybliżenie zmienności względem czasu) wartości

σ⁢T,Δ^k zmienności implikowanej dla ,,delt” Δ^k (k=1,…,5).

Przybliżoną wartość zmienności implikowanej σ⁢T,Δ^

• dla czasu trwania T,

• która odpowiada zadanej wartości ,,delty” Δ^ leżącej pomiędzy Δ^1 a Δ^5

wyznaczamy stosując jedną z dwóch metod:

• interpolację liniową między punktami Δ^k,σ⁢T,Δ^k (k=1,…,5), to jest

  σ⁢T,Δ^=σ⁢T,Δ^k+σ⁢T,Δ^k+1-σ⁢T,Δ^k⁢Δ^-Δ^kΔ^k+1-Δ^k,

  (11.20)

  jeśli Δ^k<Δ^<Δ^k+1,

• interpolację splajnami, to jest

  σ⁢T,Δ^=S⁢p⁢Δ^,

  (11.21)

  gdzie S⁢p jest naturalnym splajnem kubicznym wyznaczonym dla układu punktów Δk,σ⁢T,Δk (k=1,…,5).

Prócz metod interpolacji należy jeszcze określić sposób ekstrapolacji zmienności, czyli wyznaczania zmienności σ⁢T,Δ^ w przypadku gdy Δ^<Δ^1 lub Δ^5<Δ^. W najprostszym podejściu stosuje się ekstrapolację stałymi wartościami, to jest:

dla Δ^<Δ^1 (to jest dla opcji put/call mocno OTM/ITM) kładziemy

Załóżmy, że mamy dane wartości σ⁢T,Δ^k zmienności implikowanej dla ,,delt” Δ^k (k=1,…,5) i pewnego ustalonego czasu trwania T. Wartość zmienności implikowanej σ⁢T,K dla opcji o czasie trwania T i cenie wykonania K obliczamy następującym iteracyjnym algorytmem.

Niech

• ϵ oznacza zadaną wartość, która określa dokładność z jaką będziemy wyznaczać zmienność implikowaną.

• Nm⁢a⁢x oznacza maksymalną liczbę wykonywanych iteracji.

Start

• Kładziemy σ0=σ⁢T,Δ3 (bierzemy zmienność implikowaną opcji ATM, czyli takiej której delta forward wynosi 50).

Iteracje

• Dla n=0,1,…,Nm⁢a⁢x-1 wykonujemy następujące kroki 1-3:

  1. Obliczamy ,,deltę” opcji ze zmiennością σn dla ceny wykonania K i czasu trwania T:

     Δ*=Δ^⁢S,K,T,σn,

     (11.23)

     gdzie, przypomnijmy, Δ^⁢S,K,T,σn=Φ⁢-d1.

  2. Wyznaczamy nową wartość zmienności implikowanej σn+1 dla opcji z ,,deltą” Δ* za pomocą jednej z metod przybliżania względem ,,delty”.

  3. Jeśli |⁢σn+1-σn⁢|<ϵ, to iteracje zostają zatrzymane.

Koniec.

Jako wartość zmienności implikowanej dla opcji z ceną wykonania K i czasem trwania T przyjmujemy

Wyznaczenie wartości zmienności dla opcji o czasie trwania T i cenie wykonania K przebiega w dwóch etapach:

Etap 1

Wyznaczamy strukturę ,,uśmiechu” zmienności dla opcji o czasie trwania T stosując przybliżenie względem czasu.

Etap 2

Wyznaczamy wartość zmienności dla opcji o czasie trwania T i cenie wykonania K stosując schemat iteracyjny względem ,,delt” na wyznaczonej w Etapie 1 strukturze ,,uśmiechu” zmienności dla opcji o czasie trwania T.

Tak wyznaczona zmienność jest następnie używana do obliczenia wartości opcji waniliowej z modelu BS.

Podobnie jak poprzednio dyskretna struktura zmienności implikowanej jest przedstawiona w postaci dwuwymiarowej tablicy

indeksowanej dwiema zmiennymi:

• okresami, które odpowiadają pewnym ,,wystandaryzowanym” czasom trwania opcji,

• cenami wykonania opcji Kj.

Wśród cen wykonania Kj jest cena wykonania opcji ATM, która zwykle znajduje się w środku ciągu cen K1,…,KJ.

Wyznaczenie wartości zmienności dla opcji o czasie trwania T i cenie wykonania K przebiega podobnie jak poprzednio w dwóch etapach:

Etap 1 jest identyczny jak w przypadku opcji walutowych:

Dla każdej z cen wykonania Kj wyznaczamy strukturę ,,uśmiechu” zmienności dla opcji o czasie trwania T stosując przybliżenie względem czasu, czyli znajdujemy zmienności σ⁢T,K1,⁢σ⁢T,K2,⁢σ⁢T,K3,…,σ⁢T,KJ.

Etap 2 jest prostszy, niż w przypadku opcji walutowych:

Wartość zmienności dla opcji o czasie trwania T i cenie wykonania K wyznaczamy stosując interpolację (liniową / splajnami) lub ekstrapolację względem zmiennej K na wyznaczonej w Etapie 1 strukturze ,,uśmiechu” zmienności σ⁢T,Kj (k=1,…,J).

Do czego używamy zmienności implikowanych?

• Do wyceny (z modelu BS) opcji waniliowych.

• Nie ma uzasadnienia (poza brakiem lepszego pomysłu) dla bezpośredniego używania zmienności implikowanych przy wycenie opcji egzotycznych, bo z definicji zmienności implikowane są skalibrowane tylko do opcji waniliowych. Za teoretyczną cenę opcji egzotycznych przyjmuje się cenę uzyskaną z odpowiedniego modelu BS obliczoną przy zmienności ATM opcji waniliowej.

• Współczynniki wrażliwości opcji (szczególnie delta) nie powinny być obliczane z wzorów analitycznych wynikających z formuł BS, bowiem w tych wzorach zakłada się że parametr σ nie zależy od S. Na przykład w przypadku obliczania delty, teoretycznie powinniśmy to zrobić w następujący sposób

  Δmkt=ΔBS+∂⁡CBS∂⁡σimp⋅∂⁡σimp∂⁡S=ΔBS+V⋅∂⁡σimp∂⁡S.

  (11.24)

  Problem polega na tym, że na ogół nie znamy postaci funkcji σimp⁢S i nie umiemy policzyć analitycznie jej pochodnej. Zwykle ratujemy się w ten sposób, że obliczamy deltę jako symetryczny iloraz różnicowy

  Δmkt=CBS⁢S+△⁢S,σ imp⁢S+△⁢S-CBS⁢S-△⁢S,σimp⁢S-△⁢S2⁢△⁢S

  (11.25)

  dla odpowiednio małej wielkości △⁢S, o ile dysponujemy metodą (numeryczną), która umożliwia modelowanie uśmiechu zmienności jako funkcji od ceny bieżącej.

• Płaszczyzna zmienności jest używana jako ,,input” do zbudowania modelu wyceny opcji egzotycznych spójnej z wyceną opcji waniliowych. W tych modelach wprowadza się nowe rodzaje zmienności:

  • lokalną (Derman-Kani),

  • stochastyczną (Hull-White, Heston),

  • kombinację powyższych (model zaimplementowany w J.P. Morgan).

Cechy charakterystyczne uśmiechów zmienności

▶ Dla opcji walutowych

(a) Dla par walutowych z rozwiniętych rynków

• Ma symetryczny kształt z ramionami skierowanymi ku górze.

(b) Dla par walutowych, w których jedna waluta jest walutą rozwiniętego rynku, a druga jest walutą wschodzącego rynku

W tym przypadku spotyka się ,,sprzeczne” opinie i obserwacje:

• Ma często kształt podobny do uśmiechu zmienności, który jest obserwowany dla opcji na akcje?

• Kształt uśmiechu zmienności podlega częstym zmianom?

▶ Dla opcji na akcje (indeksy)

• Uśmiech zmienności ma zwykle wyraźną skośność.

• Zmienność maleje wraz ze wzrostem ceny wykonania.

• Kształt uśmiechu jest bardziej wyraźny dla opcji o krótkim czasie trwania. Dla opcji o dłuższym czasie trwania uśmiech zmienności jest ,,płytki”.

Zmienność lokalna to deterministyczna (niestochastyczna) funkcja σ=σ⁢S,t, która występuje w równaniu opisującym proces St cen instrumentu podstawowego

Uwagi

1. Jeśli St spełnia (11.26), to na ogół (po za kilkoma szczególnymi przypadkami) nie umiemy podać analitycznego rozwiązania na St i w związku z tym nie mamy wzorów będących odpowiednikami formuł BS.

2. Natomiast możemy wciąż powiedzieć, że cena instrumentu pochodnego wystawionego na St, spełnia równanie Blacka-Scholesa

   ∂⁡C∂⁡t+r-δ⁢S⁢∂⁡C∂⁡S+12⁢σ2⁢S,t⁢S2⁢∂2⁡C∂⁡S2=r⁢C,

   (11.27)

   które możemy próbować rozwiązywać numerycznie

   • po ,,wyspecyfikowaniu” funkcji σ⁢S,t w sposób zgodny z rynkiem,

   • po postawieniu warunków brzegowych, które ,,specyfikują” instrument pochodny.

   Zwykle nie rozwiązujemy równania (11.27) bezpośrednio, a raczej przekształcamy je tak, by otrzymać inne równanie na inną funkcję (przez którą C się wyraża), które się łatwiej rozwiązuje.

3. Teoretycznie jeśli znamy (z rynku) zależność ceny opcji waniliowych od T i K możemy wyznaczyć funkcję σ⁢S,t przez przejście do równania dualnego do (11.27) – tzw. równania Fokkera-Plancka. Z tego równania wyznaczamy zmienność lokalną w następujący sposób

   σ2⁢K,T=2⁢⁢∂⁡C∂⁡T+r-δ⁢K⁢∂⁡C∂⁡K+δ⁢CK2⁢∂2⁡C∂⁡K2.

   W praktyce są z tym problemy, bo mamy zbyt mało danych z rynku, by w sposób dostatecznie dobry wyliczyć pochodne C po T i K, które występują w równaniu Fokkera-Plancka.

4. Wykres funkcji σ=σ⁢S,t nazywa się płaszczyzną lokalnej zmienności (nie mylić z płaszczyzną zmienności implikowanej).

Jeśli nie wystarcza nam model (11.26), możemy spróbować skomplikować model jeszcze bardziej, to znaczy założyć że proces cen jest opisany równaniem

gdzie tym razem σ=σ⁢St,t jest wielkością stochastyczną, taką, że proces wariancji

spełnia równanie

dla pewnych funkcji μ i v. Zakłada się również, że procesy Wienera Wt i W~t są skorelowane, w tym sensie, że

Przykłady modeli dla zmienności

Model Hulla-White'a (1987)

gdzie a, v∞, ξ, oraz α są stałymi.

Model Hestona (1993)