Instrumenty pochodne, których wypłaty zależą od struktury stóp procentowych, są na ogół instrumentami o znacznej złożoności. Ich wycena wymaga dużo bardziej zaawansowanych metod i modeli niż model Blacka-Scholesa, a zabezpieczanie takich instrumentów jest bardzo skomplikowane. Instrumenty pochodne stopy procentowej, w pewnym sensie, są wyeksponowane na wiele wzajemnie oddziaływujących czynników ryzyka. Podstawą do rozumienia inżynierii takich instrumentów są proste pochodne stopy procentowej (pochodne pierwszej generacji), które zależą jedynie od poziomu pewnych stóp procentowych. Na tym wykładzie omówimy najważniejsze takie instrumenty pochodne, mianowicie:

• opcje na górny / dolny poziom stopy procentowej – caplet / floorlet

• cap (seria capletów) / floor (seria floorletów)

• binarne opcje stopy procentowej

• opcje na kontrakty IRS – swapcje (swaptions)

• opcje na obligacje zerokuponowe

i pokażemy w jaki sposób te instrumenty są wbudowywane w złożone produkty finansowe, na przykład:

• inverse floater note,

• range accrual note.

Mimo potencjalnych trudności z wyceną tych instrumentów pochodnych, w praktyce rynkowej przyjęty został prosty model – tzw. model Blacka (analogiczny do modelu Blacka – Scholesa), w którym zakłada się że instrument podstawowy opcji (stopa procentowa, cena obligacji) ma w terminie wygaśnięcia opcji rozkład log-normalny. Jak już wiemy przy takim założeniu waniliowe opcje europejskie można w prosty sposób wycenić (o ile znamy parametry tych rozkładów; patrz Lemat 9.3) – otrzymujemy tzw. formuły Blacka'76.

Caplet / Floorlet to pojedyncza opcja kupna / sprzedaży stopy rynkowej L=L⁢T,TM (typu LIBOR), której okres depozytowy zaczyna się w terminie wygaśnięcia opcji T i kończy się w TM. Wypłata tych opcji wynosi

gdzie

• ω=1 dla capleta i ω=-1 dla floorleta,

• K jest ceną wykonania (określającą poziom stopy procentowej),

• Δ=Δ⁢T,TM jest długością okresu depozytowego stopy L=L⁢T,TM,

• N jest nominałem opcji wyrażonym w walucie stopy L.

Struktura wypłaty (12.1) jest bardzo podobna do wypłaty kontraktu FRA do tego stopnia, że

Stąd wynika parytet dla capletów – floorletów, mianowicie

gdzie Vcaplet oraz Vfloorlet oznaczają bieżące ceny capleta oraz floorleta. Posiadacz capleta jest zabezpieczony przed wzrostem stopy procentowej powyżej stopy będącej ceną wykonania tej opcji. Dlatego capleta określa się jako opcję na górny poziom stopy procentowej. Podobnie floorlet jest opcją na dolny poziom stopy procentowej, która zabezpiecza posiadacza przed spadkiem stopy procentowej poniżej stopy będącej ceną wykonania tej opcji.

Wycena capleta / floorleta

Przy założeniu, że stopa L=L⁢T,TM w chwili T ma rozkład log-normalny taki, że

• odchylenie standardowe ln⁡L⁢T,TM wynosi σ⁢T,

• wartość oczekiwana stopy L⁢T,TM jest równa aktualnie obserwowanej stopie forward F=F⁢0,T,TM na okres czasu T,TM,

bieżąca cena capleta (ω=1) / floorleta (ω=-1) o cenie wykonania K wynosi

gdzie

a D⁢F⁢TM jest czynnikiem, który dyskontuje z chwili TM na chwilę bieżącą. Czynnik ten możemy oczywiście zapisać w postaci e-r⁢TM⁢TM, gdzie r⁢TM jest stopą wolną od ryzyka.

Rozpatrzmy opcję sprzedaży obligacji zerokuponowej, która wypłaca jednostkowy nominał w chwili TM. Opcja wygasając w chwili T, wypłaca

gdzie PK jest ceną wykonania, P⁢T obserwowaną w chwili wygaśnięcia opcji ceną obligacji, a NB jest nominałem opcji. Jeżeli cenę wykonania i cenę obligacji wyrazimy w terminach stóp procentowych, mianowicie

gdzie Δ=Δ⁢T,TM oraz L=L⁢T,TM, to po przekształceniu wyrażenia na wypłatę (12.6) otrzymamy następującą formułę

która będzie identyczna z (12.1) w przypadku ω=1, czyli capleta, o ile N=NB⁢PK. Analogiczny rezultat otrzymamy dla opcji kupna obligacji zerokuponowej i floorleta.

Cap / Floor to seria capletów / floorletów na stopy procentowe dla kolejnych jednakowych okresów depozytowych łącznie obejmujących czas trwania capa / floora, wszystkie z tą samą ceną wykonania K i jednakowym nominałem N. Standardowo capy / floory są kwotowane dla okresów czasu będących pełnymi krotnościami roku, przy czym stopą tych kontraktów jest 3M lub 6M stopa typu LIBOR.

Rozpatrzmy n-letni cap / floor na 3M stopę LIBOR. Ponieważ dla pierwszego 3M okresu stopa LIBOR jest ustalona przez rynek, n-letni cap / floor składa się z 4⁢n-1 trzymiesięcznych capletów / floorletów. Podobnie, n-letni cap / floor na 6M stopę LIBOR składa się z 2⁢n-1 sześciomiesięcznych capletów / floorletów. Cena capa / floora jest sumą cen poszczególnych (żyjących) capletów / floorletów. I tak, jeśli wycena odbywa się przed terminem zapadalności pierwszego capleta / floorleta, to

gdzie f oznacza liczbę capletów / floorletów przypadającą na okres jednego roku.

Rynek kwotuje ceny capów / floorów podając wartość zmienności implikowanej σ¯⁢T,K, gdzie T oznacza długość kontraktu (w latach, to jest, T=n⁢Y) a K jest ceną wykonania. Jest to tak zwana płaska zmienność implikowana (ang. flat implied volatility). Ta wartość jest używana do obliczenia ceny capa / floora za pomocą wzoru (12.7), przy czym każdy caplet / floorlet wchodzący w skład jednego capa / floora jest wyceniany formułą (12.4) z tą samą wartością zmienności σ¯⁢T,K. Ceny gotówkowe capów i floorów są zwykle podawane jako procent nominału wyrażony w punktach bazowych (bp).

Mając do dyspozycji ceny (płaskie zmienności implikowane) dla serii capów / floorów o czasach trwania różniących się tenorem stopy (na przykład, każdy kolejny cap jest dłuższy od poprzedniego o 3M), można wyliczyć wartości zmienności implikowanej dla poszczególnych capletów / floorletów. Wartość zmienności implikowanej σ⁢j,K j-tego capleta / floorleta dla ceny wykonania K wyznaczamy z warunku

gdzie Δ oznacza czas trwania capleta / floorleta. W rzeczywistości, rynek kwotuje capy / floory dla czasów trwania, które są pełnymi krotnościami roku i wówczas aby móc wyznaczyć zmienności implikowane σ⁢j,K korzystając z wzoru (12.8) trzeba przyjąć dodatkowe założenia, na przykład zinterpolować brakujące ceny capów / floorów zapadających pomiędzy pełnymi kolejnymi latami.

Ponieważ dla capletów i floorletów zachodzi związek (12.2), to dla capów i floorów mamy analogicznie

gdzie kontrakt forward IRS zaczyna się w tej samej chwili czasu w której zapada pierwszy caplet / floorlet i kończy się w chwili w której teoretycznie byłaby płacona stopa LIBOR ostatniego capleta / floorleta. Ze związku (12.9) wynika natychmiast następujący parytet cap – floor

gdzie T1 i T2 są odpowiednio początkiem i końcem pierwszego capleta / floorleta, TM jest końcem ostatniego capleta / floorleta, a Δt oznacza długość okresu capleta / floorleta który wygasa w chwili t.

Collar jest strategią złożoną z kupionego capa z ceną wykonania Kcap i sprzedanego floora z ceną wykonania Kfloor<Kcap, przy czym oba kontrakty opiewają na ten sam nominał. Kupując taką strategię inwestor zapewnia sobie finansowanie po stopie R nie większej niż Kcap ale jednocześnie by obniżyć koszt tego zabezpieczenia (to jest, koszt strategii collar) akceptuje, że poziom stopy po której się będzie finansował będzie wynosić co najmniej Kfloor. Taki klient zwykle określa maksymalny poziom kosztu finansowania wyrażony stopą Kcap oraz koszt zabezpieczenia Phedge i do tych wartości dobiera się cenę wykonania floora Kfloor tak by

Typowy collar jest tak konstruowany by w chwili jego zawarcia jego wartość wynosiła zero.

Binarny caplet / floorlet wypłaca kwotę w chwili wygaśnięcia opcji T

gdzie

• H⁢x=1 jeżeli x>0 oraz H⁢x=0 jeżeli x≤0,

• ω=1 dla capleta i ω=-1 dla floorleta,

• K jest ceną wykonania (określającą poziom stopy procentowej),

• Δ=Δ⁢T,TM jest długością okresu depozytowego stopy L=L⁢T,TM,

• N jest nominałem opcji wyrażonym w walucie stopy L.

W modelu Blacka wycena binarnych capletów (ω=1) / floorletów (ω=-1) dana jest wzorem

gdzie

a D⁢F⁢T jest czynnikiem, który dyskontuje z chwili T na chwilę bieżącą.

Binarny cap / floor jest serią pojedynczych capletów / floorletów i oczywiście cena tych kontraktów jest sumą poszczególnych opcji z których się one składają. Binarne capy / floory są najczęściej elementami składowymi finansowych produktów strukturalnych.

Swapcja (ang. swaption) jest opcją na kontrakt IRS, który rozpocznie się w terminie wygaśnięcia opcji.

Swapcja charakteryzuje się dwoma parametrami czasowymi – pierwszy z nich oznacza termin wygaśnięcia (czas trwania) swapcji, a drugi to długość (tenor) kontraktu IRS będącego instrumentem podstawowym swapcji. W terminie wygaśnięcia, o ile będzie to korzystne dla posiadacza swapcji, wejdzie on w kontrakt IRS ze stopą określoną ceną wykonania opcji K. Drugą stroną kontraktu IRS będzie wystawca opcji. Są dwa rodzaje swapcji:

• receiver's swaptions – opcje na kontrakt IRS w którym (od strony posiadacza opcji) będziemy otrzymywać stałą stopę kontraktu IRS (stopę K) i płacić stopę zmienną typu LIBOR;

• payer's swaptions – opcje na kontrakt IRS w którym (od strony posiadacza opcji) będziemy płacić stałą stopę kontraktu IRS (stopę K) i otrzymywać stopę zmienną typu LIBOR.

Jak wynika z określenia tych swapcji w chwili wygaśnięcia zachodzi następujący związek

long payer's swaption + short receiver's swaption = pay fixed fwd IRS,

skąd otrzymujemy parytet dla swapcji w postaci

gdzie Vp.fwd irs⁢K jest wartością w chwili wyceny kontraktu forward IRS, który płaci stałą stopą K i zaczyna się w chwili wygaśnięcia opcji.

Związek swapcji z opcjami na obligacje kuponowe

W chwili wygaśnięcia T wartość swapcji na jednostkę nominału kontraktu IRS wynosi

gdzie Virs⁢K jest wartością w chwili T kontraktu IRS ze stopą K. Kontrakt IRS ze stopą K, w którym płacimy stopę stałą K, można (w sensie wyceny) uznać za kontrakt wymiany obligacji o stałym kuponie oprocentowanym K na obligację o zmiennym oprocentowaniu. Wartość obligacji o zmiennym kuponie na początku (każdego) okresu odsetkowego jest równa wartości nominalnej tej obligacji. W związku z tym, receiver's / payer's swapcja jest równoważna opcji kupna (call) / sprzedaży (put) obligacji o stałym kuponie K, której cena wykonania jest równa wartości nominalnej obligacji (swapcji).

Wycena swapcji

Rozpatrzmy payer's swaption o wartości nominalnej 1. Wówczas, wartość, w chwili T, kontraktu IRS będącego instrumentem podstawowym opcji wynosi

gdzie PK jest ceną obligacji, której kupon wynosi K. Z drugiej strony, kontrakty IRS zawierane w chwili T mają stopę R⁢T taką, że obligacja o kuponie R⁢T jest at par, to znaczy PR⁢T=1. Zatem

gdzie Δj jest długością j-tego okresu odsetkowego nogi stałej kontraktu IRS, a D⁢FT⁢Tj czynnikiem, który dyskontuje z końca tego okresu Tj do chwili początkowej kontraktu IRS (według struktury stóp obowiązującej w chwili T). Z (12.16) wynika, że payer's swapcja będzie wykonywana jeżeli stopa kontraktów IRS w chwili wygaśnięcia opcji jest większa niż cena wykonania swapcji. Ponadto, wzór (12.16) pozwala nam uważać payer's swapcję za zestaw J opcji kupna na stopę R⁢T zapadalnych w chwili T o tej samej cenie wykonania K, wpłata których jest proporcjonalna do długości kolejnych okresów odsetkowych nogi stałej kontraktu IRS – dokładniej, wartość wypłaty j-tej takiej opcji w T wynosi

Struktura wypłaty (12.17) jest niemal analogiczna jak wypłata capleta dana wzorem (12.1) dla ω=1.

Zatem, jeżeli założymy, że stopa R⁢T kontraktu IRS w chwili T ma rozkład log-normalny taki, że

• odchylenie standardowe ln⁡R⁢T wynosi σ⁢T,

• wartość oczekiwana stopy R⁢T jest równa aktualnie obserwowanej stopie F0=Ffwd irs⁢0,T kontraktu forward IRS który zaczynie się w T,

to każdą z J opcji, które dają wypłatę payer's swapcji, można wycenić wzorem Blacka'76

gdzie

a D⁢F⁢Tj jest czynnikiem, który dyskontuje z chwili Tj na chwilę bieżącą.

Tak więc wartość payer's swapcji wynosi

Wzory (12.20) możemy, podobnie jak w przypadku poprzednio omawianych opcji, zapisać jedną formułą – mianowicie wartość payer's (ω=1) / receiver's (ω=-1) swapcji dana jest wzorem

Stopę kontraktu forward IRS, który zacznie się w chwili T i skończy się w TJ, obserwowaną w chwili wyceny swapcji obliczamy następującym wzorem:

Rynek kwotuje swapcje dla głównych walut (USD, EUR, GBP, JPY) podając wartości zmienności σ, które wstawione do formuł Blacka'76 prowadzą do ceny gotówkowej. Kwotuje się głównie swapcje ATM, to znaczy swapcje z cenami wykonania równymi stopom odpowiednich kontraktów forward IRS.

Model Blacka'76 zakłada, że instrument podstawowy opcji w chwili wygaśnięcia opcji ma rozkład log-normalny. W przypadku

• wyceny capów / floorów model zakłada, że stopy forward mają rozkład log-normalny,

• wyceny swapcji model zakłada, że stopy kontraktów IRS mają rozkład log-normalny.

Te dwa założenia są wzajemnie niespójne (sprzeczne), bowiem, jak wiemy (patrz Wykład 4), stopa kontraktu IRS jest w przybliżeniu średnia arytmetyczną stóp forward i jeśli te ostatnie mają rozkład log-normalny, to, na ogół, rozkład stopy kontraktu IRS nie jest log-normalny.

Kredyt o zmiennej ale ograniczonej z góry stopie procentowej

Rozpatrzmy kredyt, w którym kredytobiorca płaci co ustalony okres (na przykład co 3M) odsetki obliczone według zmiennej stopy rynkowej typu LIBOR. Kredytobiorca chce ograniczyć z góry koszt tego kredytu (efektywnie płaconą stopę od pożyczonego kapitału). Niech K oznacza maksymalny poziom stopy rynkowej jaki chce on zaakceptować. W tym celu kupuje capa z ceną wykonania K o strukturze zgodnej z zaciągniętym kredytem (caplety maja czas trwania taki sam jak okresy odsetkowe kredytu) z nominałem identycznym jak kwota pożyczonego kapitału. Zawarty kontrakt cap będzie rekompensował kredytobiorcy potencjalnie wyższe koszty obsługi kredytu. Niech Vcap będzie ceną tego capa (na jednostkę nominału). Aby zobaczyć jaki jest efektywny koszt tego kredytu z uwzględnieniem zabezpieczenia, rozkładamy koszt capa na strumień dodatkowych płatności płaconych razem z odsetkami od kredytu. Ten strumień wyrazimy w postaci marży m powyżej płaconej stopy, a więc kredytobiorca płaci

LIBOR+m jeżeli LIBOR<K
lub
K+m jeżeli LIBOR>K.

Jeżeli wystawcą capa jest kredytodawca, to istotnie, zamiast przyjmować premię za capa w chwili zawierania umowy, może on rozłożyć premię capa na strumień płatności marżowych, które będzie otrzymywał razem z odsetkami. Wielkość marży m spełnia równanie

gdzie Δj jest długością j-tego okresu odsetkowego kredytu (czasu trwania j-tego capletu), a Tj są terminami płatności odsetkowych. Tak obliczona marża m jest funkcją poziomu zabezpieczenia K.

Musimy obsłużyć jeszcze mały niuans. Jak wiemy, konstrukcja capa zakłada, że pierwszy caplet zaczyna się od pierwszego przyszłego okresu depozytowego (odsetkowego) stopy, która jest instrumentem podstawowym capa, czyli że bieżący okres nie jest objęty zabezpieczeniem. Wówczas, aby usunąć to niedopasowanie między strukturą kredytu a strukturą capa, do struktury capa dołącza się dodatkowego capleta na ten pierwszy bieżący okres o znanym już rozliczeniu, którego wartość bieżąca włącza się do ceny capa. Dalej, marżę m obliczmy z wzoru (12.23), gdzie w cenie capa po lewej stronie uwzględniono wartość bieżącą rozliczenia dodatkowego początkowego capleta.

Należy jeszcze zwrócić uwagę na fakt, że opisując powyższą strukturę zabezpieczania kredytu zakładaliśmy, że caplety wchodzące w skład tej struktury dają (niezdyskontowane stopą LIBOR) wypłaty na końcu okresów depozytowych stopy LIBOR, a nie na początku, jak to opisaliśmy w (12.1). Ta modyfikacja capa nie wpływa na wycenę capa ani obliczenie marży.

Inverse floating rate note (reverse floater, bull floating rate note)

Inverse floater to papier wartościowy który płaci kupony liczone według stopy

gdzie K jest ustalonym poziomem stopy procentowej, zwykle w chwili emisji papieru istotnie większym niż bieżący poziom stóp rynkowych LIBOR, z dodatkowym warunkiem, że stopa (12.24) nie może stać się ujemna – to znaczy w takiej sytuacji kupon jest zerowy. Jakie instrumenty pochodne są wbudowane w tą strukturę?

Range accrual note

Range accrual note to papier wartościowy który płaci kupon liczony według stopy obliczonej następującym algorytmem

gdzie

• R jest z góry ustaloną stopą tego papieru (ta stopa może być różna dla różnych okresów odsetkowych),

• D jest liczbą dni handlowych w okresie odsetkowym,

• d jest liczbą dni tego okresu odsetkowego w których stopa LIBOR miała wartość w ustalonym zakresie, tzn. kiedy

  Rd≤ LIBOR≤Ru

  (12.26)

  dla pewnych ustalonych Rd<Ru.

Jakie instrumenty pochodne są wbudowane w tę strukturę?