Terminologia:

• ang. Forward Rate Agreement – FRA,

• kontrakt na przyszłą stopę procentową.

Oznaczenia

• T1 oznacza początek okresu depozytowego, który jest również datą rozliczenia (ang. settlement date),

• T2 oznacza koniec okresu depozytowego,

• Tfix oznacza datę ustalenia stopy referencyjnej (ang. fixing date) – to jest, zwykle dwa dni robocze przed początkiem okresu depozytowego,

• L=L⁢T1,T2 oznacza wartość stopy referencyjnej zaobserwowaną na rynku w dniu ustalenia stopy - najczęściej są to 1, 3 lub 6 miesięczne stopy lokat/depozytów na rynku międzybankowym – stopy WIBOR lub LIBOR,

• Δ=T2-T1 oznacza długość okresu depozytowego kontraktu FRA obliczoną według właściwej dla danej waluty konwencji (ACT/360 dla USD, EUR; ACT/365 dla PLN, GBP),

• RFRA oznacza stopę kontraktu FRA, to jest zakontraktowaną wysokość stopy procentowej, tzw. cena kontraktu FRA,

• N oznacza nominał kontraktu,

• Symbole używane na rynku do oznaczania kontraktu: FRAT1xT2 lub FRAT1vT2 (na przykład: FRA6x9, gdzie ,,6” odpowiada T1=6⁢M (6 miesięcy od dnia spot), a ,,9” to T2=9⁢M).

Kwota rozliczenia (wypłata z kontraktu FRA) od strony nabywcy kontraktu, znana od momentu ustalenia stopy referencyjnej, płatna w dacie rozliczenia, wynosi

Warto zauważyć, że kwota rozliczenia (3.1) nie jest liniową funkcją stopy L, choć ta nieliniowość nie jest silna bowiem wartości iloczynu L⋅Δ są zwykle małe w stosunku do 1.

W sensie ekonomicznym (w sensie wartości bieżącej na chwilę T1) wartość kwoty rozliczenia (3.1) kontraktu FRA płatnej w chwili T1 jest równoważna wartości rozliczenia wymiany w następującej w chwili T2 odsetek liczonych według stopy zmiennej L=L⁢T1,T2 na odsetki liczone według stopy kontraktu RFRA, czyli kwoty

Strony kontraktów FRA

• Kupno FRA (długi FRA, ang. long FRA) – kupno pieniędzy (pożyczenie pieniędzy) – płacenie odsetek – płacenie stopy kontraktu FRA

• Sprzedaż FRA (krótki FRA, ang. short FRA) – sprzedaż pieniędzy (ulokowanie pieniędzy) – otrzymywanie odsetek – otrzymywanie stopy kontraktu FRA

Rola kontraktów FRA

• Nabywca kontraktu FRA zapewnia sobie określoną w umowie wysokość referencyjnej stopy procentowej, po której będzie mógł się finansować (pożyczyć pieniądze) przez ustalony w kontrakcie przyszły okres czasu.

• Sprzedawca kontraktu FRA zapewnia sobie możliwość ulokowania po stopie kontraktu FRA swoich funduszy na ustalony w kontrakcie okres czasu.

Jak to działa? Wyjaśnimy to od strony kupującego kontrakt FRA.

• Zawieramy kontrakt FRA w którym będziemy płacić ustaloną kontraktem stopę RFRA (tzn. kupujemy kontrakt FRA ze stopą RFRA). Zawarcie kontraktu nic nas nie kosztuje.

• W chwili Tfix zostaje ustalona wartość L stopy rynkowej na okres od T1 do T2. Przypuśćmy, że L>RFRA. To oznacza, że od sprzedawcy kontraktu otrzymujemy kwotę V określoną w (3.1). Wówczas

  • kwotę V lokujemy po stopie L na okres od T1 do T2, oraz

  • kwotę N pożyczamy po stopie L na ten sam okres.

• W chwili T2

  • z lokaty dostajemy kwotę L-RFRA⋅Δ⋅N, oraz

  • zwracamy pożyczony kapitał N i płacimy należne odsetki w wysokości L⋅Δ⋅N.

  W efekcie, po zbilansowaniu płatności, od pożyczonego kapitału płacimy odsetki po stopie RFRA. Gdy L<RFRA, musimy wypłacić sprzedawcy kwotę -V, którą w tym celu pożyczamy na rynku po stopie L. Wtedy w T2 oddajemy kwotę N+L⋅Δ⋅N oraz kwotę RFRA-L⋅Δ⋅N, co znów daje nam efekt taki sam, jak w poprzednim przypadku.

Kontrakty FRA mogą być i są używane przez spekulantów. Spekulant, który przypuszcza, że stopy procentowe w przyszłości

• wzrosną – kupuje kontrakt FRA,

• spadną – sprzedaje kontrakt FRA,

bowiem jeśli spełnią się jego spekulacje, to zgodnie ze wzorem (3.1) zyska.

(długiej pozycji FRA, kupiony FRA)

• (a) Wartość zapadłego kontraktu FRA – wartość w dacie lub po dacie ustalenia stopy referencyjnej (Tfix≤t≤T1)

  Wartość kontraktu FRA jest równa wartości zdyskontowanej do momentu wyceny ustalonej kwoty rozliczenia (3.1)

  PFRA=D⁢F⁢t,T1⋅L-RFRA⋅Δ⋅N1+L⋅Δ

  (3.3)

• (b) Wartość kontraktu przed datą ustalenia stopy referencyjnej (t<Tfix)

  Pokażemy, że wartość w chwili t niezapadłego kontraktu FRA wynosi

  PFRA=N⋅D⁢F⁢t,T1-1+RFRA⁢Δ⋅D⁢F⁢t,T2

  (3.4)

  W tym celu rozpatrzmy następującą strategię inwestycyjną, która w sposób statyczny replikuje wymianę odsetek

  L-RFRA⋅Δ⋅N,

  która (hipotetycznie) będzie miała miejsce w chwili T2 i która ekonomicznie jest równoważna kwocie rozliczenia kontraktu FRA. Ta strategia polega na

  • sprzedaży w chwili t obligacji zerokuponowej zapadalnej w chwili T2 o nominale 1+RFRA⁢Δ⁢N,

  • kupnie w chwili t obligacji zerokuponowej zapadalnej w chwili T1 o nominale N,

  • zainwestowaniu w chwili T1 kwoty N (otrzymanej z zapadającej w T1 obligacji zerokuponowej) na okres czasu od T1 do T2 w lokatę oprocentowaną według rynkowej stopy L=L⁢T1,T2.

  Jak łatwo sprawdzić, wartość tej strategii w chwili t dana jest wzorem

  N⋅D⁢F⁢t,T1-1+RFRA⁢Δ⋅D⁢F⁢t,T2.

  Ponieważ ta strategia replikuje kwotę (hipotetycznego) rozliczenia w T2 równoważnego rzeczywistemu rozliczeniu kontraktu FRA w chwili T1, to z prawa jednej ceny wynika, iż musi zachodzić równość (3.4).

W dniu zawarcia kontraktu (ang. trade date) wartość kontraktu wynosi zero. Niech t0 oznacza chwilę zawarcia kontraktu. Stopa RFRA z jaką kontrakt został zawarty musiała być taka, by

czyli stopa ta powinna była wynosić

Jak widać ze wzoru (3.5), w dniu zawarcia kontraktu (w dniu bieżącym t0) stopa kontraktu FRA jest równa stopie forward dla okresu depozytowego kontraktu FRA obserwowanej w chwili t0

gdzie, przypomnijmy, stopa F⁢t0,T1,T2 spełnia warunek

Inne uzasadnienie równości (3.6). Kupiony kontrakt FRA pozwala na ustalenie stopy procentowej po której będziemy mogli pożyczać pieniądze na okres czasu od T1 do T2. Z drugiej strony ten sam efekt możemy uzyskać wykonując w chwili t0 dwie transakcje: pożyczenie pieniędzy na okres czasu od t0 do T2 (sprzedaż obligacji zero-kuponowej o czasie zapadalności T2) oraz jednoczesne ulokowanie tych pieniędzy na okres czasu od t0 do T1 (kupno obligacji zero-kuponowej o czasie zapadalności T1) - patrz uzasadnienie definicji stopy forward (Wykład 2). Efektem tych transakcji na obligacjach zero-kuponowych jest zapewnienie sobie stopy forward F⁢t0,T1,T2 na okres czasu od T1 do T2 przy zerowych kosztach początkowych. Ekonomicznie transakcja FRA i te dwie transakcje depozytowe dają ten sam efekt przy tych samych (zerowych) kosztach. Tak więc, musi zachodzić warunek (3.6), gdyż w przeciwnym razie moglibyśmy przeprowadzić transakcję arbitrażową.

Powyższy mechanizm opisany w celu uzasadnienia wzoru (3.6) przedstawia również sposób replikacji kontraktu FRA przy pomocy lokaty i depozytu. Kupiony FRA (płacimy stopę FRA) replikujemy pożyczeniem pieniędzy na okres czasu do chwili T2 po stopie L⁢t0,T2 i ulokowaniem pożyczonych pieniędzy na depozycie do chwili T1 po stopie L⁢t0,T1. W przypadku replikacji sprzedanego kontraktu FRA postępujemy odwrotnie: pieniądze pożyczamy na okres do T1 i robimy depozyt na okres do T2. W tym języku wzór na stopę kontraktu FRA możemy zapisać następująco

gdzie Δi jest długością okresu depozytowego, który zaczyna się w dacie spot dla chwili bieżącej t0 i kończy w Ti (i=1,2).

Wartość kontraktu FRA jest równa wartości zdyskontowanej do momentu wyceny kwoty przyszłego rozliczenia którą, obliczamy wzorem (3.1) wstawiając w nim zamiast stopy L stopę forward F=F⁢t,T1,T2 dla okresu od T1 do T2 implikowaną przez strukturę stóp procentowych z chwili wyceny t

gdzie

Dlaczego można tak postąpić? Podamy dwa uzasadnienia.

Otóż w chwili t możemy bez kosztów początkowych zawrzeć kontrakt FRA na okres od T1 do T2 zamykający nasz oryginalny (wyceniany) kontrakt. Stopa tego zamykającego kontraktu FRA jak wiemy musi wynosić F⁢t,T1,T2. Ekonomiczny rezultat tego zamknięcia to wymiana w chwili T2 stopy F=F⁢t,T1,T2 na stopę RFRA wycenianego kontraktu FRA. Bieżąca wartość tej wymiany, która jest de facto wartością oryginalnego kontraktu FRA, wynosi zatem

Korzystając ze wzoru (3.9) na stopę forward, wyrażenie po prawej stronie równości (3.10) możemy zapisać w postaci (3.8), co uzasadnia tę metodę wyceny kontraktu FRA.

Drugie uzasadnienie polega na sprawdzeniu, że po wstawieniu do (3.8) (lub (3.10)) wyrażenia na stopę F wyliczoną z warunku (3.9) i po przeprowadzeniu uproszczeń, otrzymujemy wzór (3.4) na wycenę kontraktu FRA.

Jak widać, kontrakt FRA może służyć do zabezpieczania określonych płatności odsetkowych. Jeśli mamy otrzymać płatność odsetkową za przyszły okres czasu od T1 do T2 zależną od stopy rynkowej L⁢T1,T2, która będzie ustalona na ten okres przez rynek, możemy sprzedać kontrakt FRA na ten okres czasu ze stopą RFRA=F⁢t,T1,T2. W efekcie, możemy uważać, że bez żadnych kosztów zamieniliśmy nieznaną w chwili t stopę rynkową na stopę F⁢t,T1,T2 ustaloną w t.

Jak widać ze wzoru (3.4), wycena kupionego kontraktu FRA jest identyczna jak wycena strumienia pieniężnego

• +N w chwili T1,

• -1+RFRA⁢Δ⁢N w chwili T2.

Podobnie, ze wzoru (3.10) wynika, że wycena kupionego kontraktu FRA jest identyczna jak wycena strumienia pieniężnego

• +F⁢t,T1,T2⋅Δ⋅N w chwili T2,

• -RFRA⋅Δ⋅N w chwili T2.

Uwaga: Powyższe przepływy pieniężne (oraz przepływy pieniężne odpowiadające wzorowi (3.8)) są jedynie przepływami syntetycznymi i w rzeczywistości żadne z tych przepływów nie występują w związku z realizacją kontraktu FRA.

1. Kontrakty FRA są kwotowane ze spreadem kupna – sprzedaży. Cena kupna kontraktu FRA to stopa RFRAbid, którą kwotujący jest skłonny ,,płacić” w tym kontrakcie. Analogicznie, cena sprzedaży kontraktu FRA to stopa RFRAoffer, którą kwotujący jest gotów ,,otrzymywać” w tym kontrakcie. Jasne, że RFRAbid<RFRAoffer.

2. Spready kupna – sprzedaży kontraktów FRA są relatywnie małe (kilka lub kilkanaście bp), na ogół dużo mniejsze niż wynikałyby ze spreadów lokat/depozytów replikujących kontrakty FRA (patrz Zadanie 3.1). Jest to związane z różnymi poziomami ryzyka kredytowego w kontraktach FRA i w transakcjach depozytowych. Ponadto, kontrakty FRA, jako transakcje pozabilansowe, mają znacznie większą płynność niż transakcje depozytowe, które wymagają zaangażowania gotówki (są transakcjami bilansowymi).