Są dwa podstawowe rodzaje kontraktów wymiany stóp procentowych:

• ang. Interest Rate Swap (IRS):

  • w jednej walucie

  • strony kontraktu wymieniają między sobą (tylko) odsetki

• ang. Cross Currency Interest Rate Swap (CCIRS):

  • w dwóch różnych walutach

  • strony kontraktu wymieniają między sobą odsetki

  • oraz wymieniane są nominały na początku (na ogół, choć nie zawsze) i na końcu kontraktu, oraz w przypadku kontraktu z amortyzacją (ze zmieniającymi się w trakcie trwania kontraktu nominałami) wymieniane są kwoty, które dostosowują odpowiednio nominały kontraktu

Kontrakt wymiany procentowej (IRS/CCIRS) składa się z dwóch strumieni pieniężnych, tzw. nóg kontraktu. Strona kontraktu IRS/CCIRS otrzymuje/płaci płatności występujące na jednej nodze kontraktu w zamian za co płaci drugiej stronie/otrzymuje od drugiej strony kontraktu płatności drugiej nogi.

Wyróżniamy dwa rodzaje nóg kontraktów wymiany procentowej:

• nogę stałą (ang. fixed leg) – odsetki są liczone według stałej stopy,

• nogę zmienną (ang. floating leg) – odsetki są liczone według zmiennej stopy.

Ze względu na charakter nóg odsetkowych, możemy rozważać następujące typy kontraktów IRS/CCIRS:

• fixed/float – tzw. coupon swap,

• float/float – tzw. basis swap,

• fixed/fixed (ma sens tylko w przypadku kontraktów dwuwalutowych CCIRS).

Ponadto, dla każdego z typów kontraktu IRS/CCIRS możemy mieć kontrakt

• bez amortyzacji – nominały nóg kontraktu nie zmieniają się w trakcie trwania kontraktu,

• z amortyzacją – nominały nóg kontraktu zmieniają się w trakcie trwania kontraktu.

Noga stała

Noga stała (ang. fixed leg) kontraktu to strumień płatności C⁢Ti następujących w chwilach Ti, i=1,…,M (TM jest terminem zapadalności kontraktu), na który składają się:

• w przypadku kontraktu IRS, odsetki wyliczone według stałej, ustalonej w kontrakcie, stopy (ang. fixed rate) RIRS

  C⁢Ti=RIRS⁢⁢Δi⁢Ni,

  (4.1)

  gdzie Δi=Δ⁢Ti-1,Ti jest długością okresu odsetkowego Ti-1,Ti obliczoną według właściwej dla stopy kontraktu RIRS konwencji, a Ni jest nominałem od którego w okresie odsetkowym Ti-1,Ti liczone są odsetki;

• w przypadku kontraktu CCIRS, odsetki wyliczone według stałej, ustalonej w kontrakcie, stopy (ang. fixed rate) RCCIRS plus, w przypadku kontraktu o amortyzowanym nominale, przepływy wynikające z amortyzacji nominału

  C⁢Ti=RCCIRS⁢⁢Δi⁢Ni+Ai,

  (4.2)

  gdzie

  Ai=Ni-Ni+1,

  przy czym końcową wypłatę nominału, następującą w TM, możemy dla spójności notacji uznać za końcową amortyzację, to znaczy przyjmiemy, że AM=NM.

Noga zmienna

Noga zmienna (ang. floating leg) kontraktu to strumień płatności C~⁢T~i następujących w chwilach T~i, i=1⁢⁢…,J (T~J=TM jest terminem zapadalności kontraktu), na które składają się

• w przypadku kontraktu IRS, odsetki wyliczone według, ustalonej w kontrakcie, zmiennej stopy rynkowej (ang. floating rate),

  C~⁢T~i=m*⁢L⁢T~i-1,T~i+m⁢⁢Δ~i⁢N~i,

  (4.3)

  gdzie m* jest czynnikiem multiplikatywnym a m – marżą addytywną, Δ~i=Δ⁢T~i-1,T~i jest długością okresu odsetkowego T~i-1,T~i obliczoną według właściwej dla stopy rynkowej konwencji, a N~i jest nominałem od którego w okresie odsetkowym T~i-1,T~i liczone są odsetki,

• w przypadku kontraktu CCIRS, odsetki wyliczone według, ustalonej w kontrakcie, zmiennej rynkowej stopy (ang. floating rate) plus, w przypadku kontraktu o amortyzowanym nominale, przepływy wynikające z amortyzacji nominału

  C⁢T~i=m*⁢L⁢T~i-1,T~i+m⁢⁢Δ~i⁢N~i+A~i,

  (4.4)

  gdzie

  A~i=N~i-N~i+1,

  przy czym końcową wypłatę nominału, następującą w T~J, możemy dla spójności notacji uznać za końcową amortyzację, to znaczy przyjmiemy, że A~J=N~J-N~J+1, gdzie N~J+1=0.

Uwagi

• Częstotliwości płatności odsetkowych na obu nogach kontraktu wymiany procentowej nie muszą być takie same. Na przykład, w standardowych (ang. plain vanilla swaps, generic swaps) kontraktach IRS w PLN odsetki nogi stałej są płatne rocznie, a odsetki nogi zmiennej co pół roku po stopie WIBOR 6M.

• Częstotliwość płatności odsetkowych nogi stałej zwykle jest zgodna ze schematem płatności kuponów obligacji obowiązującym na danym segmencie rynku obligacji (na ogół punktem odniesienia jest rynek obligacji skarbowych), bowiem zgodność ta umożliwia tworzenie dopasowanych strategii zabezpieczających. Jednym z ważnych wyjątków od tej ogólnej reguły są standardowe kontrakty IRS dla USD, które płacą odsetki rocznie, podczas gdy obligacje skarbowe (USD T-bonds) płacą kupon co pół roku.

• Konwencje stóp procentowych nóg kontraktu IRS/CCIRS nie muszą być takie same i na ogół nie są. I tak:

  • Stopa kontraktu IRS/CCIRS (stopa na nogi stałej) zwykle ma konwencję zgodną z konwencją stóp obligacji o stałym kuponie, choć i tu też są wyjątki od tej ogólnej zasady – noga stała USD IRS jest na bazie ACT/360 podczas gdy USD T-bonds są na bazie ACT/ACT; oraz drugi wyjątek – noga stała EUR IRS ma bazę 30/360 a obligacje rządowe na rynku EU przeszły na konwencję ACT/ACT z chwilą wprowadzenia wspólnej waluty.

  • Stopa zmienna nogi zmiennej ma konwencję rynku pieniężnego danej waluty.

• Na ogół pierwsze okresy odsetkowe na obu nogach kontraktu rozpoczynają się w tym samym momencie.

• Obie nogi kontraktu wymiany procentowej kończą się w tym samym momencie.

• Amortyzacje nominałów następują w tych samych chwilach czasu na obu nogach kontraktu.

• W przypadku kontraktów IRS z amortyzacją nie ma przepływów wynikających ze zmian nominału. Formalnie można by wprowadzić takie przepływy, ale wówczas po zbilansowaniu przepływy te zniosły by się wzajemnie. Jednak czasami, na potrzeby pewnych rozważań i interpretacji będziemy przyjmować, że nogi kontraktu IRS z amortyzacją mają przepływy amortyzacyjne oraz, że następują końcowe wymiany (takich samych) nominałów.

• W przypadku kontraktów IRS, płatności odsetkowe obu nóg następujące w tej samej chwili czasu są bilansowane i kwota netto rozliczenia jest płacona / otrzymywana.

Kontrakt IRS/CCIRS jako Fixed Bond vs. Floating Rate Note

Zauważmy, że

• strumień nogi stałej kontraktu IRS/CCIRS (wraz z przepływami wynikającymi z ewentualnych amortyzacji i z nominałem w terminie zapadalności) możemy interpretować jako strumień odpowiedniej obligacji o stałym oprocentowaniu RIRS/CCIRS,

• strumień nogi zmiennej kontraktu IRS/CCIRS w którym m*=1 (wraz z przepływami wynikającymi z ewentualnych amortyzacji i z nominałem w terminie zapadalności) możemy interpretować jako strumień obligacji o zmiennym oprocentowaniu.

Stąd kontrakt IRS w którym, na przykład, otrzymujemy nogę stałą i płacimy nogę zmienną, możemy utożsamiać z portfelem złożonym z kupionej obligacji o stałym kuponie (ang. long fixed bond position) i ze sprzedanej obligacji o zmiennym kuponie (ang. short floating rate note position):

IRS(otrzymujemy RIRS)= + obligacja z kuponem RIRS - obligacja o zmiennym kuponie

Wartość kontraktu IRS/CCIRS (jego wycena) dla strony kontraktu jest różnicą pomiędzy wyceną nogi otrzymywanej przez stronę a wyceną nogi płaconej. Wyceną nogi kontraktu w chwili t jest przeliczona po kursie wymiany (waluty nogi na walutę wyceny) obowiązującym w chwili t wartość obecna przyszłych w stosunku do t przepływów pieniężnych tej nogi. Tak więc

gdzie

• Sreceive jest kursem wymiany waluty przepływów nogi otrzymywanej na walutę wyceny,

• Spay jest kursem wymiany waluty przepływów nogi płaconej na walutę wyceny.

Na przykład, dla strony, która otrzymuje odsetki po stopie stałej a płaci odsetki po stopie zmiennej w kontrakcie IRS denominowanym w PLN, wartość kontraktu w PLN wynosi

Przedstawimy wycenę nóg kontraktów wymiany procentowej IRS/CCIRS. Do wyceny będziemy brać tylko niezrealizowane przepływy nóg kontraktu, to znaczy te przepływy, które nastąpią w przyszłości względem momentu wyceny t.

Wycena nogi stałej

Niech C⁢T1,…,C⁢TM będą niezrealizowanymi przepływami nogi stałej, to znaczy Ti>t dla każdego i=1,…,M (po ewentualnym przenumerowaniu dat Ti, tak by T1 oznaczało pierwszy przyszły termin płatności odsetek). Wartość nogi stałej kontraktu IRS/CCIRS (wyrażona w walucie tej nogi), to jest wartość obecna na moment t strumienia przepływów C⁢T1,…,C⁢TM, dana jest wzorem:

w przypadku kontraktu IRS

gdzie D⁢F⁢t,T oznacza czynnik dyskontujący przepływ następujący w chwili T na moment wyceny t odpowiadający strukturze stóp procentowych waluty nogi kontraktu obowiązującej w dniu wyceny.

Uwaga: W pewnych sytuacjach wyceniając kontrakt IRS do obu nóg kontraktu dokładane są (wzajemnie znoszące się) przepływy amortyzacyjne oraz końcowe wymiany nominałów. Wówczas, wycena tak zmodyfikowanej nogi stałej kontraktu IRS jest dana wzorem (4.5b). W szczególności, dla kontraktów bez amortyzacji (w przypadku IRS z dołożoną końcową wymianą nominałów) mamy

bowiem wtedy Ai=0 i Ni=N dla i=1,…,M-1 oraz AM=N. Zauważmy, że wówczas (4.6) można interpretować jako wycenę obligacji o stałym kuponie równym RIRS/CCIRS.

Wycena nogi zmiennej

Aby ujednolicić formuły na wycenę dla kontraktów IRS i CCIRS, założymy, że w przypadku kontraktów IRS dołożone zostały (wzajemnie znoszące się) przepływy amortyzacyjne oraz końcowe wymiany nominałów. Tak samo jak w przypadku wyceny nogi stałej, do wyceny nogi zmiennej bierzemy tylko niezrealizowane przepływy, to znaczy te które nastąpią w przyszłości w stosunku do daty wyceny t. Załóżmy, że pierwszym aktualnie trwającym okresem odsetkowym jest okres T~0,T~1, przy czym t∈T~0,T~1fix, gdzie T~1fix jest datą ustalenia (fixingu) stopy rynkowej na kolejny okres odsetkowy T~1,T~2. Wartość rynkowej stopy procentowej L1=L⁢T~0,T~1 jest znana i w związku z tym przepływ następujący w chwili T~1 ma dobrze określoną wielkość

Z rozważań przeprowadzonych przy omawianiu kontraktów FRA i stóp forward (patrz Wniosek z Wykładu 3) wynika, że wyceniając przepływy pieniężne nogi zmiennej (ich części odsetkowe) następujące w chwilach T~j>T~1 możemy zastąpić stopy przyszłe L⁢T~j-1,T~j bieżącymi stopami forward, to znaczy stopami Fj=F⁢t,T~j-1,T~j. Wówczas wycena nogi zmiennej (wyrażona w walucie tej nogi) dana jest wzorem

gdzie przypomnijmy stopa forward Fj spełnia warunek

W przypadku, gdy t∈T~1fix,T~1, stopa L2=L⁢T~1,T~2 dla kolejnego okresu odsetkowego jest również ustalona na rynku. Wówczas, prócz przepływu następującego w T~1, ustaloną wartość ma także przepływ, który nastąpi w T~2. Zatem, w tym przypadku, wzór na wycenę ma następującą postać

Uproszczone postaci wzorów na wycenę nogi zmiennej

Korzystając z warunku na stopę forward (4.8), wzory (4.7) i (4.9) możemy przekształcić tak, by nie zawierały odwołania do stóp forward. Pokażemy to w przypadku, gdy czynnik multiplikatywny m* stopy nogi zmiennej wynosi 1 (wtedy bowiem wzory te przyjmują szczególnie prostą postać).

Rozpatrzmy wyrażenia postaci

które są składowymi wzoru (4.7) dla j0=2 i wzoru (4.9) dla j0=3. Korzystając z definicji stopy forward (4.8), składniki sumy (4.10) odpowiadające przepływom odsetkowym możemy przekształcić w następujący sposób

Stąd, po uwzględnieniu definicji amortyzacji A~j=N~j-N~j+1, wyrażenia pod sumą (4.10) możemy zapisać w postaci

Po podstawieniu tych wyrażeń pod znak sumy (4.10) i po przeprowadzeniu stosownych uproszczeń pamiętając, że N~J+1=0, otrzymamy

Równość (4.11) wykorzystujemy do uproszczenia wzorów na wycenę nogi zmiennej.

▶ Uproszczona postać wzoru (4.7).

Po wstawieniu (4.11) napisanego w przypadku j0=2 do wzoru (4.7) i przeprowadzeniu stosownych uproszczeń, otrzymujemy

Zauważmy, że wzór (4.12) w przypadku m=0 jest identyczny ze wzorem na wycenę obligacji o zmiennym kuponie, której okresy odsetkowe są takie same jak na zmiennej nodze kontraktu IRS.

▶ Uproszczona postać wzoru (4.9).

Analogicznie jak w poprzednim przypadku, po wstawieniu (4.11) napisanego w przypadku j0=3 do wzoru (4.9) i przeprowadzeniu stosownych uproszczeń, otrzymujemy

(ang. plain vanilla IRS, generic IRS)

Na rynku kwotowane są stopy standardowych kontraktów IRS o szerokim zakresie terminów zapadalności: zwykle od 2Y do 10Y, 15Y, 20Y, 30Y oraz czasami 1Y (choć te na ogół mają nieco inną konstrukcję niż kontrakty IRS o dłuższych terminach zapadalności - noga zmienna kontraktu 1Y IRS płaci odsetki z większą częstotliwością niż kontrakty IRS o dłuższych czasach trwania).

Struktura standardowego kontraktu IRS jest następująca:

• jednowalutowy,

• wymiana samych odsetek: fixed/float,

• okresy odsetkowe nogi stałej mają taką samą długość: zwykle rok (dla PLN, USD, EUR), lub pół roku (dla GBP, JPY),

• bez marż nakładanych na stopę nogi zmiennej: m*=1 oraz m=0,

• bez amortyzacji: nominał jest stały w trakcie trwania kontraktu,

• obie nogi zaczynają (i kończą) się w tych samych chwilach czasu.

Wycena standardowego kontraktu IRS (receive: fixed, pay: float)

Wycenę standardowego kontraktu IRS w chwili t∈T~0,T~1fix uzyskujemy stosując wzór (4.6) do wyceny nogi stałej oraz wzór (4.12) z m=0 i N~1=N do wyceny nogi zmiennej. Aby zastosować te wzory do przepływów nóg tego kontraktu dołożyliśmy w terminie zapadalności kontraktu TM=T~J dwa wzajemnie znoszące się przepływy odpowiadające końcowym wymianom nominałów N. Stąd wycena standardowego kontraktu IRS dana jest wzorem

Standardowy kontrakt IRS w chwili zawarcia kontraktu

Rozpatrzmy wycenę standardowego kontraktu IRS w chwili zawarcia kontraktu. Wówczas data wyceny t (będąca chwilą zawarcia kontraktu) jest równocześnie chwilą ustalenia stopy zmiennej L1=L⁢T~0,T~1 dla pierwszego okresu odsetkowego nogi zmiennej, to jest t=T~0fix, a T~0=T0 jest bieżącą datą spot. Wartość kontraktu w chwili t dana jest wzorem (4.14), pomimo tego że wyceniamy kontrakt w dacie t=T~1fix ustalenia stopy rynkowej L1 dla pierwszego okresu odsetkowego nogi zmiennej T~0,T~1 (bowiem w T~0=T0 nie ma płatności nogi zmiennej). Z własności stopy L1 i sposobu wyznaczania czynników dyskontowych z kwotowań stóp depozytowych wynika, że

Wtedy wzór (4.14) możemy zapisać w postaci

gdzie oznaczyliśmy

Czynniki dyskontowe

występujące w (4.15), określone wzorem (4.16), są czynnikami (obserwowanymi w chwili bieżącej t) dyskontującymi do daty spot.

Stopa standardowego kontraktu IRS

Standardowy kontrakt IRS jest zawierany ze stopą RIRS dobraną tak by wartość kontraktu w chwili jego zawarcia wynosiła zero (strony kontraktu IRS nie ponoszą kosztów początkowych zawierając kontrakt). Ze wzoru (4.15) wynika, że stopa RIRS spełnia równanie

skąd stopa ta wynosi

Zauważmy, że warunek (4.17) oznacza, że obligacja o stałym oprocentowaniu RIRS z terminem wykupu TM, która płaci odsetki z taką samą częstotliwością jak noga stała kontraktu IRS, jest at par, to znaczy, cena tej obligacji jest równa jej wartości nominalnej. Stąd, stopy kontraktów IRS mogą być traktowane jako punkt odniesienia przy określaniu oprocentowania nowo emitowanych obligacji stałokuponowych.

Stopa standardowego kontraktu IRS jako średnia stóp forward

Znów rozpatrzmy standardowy kontrakt IRS, w którym odsetki po obu nogach są płacone z taką samą częstotliwością. Ponieważ wartość kontraktu w chwili jego zawarcia wynosi zero, to

Zatem,

Ze wzoru (4.19) wynika, że jeśli stopy forward i stopa RIRS są wyrażane w tej samej konwencji, czyli gdy Δi=Δ~i dla każdego i=1,…,M, to

Ponadto, jak widać z (4.19), stopa RIRS jest średnią ważoną stóp Fi. Jako przykład, weźmy dwuletni kontrakt IRS z odsetkami płaconymi co pół roku po obu nogach. Ponieważ

wzór (4.19) oznacza, że stopa RIRS 2Y jest, w przybliżeniu, średnią ważoną czynnikami dyskontowymi, obserwowalnych na rynku: stopy LIBOR 6M oraz stóp FRA na kolejne 6-miesięczne okresy.

Standardowy kontrakt IRS vs. seria kontraktów FRA

Rozpatrzmy standardowy kontrakt IRS, w którym odsetki po obu nogach są płacone z taką samą częstotliwością. Wówczas taki kontrakt jest serią wymian odsetek

• RFRA⋅Δi⋅N w chwili Ti,

• -Fi⋅Δ~i⋅N w chwili Ti.

Każda taka wymiana (za wyjątkiem pierwszej) może być potraktowana jako syntetyczne przepływy (sprzedanego) kontraktu FRA×Ti-1×Ti ze stopą RIRS. Pierwsza wymiana w kontrakcie IRS jest wymianą odsetek według stopy RIRS za odsetki według ustalonej już rynkowej stopy referencyjnej. Tak więc wartość takiego kontraktu IRS jest taka sama jak wartość serii sprzedanych kontraktów FRA×T1×T2, …, FRA×TM-1×TM z taką samą stopą równą RIRS oraz pierwszej wymiany odsetek. Warto zauważyć, że te kontrakty FRA mają na ogół nierynkową stopę (ang. off-market), wszystkie taką samą równą RIRS.

W praktyce wzór (4.17) stosuje się raczej do wyznaczenia wartości czynników dyskontowych niż do wyznaczania stóp kontraktów IRS, bowiem to właśnie na podstawie kwotowań stóp standardowych kontraktów IRS wyznacza się strukturę stóp procentowych i czynników dyskontowych. Niech RM oznacza stopę standardowego kontraktu IRS, który zapada w TM. Terminy zapadalności standardowych kontraktów IRS, w których odsetki nogi stałej są płacone rocznie, są ,,wielokrotnościami lat”, co zaznaczamy pisząc Tk=k⁢Y (gdzie Y symbolizuje okres roczny, a k jest liczbą naturalną). W przypadku gdy odsetki nogi stałej są płacone co pół roku, terminy zapadalności tych kontraktów są ,,wielokrotnościami sześciomiesięcznych okresów” i wówczas Tk=k⁢Y, gdzie k=12, 1, 1⁢12,2, 2⁢12,…⁢⁢.

Przekształcając (4.17) otrzymujemy

gdzie oznaczyliśmy

Wzór (4.20) stosujemy rekurencyjnie przy założeniu, że mamy już wyznaczony (innymi metodami) czynnik dyskontowy D⁢F*⁢t,T1. Zauważmy również, że aby rekurencja była możliwa musimy założyć, że końce okresów odsetkowych kontraktu IRS użytego w (4.20) są zgodne z terminami zapadalności poprzednich kontraktów i wówczas mamy związek

Powyższe równanie ułatwia przeprowadzenie rekurencyjnych obliczeń wartości czynników dyskontowych.

Problem gładkości stóp forward

Jakość zbudowanej krzywej czynników dyskontowych (zerokuponowych stóp procentowych) jest oceniana na podstawie przebiegu implikowanych z tej krzywej stóp forward. Jednym z kryteriów takiej oceny jest gładkość (regularność) względem t stóp forward f⁢t,t+h o pewnym ustalonym tenorze h.

Na gładkość stóp forward wpływ mają

• wartości danych wejściowych użytych do wyznaczenia czynników dyskontowych – te przyczyny można uznać za obiektywne,

• sposoby uzupełniania brakujących danych wejściowych, np. interpolacje stóp par,

• metody interpolacji i ekstrapolacji czynników dyskontowych,

• założenia odnośnie postaci funkcjonalnej krzywej czynników dyskontowych i sposobu jej estymacji.

Wyznaczanie krzywej czynników dyskontowych o gładkich stopach forward

Stopy forward implikowane z krzywej swapowej otrzymanej przez bootstrapping często mają nieregularny przebieg, który nie ma ekonomicznego uzasadnienia. Poniżej opiszemy sposób wyznaczania krzywej swapowej która dokładnie wycenia kontrakty IRS i dla której stopy implikowane zmieniają się w sposób regularny.

Idea wyznaczania takiej krzywej jest następująca

• czynniki dyskontowe są wyznaczane przez stopy forward o ustalonym relatywnie krótkim tenorze (np. trzy miesiące), które dobieramy tak, by

• kontrakty IRS były prawidłowo wycenione przez tą krzywą,

• stopy forward zmieniały się w sposób regularny.

Oznaczenia:

• F0=L⁢3⁢M – znana (z rynku) stopa typu LIBOR dla okresu 3M

• L⁢6⁢M – znana (z rynku) stopa typu LIBOR dla okresu 6M

• F1=F⁢3⁢M,6⁢M – stopa forward implikowana ze znanych (z rynku) stóp L⁢3⁢M oraz L⁢6⁢M; alternatywnie zamiast korzystać ze stopy L⁢6⁢M można za F1 przyjąć stopę kontraktu FRA3x6

• Fj=f⁢j⁢3⁢M,j+1⁢3⁢M dla j=2,…,J – szukane 3M stopy forward dla kolejnych 3M okresów począwszy od 6M

• Δj=Δ⁢j⁢3⁢M,j+1⁢3⁢M – długość okresu depozytowego stopy Fj

• Rn – rynkowe kwotowania stóp wybranego zestawu n-letnich kontraktów IRS, to jest dla n∈n1,n2,⋯,nM

Stopy forward Fj (j=2,…,J) znajdujemy rozwiązując następujący problem optymalizacyjny

pod warunkiem, że dla każdego n∈n1,n2,⋯,nM zachodzi

gdzie czynniki dyskontowe są obliczone następującym wzorem rekurencyjnym

przy czym

W wyrażeniu (4.21) ωj>0 są wagami, które określają relatywny wpływ poszczególnych składników na wartość sumy. Zwykle przyjmuje się, że ωj=1 dla każdego j. Wartość sumy (4.21) mierzy stopień zmienności (wahanie) stóp forward. Im ta wartość jest mniejsza, tym stopy zmieniają się w bardziej regularny sposób. Dobierając wagi ωj w specyficzny sposób, możemy wymusić w której części krzywej stopy forward zachowują się regularnie a w której dopuszczamy większe wahania tych stóp.

Warunek (4.22) gwarantuje, że kontrakty IRS z wybranego zestawu są poprawnie wyceniane przez krzywą. W odróżnieniu do standardowego bootstrappingu, zestaw kontraktów IRS nie musi się składać ze wszystkich kolejnych kontraktów. Zagadnienie optymalizacyjne (4.21) – (4.22) rozwiązuje się stosując standardowe algorytmy numeryczne, na przykład metodę gradientów sprzężonych lub metodę Newtona (dostępne w narzędziu Solver arkusza kalkulacyjnego MS Excel).

Możliwe są jeszcze inne warianty powyższej metody. Na przykład,

• zamiast stóp forward, szukamy stóp zerokuponowych kapitalizowanych w sposób ciągły yj dla określonych tenorów, na przykład, postaci tj=j⁢3⁢M, takich, że jeżeli na ich podstawie wyliczyć czynniki dyskontowe i stopy forward, to spełnione są warunki (4.21) – (4.22).

• Wtedy w powyższym zadaniu zmieniamy tylko sposób wyznaczania czynników dyskontowych na następujący

  D⁢F⁢j⁢3⁢M=exp⁡-yj⋅tj⁢⁢dla⁢⁢j=2,3,…,J,

  a stopy forward występujące w (1) obliczamy wzorem

  Fj=1Δj⁢D⁢F⁢j⁢3⁢MDF(j+1)*3M)-1.

Korzystając ze związku (4.17) dla kontraktu IRS zapadalnego w TM-1, który zapisaliśmy w postaci

wyrażenie (4.18) możemy przedstawić w postaci

Ze wzoru (4.24) wynikają dwa warunki na poprawność struktury czynników dyskontowych. Mianowicie, warunek D⁢F*⁢t,TM>0 oznacza, że stopa RM kontraktu IRS musi spełniać nierówność

Z warunku na monotoniczność czynników dyskontowych D⁢F*⁢t,TM<D⁢F*⁢t,TM-1 otrzymujemy natomiast następujące ograniczenie

Korzystając z tych dwóch warunków, można pokazać (Zadanie 4.6), że jeśli D⁢F*⁢t,T→0 dla T→∞ oraz gdy ciąg stóp RM jest ograniczony, to