Kontrakt Forward to umowa kupna / sprzedaży pewnego aktywa (np. akcji, waluty, papieru wartościowego, towaru, etc.)

• w ustalonym umową terminie (data zapadalności kontraktu) T,

• po ustalonej umową cenie (cena wykonania) K.

Główny obrót kontraktami Forward odbywa się na rynku nieregulowanym (OTC – ang. Over The Counter) i w związku z tym te kontrakty nie są wystandaryzowane. Warunki kontraktu, w szczególności nominał kontraktu (ilość aktywa będącego przedmiotem umowy), data zapadalności kontraktu, oraz sposób jego rozliczenia, są dopasowywane do potrzeb stron kontraktu (uzgadniane między stronami kontraktu).

Kontrakt Forward jest zawierany z ceną wykonania K, która jest dobrana tak by w chwili zawarcia kontraktu Ttrad jego wartość wynosiła zero. Tak więc przy założeniu, że pomijamy wszelkie dodatkowe opłaty związane z transakcją (np. prowizje pośredników), strony kontraktu Forward nie ponoszą kosztów w chwili jego zawarcia.

Strona kontraktu Forward, która

• ,,kupi” aktywo w terminie zapadalności T, zajmuje długą pozycję w tym kontrakcie;

• ,,sprzeda” aktywo w terminie zapadalności T, zajmuje krótką pozycję w tym kontrakcie.

Realizacja kontraktu Forward w terminie zapadalności T następuje przez:

fizyczną dostawę aktywa – strona krótka dostarcza aktywo stronie długiej i otrzymuje od niej ustaloną umową kwotę pieniędzy

albo przez

rozliczenie gotówkowe – strona która traci na kontrakcie płaci drugiej stronie kwotę rozliczenia (taki kontrakt określa się często symbolem NDF od ang. NonDeliverable Forward).

Wynik z kontraktu Forward w terminie zapadalności T dla strony, która przyjęła długą pozycję wynosi

gdzie ST jest ceną aktywa w chwili T. |⁢ST-K⁢| jest kwotą rozliczenia kontraktu w przypadku kontraktu realizowanego przez rozliczenie gotówkowe. W przypadku kontraktu realizowanego przez dostawę, taki sam wynik może zrealizować strona długa kontraktu przez natychmiastową w chwili T sprzedaż po cenie ST dostarczonego aktywa.

Cena wykonania kontraktu Forward

Opiszemy cenę wykonania dla kilku charakterystycznych typów aktywów

• dla aktywa które daje posiadaczowi przychód pieniężny w z góry ustalonych wysokościach i chwilach czasu,

• dla aktywa które daje posiadaczowi ciągły przychód pieniężny wyrażony stopą kapitalizowaną w sposób ciągły,

• w szczególnym przypadku walutowych kontraktów Forward.

Cena wykonania jest wyliczana tak, by wartość kontraktu w chwili jego zawarcia wynosiła zero. Tak wyliczoną cenę wykonania kontraktu Forward nazywamy ceną forward aktywa na dzień T i wtedy oznaczamy ją symbolem F0, a gdy zachodzi potrzeba zaznaczenia zależności od T symbolem F0⁢T.

Dla uproszczenia notacji przyjmijmy że Ttrad=0. W poniższych wzorach DF(0,⋅) oznacza krzywą czynników dyskontowych dla waluty w której denominowane jest aktywo obowiązującą w dniu zawarcia kontraktu Ttrad dyskontujących do daty dostawy (zwykle do daty spot) dla transakcji kupna/sprzedaży tego aktywa zawieranej chwili Ttrad.

▶ Aktywo daje posiadaczowi przychód pieniężny w z góry ustalonych wysokościach i chwilach czasu.

Niech C⁢ti oznacza przepływ pieniężny następujący w chwili ti<T, gdzie i=1,…,n, generowany przez dane aktywo. Na przykład, gdy rozpatrywanym aktywem jest

• obligacja o stałym oprocentowaniu, C⁢ti są kuponami które obligacja płaci jej posiadaczowi;

• akcja, C⁢ti są dywidendami płaconymi przez tą akcję.

Wówczas, cena wykonania kontraktu Forward wynosi

gdzie S0 jest ceną aktywa w chwili zawarcia kontraktu.

Uzasadnienie wzoru (5.2). Aby żadna ze stron kontraktu nie mogła przeprowadzić transakcji arbitrażowej używając, między innymi, kontraktu Forward z ceną wykonania K, cena bieżąca aktywa musi być równa sumie wartości bieżących przepływów generowanych przez to aktywo w czasie trwania kontraktu i bieżącej wartości ceny wykonania K. Zatem

skąd po przekształceniu otrzymujemy wzór (5.2). Przypuśćmy, że równość (5.2) nie zachodzi. Na przykład, rozpatrzmy przypadek gdy K jest większe niż prawa strona (5.2). Pokażemy, że wówczas można przeprowadzić następującą transakcję arbitrażową:

• zajmujemy krótką pozycję w kontrakcie Forward z ceną K,

• w chwili zawarcia kontraktu Forward, pożyczamy na okres czasu 0,T sumę równą aktualnej wartości aktywa S0 po stopie L⁢0,T,

• za S0 kupujemy na rynku natychmiastowym jednostkę aktywa,

• zawieramy serię transakcji na przyszłą stopę procentową (FRA) dla okresów ti,T (ze stopami F⁢0,ti,T), które zagwarantują ulokowanie dochodów C⁢ti na okres ti,T po tych stopach.

W chwili wygaśnięcia T kontraktu Forward nasz bilans wygląda następująco:

• płacimy sumę S0⁢1+L⁢0,T⁢Δ⁢0,T=D⁢F⁢0,T-1⁢S0 jako zwrot zaciągniętej pożyczki,

• otrzymujemy kwoty C⁢ti⁢1+F⁢0,ti,T⁢Δ⁢ti,T=D⁢F⁢0,T-1⁢D⁢F⁢0,ti⁢C⁢ti, jako wypłaty ze zrobionych lokat,

• otrzymujemy K za dostarczenie aktywa drugiej stronie kontraktu Forward,

czyli netto otrzymamy

zgodnie z przyjętym założeniem. Mamy więc zysk bez ryzyka. Wówczas, działania arbitrażystów szybko doprowadzają do obniżenia ceny kontraktu Forward do poziomu, który nie daje możliwości bezryzykownego zysku.

W drugim przypadku, to jest, gdy cena kontraktu Forward jest niższa niż prawa strona (5.2), przeprowadzamy transakcję arbitrażową, która jest ,,odwróceniem” strategii wykonanej w poprzednim przypadku:

• zajmujemy długą pozycję w kontrakcie Forward z ceną K,

• dokonujemy ,,krótkiej” sprzedaży jednostki aktywa,

• po sprzedaży aktywa, sumę S0 otrzymaną ze sprzedaży składamy na depozycie na okres czasu 0,T ze stopą L⁢0,T,

• zawieramy serię transakcji na przyszłą stopę procentową (FRA) dla okresów ti,T (ze stopami F⁢0,ti,T), które zagwarantują nam pożyczanie na okres ti,T po tych stopach kwot C⁢ti, które musimy wypłacić właścicielowi aktywa.

Łatwo sprawdzić że, przy naszym założeniu, ta strategia przynosi zysk. Znów mamy arbitraż.

▶ Aktywo daje posiadaczowi ciągły przychód pieniężny wyrażony stopą kapitalizowaną w sposób ciągły.

Podstawowym przykładem takiego aktywa jest akcja (indeks giełdowy), która płaci ciągłą dywidendę, bądź gotówka w walucie obcej.

Niech q oznacza stopę dochodu (dywidendy) płaconego przez aktywo (akcję). Załóżmy, że otrzymywany dochód jest natychmiast w sposób ciągły reinwestowany w to samo aktywo. Wówczas ilość posiadanego aktywa w chwili t>0 wynosi N0⁢e⁢q⋅Δ⁢0,t, gdzie N0 jest ilością aktywa w t=0, a Δ⁢0,t długością okresu czasu od chwili początkowej do t obliczoną zgodnie z konwencją stopy q. Pokażemy, że cena kontraktu Forward, który zapada w chwili T, na aktywo dające ciągły dochód ze stopą q wynosi

Aby uzasadnić (5.3), znów rozpatrujemy dwa przypadki – kiedy K jest większe lub mniejsze niż prawa strona (5.3) – pokazując, że w każdym z nich możemy skonstruować odpowiednie strategie arbitrażowe.

Gdy K jest większe niż prawa strona (5.3), przeprowadzamy w chwili początkowej następujące transakcje:

• zajmujemy krótką pozycję w kontrakcie Forward z ceną K,

• w chwili zawarcia kontraktu Forward, pożyczamy na okres czasu 0,T sumę równą S0⁢e-q⋅Δ⁢0,T po stopie L⁢0,T,

• kupujemy na rynku natychmiastowym N0=e-q⋅Δ⁢0,T ,,jednostek” aktywa za kwotę S0⁢e-q⋅Δ⁢0,T,

• dochody generowane przez aktywo w sposób ciągły reinwestujemy w aktywo.

W rezultacie w chwili wygaśnięcia kontraktu Forward bilans naszych transakcji wygląda następująco

• płacimy sumę S0⁢e-q⋅Δ⁢0,T⁢1+L⁢0,T⁢Δ⁢0,T=D⁢F⁢0,T-1⁢e-q⋅Δ⁢0,T⁢S0 jako zwrot zaciągniętej pożyczki,

• posiadamy dokładnie jedną jednostkę aktywa (bo eq⋅Δ⁢0,T⁢N0=1), za którą

• otrzymujemy K po dostarczeniu jej drugiej stronie kontraktu Forward.

Tak więc mamy

czyli uzyskaliśmy zysk bez ryzyka.

W drugim przypadku, gdy K jest mniejsze niż prawa strona (5.3), przeprowadzamy transakcje w ,,przeciwną” stronę w stosunku do transakcji przeprowadzonych w poprzedniej sytuacji (⟶ Zadanie na Ćwiczenia).

▶ Cena wykonania walutowych kontraktów Forward (aktywem jest waluta).

Walutowy kontrakt Forward = FX forward = Outright Forward

Walutę, oznaczmy ją przez CUR1, możemy potraktować jak aktywo, które płaci dochód w postaci odsetek, które narastają na rachunku oprocentowanym stopą dla tej waluty. Jeśli bowiem posiadamy gotówkę w tej walucie, to możemy ją zdeponować na rachunku walutowym i w ten sposób otrzymywać dochód z tytułu posiadania waluty. Oprocentowanie tego rachunku możemy wyrazić przez stopę kapitalizowaną w sposób ciągły i wtedy walutę możemy uznać za aktywo, które płaci dochód w sposób ciągły ze stopą q. Ceną natychmiastową S0 waluty CUR1 jest jej kurs wymiany na drugą walutę CUR2 (kwotowany jako ilość CUR2 za jednostkę CUR1). Wówczas cenę walutowego kontraktu Forward, w którym wymieniamy walutę CUR1 na drugą walutę CUR2 (na przykład na PLN), otrzymamy ze wzoru (5.3), w którym

• S0 jest kursem wymiany natychmiastowej (spot) CUR1 na CUR2,

• stopa dochodu q=R1⁢0,T jest stopą kapitalizowaną w sposób ciągły waluty CUR1,

• a czynnik dyskontowy odpowiada krzywej dla waluty CUR2.

Czynnik dyskontowy D⁢F⁢0,T dla waluty CUR2 możemy zapisać w postaci

gdzie R2⁢0,T jest stopą kapitalizowaną w sposób ciągły dla okresu 0,T (dla waluty CUR2). Wówczas, wzór na cenę walutowego kontraktu Forward przyjmuje następującą formę

Zwykle, wzór na cenę walutowego kontraktu Forward podaje się w postaci w której występują stopy proste L1⁢0,T i L2⁢0,T (bo takie stopy są standardem kwotowania na rynku terminowych transakcji walutowych):

Wzory (5.4) i (5.5) określają tak zwany, kurs terminowy wymiany walut CUR1/CUR2, który zwykle oznaczamy symbolem F0. Upraszczając notację wzór na kurs terminowy napiszemy w następujący sposób

Związek (5.6) jest określany również jako tzw. parytet stóp procentowych. Z (5.6) wynika, że

co możemy zinterpretować w następujący sposób: taki sam wynik w T uzyskamy

• (a) wymieniając jednostkę waluty CUR1 po kursie natychmiastowym na S0 waluty CUR2 i lokując tę kwotę po stopie L2 na okres 0,T (lewa strona (5.7)),

albo

• (b) lokując jednostkę waluty CUR1 kwotę po stopie L1 na okres 0,T i w T wymieniając kwotę 1+L1⁢Δ1 waluty CUR1 po kursie terminowym F0 na walutę CUR2 (prawa strona (5.7)).

Punkty swapowe to różnica między kursem terminowym a kursem spotowym:

Gdy Δ1=Δ2=Δ, z (5.8) wynika, że

co po przepisaniu do postaci

oznacza iż zannualizowana stopa zwrotu na transakcji kupna waluty CUR1 w t=0 po S0 i jej sprzedaży po F0 w T jest równa różnicy w oprocentowaniu walut.

Aspekty praktyczne dotyczące transakcji FX forward

• Kursy FX forward są kwotowane przez animatorów rynku (ang. market makers) dla standardowych okresów depozytowych, zwykle do 1Y.

• Kursy FX forward są kwotowane w postaci punktów swapowych, wyrażonych w tak zwanych pipsach, czyli w 1/10000 waluty niebazowej. Aby uzyskać faktyczny kurs FX forward dla terminów ,,powyżej” spot należy do bieżącego kursu spot dodać (z właściwym znakiem) odpowiednio przeskalowane punkty swapowe, przy czym należy pamiętać, że punkty swapowe mogą być zarówno dodatnie jak i ujemne.

• Rynek kwotuje również punkty swapowe dla okresów ON i TN. Wówczas obliczając kursy wymiany dla tych terminów należy punkty swapowe odejmować (z właściwym znakiem) od kursu spot.

• Punkty swapowe są kwotowane w postaci pary s⁢pbid/s⁢pask gdzie s⁢pbid (s⁢pask) są punktami swapowymi dla transakcji FX forward w której kupujemy (sprzedajemy) walutę bazową.

• Jeżeli punkty swapowe są dodatnie, to s⁢pbid<s⁢pask. Zdarza się, że ujemne punkty swapowe są kwotowane bez znaku i wtedy w kwotowanej parze s⁢pbid/s⁢pask będziemy mieli nierówność przeciwną s⁢pbid>s⁢pask. Wówczas, po tej relacji rozpoznajemy czy punkty swapowe są dodatnie czy ujemne.

Replikacja kontraktu FX forward

Pokażemy jak można zreplikować kontrakt FX forward przy pomocy

• pożyczenia jednej waluty,

• natychmiastowej wymiany tej waluty na drugą walutę,

• lokaty drugiej waluty.

Ta replikacja pokazuje powiązania rynku transakcji wymian walutowych z rynkiem pieniężnym.

Rozpatrzmy kontrakt FX forward, w którym

• w terminie zapadalności T

• kupimy N1 waluty CUR1, oraz

• sprzedamy N2 waluty CUR2.

Oznacza to, że dokonamy wymiany waluty CUR2 na walutę CUR1 po kursie terminowym F0 takim, że N2=F0⁢N1.

Efekt wymiany walut w T uzyskamy również w następujący sposób:

• pożyczamy na rynku pieniężnym kwotę N20 taką by N2=N20⁢1+L2⁢Δ2, gdzie L2 jest stopą dla udzielonych pożyczek w walucie CUR2 na okres czasu 0,T, a Δ2 długością tego okresu;

• kwotę N20 w walucie CUR2 wymieniamy na N10 waluty CUR1 po kursie spot S0, czyli N10=N20/S0;

• kwotę N10 w walucie CUR1 lokujemy na rynku pieniężnym ze stopą L1 dla przyjętych depozytów w walucie CUR1 na okres czasu 0,T.

Rezultatem tych transakcji w chwili T jest

• zwrot zaciągniętej pożyczki w walucie CUR2 w kwocie N2 (płacimy N2 w walucie CUR2),

• otrzymana wypłata ze złożonego depozytu w walucie CUR1 w kwocie N10⁢1+L1⁢Δ1, gdzie Δ1 jest długością tego okresu 0,T (otrzymujemy N10⁢1+L1⁢Δ1 w walucie CUR1),

czyli dokonujemy wymiany N2 w waluty CUR2 na N10⁢1+L1⁢Δ1 w waluty CUR1. Jeśli zatem ta strategia ma replikować kontrakt FX forward, musi zachodzić równość

Stąd mamy

czyli znów otrzymaliśmy parytet stóp procentowych. Jeśli ten parytet jest spełniony, replikacja transakcji FX forward zestawem złożonym z dwóch transakcji depozytowych i transakcji wymiany natychmiastowej jest możliwa.

Transakcja FX forward jako FX spot plus FX swap

W wyniku połączenia przepływów pieniężnych transakcji depozytowych, które zostały użyte do replikacji transakcji FX forward, uzyskujemy transakcję FX swap (dokładniej, szczególny przypadek transakcji FX swap). Ta transakcja FX swap, w notacji poprzedniego ustępu, polega na

• wymianie początkowej (w chwili spot): sprzedaży N10 waluty CUR1 i kupnie N20 waluty CUR2, po kursie spot S0, tzn. tak, aby S0⁢N10=N20,

oraz

• wymianie końcowej (w terminie wygaśnięcia): kupnie N1 waluty CUR1 i sprzedaży N2 waluty CUR2, po kursie po kursie forward F0, tzn. tak, aby F0⁢N1=N2,

przy czym N1=N10⁢1+L1⁢Δ1 oraz N2=N20⁢1+L2⁢Δ2.

Jak widać, wymiana początkowa w tej transakcji FX swap znosi się z transakcją FX spot wchodzącą w skład strategii replikującej FX forward. Wówczas z FX swap pozostaje pozostaje tylko wymiana końcowa, która jest oryginalną transakcją FX forward.

Uwagi

• Reprezentacja FX forward jako suma FX spot i (tego szczególnego) FX swap pozwala na rozdzielenie ryzyk: FX spot ma tylko ryzyko walutowe (ryzyko kursu wymiany walut), a ten FX swap (w chwili początkowej) – tylko ryzyko stopy procentowej.

• W praktyce rynkowej zawiera się kontrakty FX swap (tzw. round FX swap) w których kwota N1 waluty obcej CUR1 jest taka sama w wymianie początkowej i wymianie końcowej, a kwoty waluty lokalnej CUR2 w chwili początkowej i końcowej różnią się ,,punktami swapowymi” (od nominału N1)

  N2-N20=F0⁢N1-S0⁢N1=F0-S0⁢N1.

Wycena kontraktu Forward

Rozpatrzmy kontrakt Forward, który został zawarty z ceną wykonania K. W chwili zawarcia kontraktu K było równe cenie forward aktywa na które wystawiony został kontrakt. Niech F0 oznacza bieżącą (to jest w chwili wyceny) cenę forward aktywa. Wówczas wycena długiej pozycji w kontrakcie Forward (jego wartość) dana jest wzorem

gdzie T jest terminem zapadalności kontraktu.

Uzasadnienie wzoru (5.9). Wartością bieżącą kontraktu Forward jest wartość bieżąca przepływów pieniężnych w T które powstałyby w wyniku zamknięcia pozycji w tym kontrakcie. W przypadku długiej pozycji należałoby zająć pozycję krótką w kontrakcie Forward na to samo aktywo i z tym samym terminem wykonania T co zamykany kontrakt. Cena wykonania tego zamykającego kontraktu Forward wynosi F0 i jest określona jednym z wzorów (5.2), (5.3), (5.4)–(5.5) odpowiednio. W rezultacie, w chwili T zapłacilibyśmy K za kupione aktywo i jednocześnie otrzymalibyśmy F0 w wyniku sprzedaży tego aktywa. Tak więc, netto nasz wynik w T na tych transakcjach wyniósłby F0-K, a jego wartość bieżąca wynosi F0-K⁢D⁢F⁢0,T. Ponieważ wartość kontraktu Forward (w chwili zawarcia) zamykającego wyceniany kontrakt wynosi zero, to wartość wycenianego kontraktu Forward jest równa F0-K⁢D⁢F⁢0,T, czyli mamy (5.9).

Po wstawieniu do (5.9) wyrażeń na cenę forward w poszczególnych przypadkach otrzymujemy następujące formuły na wycenę kontraktów:

▶ Forward na aktywo dające przychód pieniężny w z góry ustalonych chwilach czasu

▶ Forward na aktywo dające ciągły przychód pieniężny wyrażony stopą kapitalizowaną w sposób ciągły

▶ FX Forward

przy czym wzory te podają wartość kontraktów na jednostkę aktywa (na nominał jednostkowy).

Interpretacja wzoru (5.12) dla transakcji FX forward o nominale N1 (waluty CUR1):

W wyniku realizacji tego kontraktu dojdzie do wymiany kwoty (nominału) N1 w walucie CUR1 na N2=N1⁢K waluty CUR2. Zatem, wycena kontraktu FX forward powinna sprowadzić się do wyceny strumienia przepływów +N1 i -N2 następujących w chwili T. Tak jest w istocie, bowiem

Jak widać, ostatnia część wzoru (5.13) jest różnicą dwóch składowych: pierwsza jest przeliczoną na walutę CUR2 po kursie spotowym S0 wartością bieżącą otrzymywanego w T nominału N1, a druga (odejmowana) jest wartością bieżącą nominału N2.

Kontrakty Futures są kontraktami terminowymi kupna/sprzedaży pewnego aktywa (towaru) przy czym w odróżnieniu od kontraktów Forward

• funkcjonują na rynku uregulowanym – obrót tymi kontraktami odbywa się przez giełdy

• są produktami wystandaryzowanymi, w tym sensie, że przedmiotem kontraktu są dobrze zdefiniowane aktywa (towary) – ustalone są:

  • ilość aktywa przypadająca na jeden kontrakt,

  • ,,jakość” aktywa,

  • warunki dostawy, termin dostawy,

  • termin wygaśnięcia kontraktu,

• są rozliczane w trybie dziennym, przez rachunek zabezpieczający,

• na ogół nie dochodzi do fizycznej dostawy aktywa w terminie wykonania kontraktu, a kontrakt jest zamykany przez zajęcie pozycji przeciwnej.

Te cechy kontraktów Futures powodują, że w porównaniu do kontraktów Forward, kontrakty Futures

• mają relatywnie małe ryzyko kredytowe i rozliczeniowe,

• dla niezbyt odległych terminów zapadalności są instrumentami o dużej płynności.

Główne rodzaje kontraktów Futures:

• na papiery skarbowe – T-bond Futures,

• na depozyty (na stopę procentową) – Eurodollar Futures,

• na indeksy giełdowe – Index Futures,

• na waluty – Currency Futures,

• na towary / surowce – Commodity Futures.

Rozliczanie kontraktu Futures dokonywane jest codziennie przez rachunek zabezpieczający (ang. margin account), na którym strona kontraktu Futures jest zobowiązana utrzymywać określony przez giełdę minimalny poziom zdeponowanej gotówki. Na ten rachunek zabezpieczający wpływają zyski z tytułu dziennego rozliczenia kontraktu Futures, lub z tego rachunku są pobierane kwoty odpowiadające stratom poniesionym w wyniku rozliczenia kontraktu. Kwota dziennego rozliczenia długiej pozycji w kontrakcie Futures, które następuje na zamknięcie k-tego dnia, wynosi (na jednostkę aktywa)

gdzie Fj jest ceną wykonania kontraktu Futures na zamknięciu dnia tj. W dniu zawarcia kontraktu rozliczenie kontraktu jest obliczane na podstawie ceny kontraktu Futures z jaką został on zawarty oraz ceny tego kontraktu na zamknięciu dnia, chyba że kontrakt został zamknięty jeszcze tego samego dnia (wtedy mówimy o tzw. intraday trading) i wtedy rozliczenie obywa się po cenie faktycznego zamknięcia kontraktu. Wzór (5.14) jest również wynikiem realizowanym na zamknięciu w dniu tk kontraktu otwartego w dniu tk-1. W rezultacie takiego rozliczania kontraktu Futures można przyjąć że na zamknięcie dnia tk następuje zamknięcie pozycji otwartej na końcu poprzedniego dnia z ceną Fk-1 i jednoczesne otwarcie kontraktu Futures z ceną Fk. Oczywiście rozliczenie za ostatni dzień trzymania otwartej pozycji w kontrakcie Futures odbywa się po cenie faktycznego zamknięcia kontraktu w tym dniu.

Teoretyczna cena kontraktu Futures jest równa cenie wykonania kontraktu Forward na to samo aktywo z tym samym terminem wykonania. W przypadkach gdy termin dostawy kontraktu Futures i dostarczane aktywo są jednoznacznie określone, można próbować porównywać rynkowe ceny Futures z ich cenami teoretycznymi, czyli z cenami forward aktywa na które te kontrakty opiewają. W przypadku kontraktów Futures, w których strona krótka ma możliwości wyboru terminu dostawy (w pewnym zakresie) oraz wyboru dostarczanego aktywa z grupy aktywów dopuszczonych do dostarczania, takie porównanie jest często utrudnione. Przykładem takiego kontraktu jest kontrakt Futures na papiery skarbowe (T-bond Futures).

Pokażemy, że jeżeli

• stopa procentowa według której oprocentowane są fundusze na rachunku zabezpieczającym jest stała w trakcie trwania kontraktu Futures, a wartość tej stopy jest zgodna z oprocentowaniem lokat/depozytów o czasie trwania T,

• termin dostawy (wygaśnięcia kontraktu) jest jednoznacznie określony,

• dostarczane aktywo jest jednoznacznie określone w chwili zawarcia kontraktu,

to teoretyczna cena kontraktu Futures jest równa cenie kontraktu Forward.

Niech

• T oznacza termin zapadalności kontraktów Futures i Forward,

• r oznacza stałą stopę procentową kapitalizowaną w sposób ciągły, która będzie stosowana w trakcie trwania kontraktu do lokowania/finasowania dziennych rozliczeń kontraktu Futures na rachunku zabezpieczającym – zakładamy, że r=R⁢0,T, przy czym D⁢F⁢0,T=e-R⁢0,T⋅Δ⁢0,T,

• K oznacza cenę kontraktu Forward zawartego na zamknięcie dnia t=0,

• F0 oznacza cenę kontraktu Futures zawartego na zamknięcie dnia t=0.

Czas trwania kontraktów dzielimy na ,,jednodniowe” okresy tk-1,tk, gdzie k=1,2,…,n, przy czym tn=T a t0 jest dniem zawarcia kontraktu.

Rozważmy następującą strategię:

• sprzedajemy kontrakt Forward na jednostkę aktywa,

• kupujemy kontrakt Futures na N0=D⁢F⁢0,T jednostek aktywa, oraz w każdym dniu tk, gdzie k=0,1⁢…,n-1, dokupujemy na jego zamknięciu taką ilość kontraktów Futures by otwarta pozycja na rozpoczęciu kolejnego dnia tk+1 w tym kontrakcie Futures wynosiła

  N0⁢er⋅Δ⁢0,tk+1,

  a wynik (rozliczenie) otwartej pozycji na koniec dnia tk lokujemy/finansujemy ze stopą r na pozostały do wygaśnięcia kontraktu okres czasu.

Zawiązanie tej strategii w t=0 nie wiąże się z żadnymi kosztami początkowymi. Natomiast efekt tej strategii w T jest następujący

• kontrakt Futures opiewa na dokładnie jedno aktywo, bowiem

  N0⁢er⋅Δ⁢0,T=D⁢F⁢0,T⁢eR⁢0,T⋅Δ⁢0,T=1,

• w wyniku realizacji kontraktu Futures kupujemy jedno aktywo po cenie FT (=ST),

• na rachunku zgromadziliśmy (łącznie z odsetkami) kwotę

  ⁢⁢∑k=1nN0⁢er⋅Δ⁢0,tk⁢Fk-Fk-1⁢er⋅Δ⁢tk,T⁢=⁢∑k=1nN0⁢er⋅Δ⁢0,T⁢Fk-Fk-1=∑k=1nFk-Fk-1=FT-F0,

• w wyniku realizacji kontraktu Forward dostarczamy jedno aktywo za które otrzymujemy K.

Zatem nasz bilans w T jest następujący:

Ponieważ strategia prowadząca do tego wyniku nie wiązała się żadnymi kosztami, to by nie było arbitrażu, ten wynik musi być zerowy, czyli musi zachodzić

W rzeczywistości, inwestorzy mogą lokować/finansować wynik dziennego rozliczenia kontraktu Futures po bieżących stopach rynkowych. To, między innymi, powoduje, że w określonych sytuacjach cena kontraktu Futures może odbiegać od ceny odpowiadającego mu kontraktu Forward. Na przykład, gdy cena aktywa, na które jest wystawiony kontrakt Futures, jest mocno dodatnio skorelowana ze stopami procentowymi, inwestor zajmujący długą pozycję może korzystniej lokować bieżące zyski z kontraktu lub odpowiednio taniej finansować straty poniesione na kontrakcie. Tak jest bowiem wzrostowi ceny aktywa, a więc zyskom inwestora, zwykle towarzyszy wzrost stopy procentowej po której może on ulokować swój dochód. Analogicznie, spadek ceny aktywa – strata inwestora – zwykle odbywa się w warunkach spadku stopy procentowej, co oznacza, że inwestor może taniej finansować swoje straty. Tak więc, w takim przypadku, kontrakt Futures jest korzystniejszy dla inwestora niż kontrakt Forward, i w związku z tym cena kontraktu Futures powinna być wyższa niż cena kontraktu Forward. Przeprowadzając podobne rozumowanie, można przypuszczać, że w przypadku gdy cena aktywa jest mocno ujemnie skorelowana ze stopami procentowymi, cena kontraktu Futures powinna być niższa niż cena kontraktu Forward.

3M Eurodollar Futures

Terminologia: Eurodollar – dolar amerykański deponowany w bankach poza USA. Stopa procentowa depozytów eurodolarowych jest utożsamiana ze stopą LIBOR.

• Giełda: CME (Chicago Mercantile Exchange)

• Nominał: 1 milion USD

• Termin zapadalności: trzecia środa miesiąca dostawy

• Miesiące dostawy: miesiące cyklu marzec, czerwiec, wrzesień, grudzień na około 10 lat naprzód

• Instrument podstawowy: stopa procentowa 3M USD LIBOR depozytu, który rozpocznie się w dniu zapadalności kontraktu Futures

• Kwotowanie: cena kontraktu Q oznacza iż stopa dla odpowiedniego depozytu wynosi 100-Q w konwencji ACT/360

• Wartość kontraktu: 1 000 000⁢1-90360⁢100-Q100 - mamy tu ,,drobną” niespójność, bowiem, jak widać, przyjęto, że 3M okres ma 90 dni mimo iż stopa LIBOR jest podawana w konwencji ACT/360)

• Rozliczanie kontraktu: 25 USD za 1 punkt bazowy (0.01 ceny kontraktu); 25 USD = (1 000 000 USD × 1 bp × 90/360)

Są też analogiczne kontrakty Futures na depozyty 3M w innych głównych walutach:

• Euribor Futures – na 3M EUR LIBOR – giełdy: LIFFE (London International Financial Futures Exchange), MATIF (Marche a Terme International de France),

• Euroswiss Futures – na 3M CHF LIBOR – giełda: LIFFE

• Euroyen Futures – na 3M JPY LIBOR – giełdy: CME, SGX (Singapore Exchange Ltd.).