Zagadnienia

6.1 Kontrakty opcyjne
6.2 Opcje waniliowe
6.3 Opcje egzotyczne
6.4 Własności opcji waniliowych
6.5 Parytet opcji kupna/sprzedaży
6.6 Ograniczenia na wartość opcji
6.7 Wczesne wykonanie w opcjach amerykańskich
6.8 Zależność wartości opcji europejskiej od ceny wykonania
6.9 Zależność wartości opcji europejskiej od ceny instrumentu podstawowego
6.10 Wartość czasowa opcji
Zagadnienia i zadania na Ćwiczenia

6. Kontrakty opcyjne

6.1. Kontrakty opcyjne

Kontrakt opcyjny (krótko: opcja) to umowa na podstawie której

jedna strona umowy (posiadacz opcji) nabywa prawo do zrealizowania opisanej umową transakcji lub do otrzymania określonej wypłaty, zaś
druga strona (wystawca opcji, sprzedawca opcji) zobowiązuje się być stroną tej transakcji lub, odpowiednio, wypłacić posiadaczowi określoną kwotę.

Posiadacz kontraktu (który zajmuje tzw. długą pozycję) będzie realizował kontrakt tylko wtedy, gdy jest to dla niego korzystne lub otrzyma od wystawcy odpowiednią wypłatę jeśli tylko wypłata ta jest dodatnią wartością. Z tego względu strony kontraktu opcyjnego nie są ,,symetryczne”, w tym sensie, że posiadacz opcji w chwili realizacji opcji z pewnością nie poniesie straty, a wystawca opcji z pewnością nie będzie miał zysku. Z tego powodu wystawca opcji otrzymuje od nabywcy opcji tzw. premię, czyli opłatę, która ma zrekompensować wystawcy jego potencjalnie gorszą sytuację.

Dwa podstawowe problemy związane z kontraktami opcyjnymi są następujące:

jaka jest ,,sprawiedliwa” wartość opcji, w szczególności ile powinna wynosić premia opcji,
jak wystawca może zabezpieczać swoją pozycję wynikającą ze sprzedanej opcji.

Umowa opcji określa

termin wygaśnięcia opcji T,
rodzaj transakcji, która będzie wykonywana w przypadku realizacji opcji, lub formułę, według której oblicza się wypłatę opcji; w szczególności wyspecyfikowany jest tzw. instrument podstawowy (ang. underlying) od wartości którego zależy wartość transakcji lub wypłaty opcji,
termin lub terminy w których opcja może być realizowana.

Ze względu na instrument podstawowy opcji wyróżniamy w szczególności

opcje na akcje,
opcje na indeks (giełdowy),
opcje walutowe (FX options, currency options) – instrumentem podstawowym jest kurs walutowy,
opcje na obligacje (bond options),
opcje na kontrakty Futures (Futures options),
opcje na stopy procentowe, a wśród nich
- opcje na poziom stopy procentowej – cap (seria caplet-ów, tj. pojedynczych opcji na górny poziom stopy procentowej) oraz floor (seria floorlet-ów, tj. pojedynczych opcji na dolny poziom stopy procentowej),
- opcje na kontrakt IRS – swapcje (swaptions).

Ze względu na terminy realizacji opcji wyróżniamy

opcje europejskie – realizacja opcji może nastąpić tylko w terminie wygaśnięcia opcji,
opcje amerykańskie – realizacja opcji może nastąpić w dowolnym momencie przed terminem wygaśnięcia lub w terminie wygaśnięcia opcji,
opcje bermudzkie – realizacja opcji może nastąpić w kilku ustalonych chwilach czasu w trakcie trwania opcji.

Niech

Ve oznacza premię (wartość) opcji europejskiej,
Va oznacza premię (wartość) opcji amerykańskiej,
Vb oznacza premię (wartość) opcji bermudzkiej.

Wówczas, dla opcji o tym samym terminie wygaśnięcia i o takim samym profilu wypłaty zachodzi

0≤Ve≤Vb≤Va.

6.2. Opcje waniliowe

Opcja waniliowa (ang. plain vanilla option) jest kontraktem opcyjnym, w którym przedmiotem umowy opcji jest transakcja kupna/sprzedaży pewnego aktywa (instrumentu podstawowego) po ustalonej umową cenie wykonania K:

opcja kupna (ang. call) – posiadacz opcji ma prawo do kupna aktywa po cenie K,
opcja sprzedaży (ang. put) – posiadacz opcji ma prawo do sprzedaży aktywa po cenie K.

Wówczas, wartości tych opcji w chwili ich realizacji t, od strony posiadacza opcji, wynoszą odpowiednio

dla opcji kupna: max⁡St-K,0,
dla opcji sprzedaży: max⁡K-St,0,

gdzie St jest ceną aktywa w chwili realizacji opcji.

6.3. Opcje egzotyczne

Modyfikacje opcji waniliowych doprowadziły do skonstruowania szeregu kontraktów opcyjnych o specyficznych właściwościach – opcji egzotycznych (ang. exotic options). Najważniejsze z nich to

opcje azjatyckie – opcje w których zamiast ceny St aktywa w chwili realizacji t opcji do wyznaczenia kwoty wypłaty (rozliczenia) brana jest S¯t – pewna średnia wartość cen aktywa, na przykład:
- dyskretna średnia arytmetyczna: S¯t=1n⁢∑i=1nSti, gdzie t1<t2,…,<tn≤t są ustalonymi chwilami czasu w których obserwowana jest wartość instrumentu podstawowego (przypadek najczęściej występujący w praktyce),
- ciągła średnia arytmetyczna: S¯t=1t-t1⁢∫t1tSτ⁢⁢d⁢τ – graniczny przypadek dyskretnej średniej arytmetycznej,
- dyskretna średnia geometryczna: S¯t=∏i=1nSti1/n (ma bardziej znaczenie teoretyczne niż praktyczne),
- ciągła średnia geometryczna: S¯t=exp⁡1t-t1⁢∫t1tln⁡Sτ⁢d⁢τ.
opcje lookback – opcje w których zamiast ceny St aktywa w chwili realizacji t opcji do wyznaczenia kwoty rozliczenia brana jest wartość max⁡St:t∈t1,t lub min⁡St:t∈t1,t, przy czym podobnie jak dla opcji azjatyckich możemy mieć warianty ciągłe i dyskretne.
opcje barierowe – opcje waniliowe z dodatkowym warunkiem uzależniającym wypłatę od tego czy w ustalonym przedziale czasu (zwykle w trakcie całego czasu trwania opcji) cena instrumentu podstawowego ,,dotknie” ustalonej w kontrakcie bariery H; opcje te występują w dwóch (komplementarnych) rodzajach:
- opcje deaktywujące (ang. knock-out option) – dotknięcie bariery wygasza opcję waniliową,
- opcje aktywujące (ang. knock-in option) – dotknięcie bariery powoduje uaktywnienie opcji waniliowej,
opcje binarne typu Cash-or-Nothing – opcje, których wypłata wynosi
- dla opcji kupna: H⁢St-K,
- dla opcji sprzedaży: H⁢K-St,
gdzie H jest funkcją Heaviside'a.
opcje binarne typu Asset-or-Nothing – opcje, których wypłata wynosi
- dla opcji kupna: St⁢H⁢St-K,
- dla opcji sprzedaży: St⁢H⁢K-St.
jest jeszcze wiele innych rodzajów opcji egzotycznych – patrz np. podręcznik Hull'a.

6.4. Własności opcji waniliowych

Wprowadźmy następującą notację:

Ct – wartość opcji kupna (call) w chwili t,
Pt – wartość opcji sprzedaży (put) w chwili t,

przy czym t=0 jest momentem zawarcia opcji.

Typ wykonania opcji będziemy zaznaczać odpowiednim górnym indeksem: e – dla opcji europejskiej, a – dla opcji amerykańskiej, b – dla opcji bermudzkiej.

Zauważmy, że wartości opcji waniliowych spełniają następujące oczywiste ograniczenia:

⁢0⁢≤C0e≤C0b≤C0a≤S0⁢⁢0⁢≤P0e≤P0b≤P0a≤K,

przy czym dla europejskiej opcji sprzedaży mamy lepsze oszacowanie

0≤P0e≤D⁢F⁢0,T⁢K,

gdzie D⁢F⁢0,T jest czynnikiem dyskontowym dla waluty w której wyrażona jest cena aktywa (i cena wykonania K), który odpowiada wolnej od ryzyka stopy procentowej (tj. odzwierciedlającej czysty koszt pieniądza w czasie).

6.5. Parytet opcji kupna/sprzedaży

▶ Parytet dla opcji europejskich których instrument podstawowy nie przynosi dochodu

Twierdzenie 6.1

Wartości europejskich opcji kupna/sprzedaży, w przypadku instrumentu podstawowego, który w trakcie trwania opcji nie przynosi dochodu, spełniają następujący związek, zwany parytetem opcji kupna/sprzedaży,

C0e-P0e=S0-D⁢F⁢0,T⁢K.

(6.1)

Rozpatrzmy następującą strategię (portfel):

kupno opcji kupna z ceną wykonania K,
sprzedaż opcji sprzedaży z ceną wykonania K,
lokata kwoty D⁢F⁢0,T⁢K na czas trwania opcji po stopie wolnej od ryzyka.

Koszt tej strategii w chwili jej zawiązania (w t=0) wynosi

C0e-P0e+D⁢F⁢0,T⁢K.

Natomiast w chwili T wynik naszej strategii będzie następujący:

(a) w przypadku gdy ST≥K:

z kupionej opcji kupna: ST-K
ze sprzedanej opcji sprzedaży: 0
zwrot z lokaty: K

razem otrzymamy ST;

b) w przypadku gdy ST<K:

z kupionej opcji kupna: 0
ze sprzedanej opcji sprzedaży: -K-ST
zwrot z lokaty: K

razem znów otrzymamy ST.

Tak więc, niezależnie od sytuacji na rynku, w chwili T nasza strategia przyniesie dochód równy ST. Aby nie było możliwości do przeprowadzenia arbitrażu początkowy koszt tej strategii musi być równy cenie aktywa w chwili początkowej, czyli musi zachodzić

C0e-P0e+D⁢F⁢0,T⁢K=S0,

co kończy uzasadnienie.

∎

▶ Parytet dla opcji europejskich których instrument podstawowy daje ,,dyskretny” dochód.

Twierdzenie 6.2

Parytet opcji kupna/sprzedaży, w przypadku instrumentu podstawowego, który w trakcie trwania opcji przynosi dochód C⁢ti płatny w kilku ustalonych chwilach czasu ti<T, i=1,…,n, ma następującą postać

C0e-P0e=S0-D0-D⁢F⁢0,T⁢K,

(6.2)

gdzie D0=∑i=1nD⁢F⁢0,ti⁢C⁢ti jest wartością bieżącą strumienia dochodów generowanych przez aktywo w trakcie trwania opcji.

Patrz Ćwiczenia – Zadanie 6.1.

∎

▶ Parytet dla opcji europejskich których instrument podstawowy daje ,,ciągły” dochód.

Twierdzenie 6.3

Parytet opcji kupna/sprzedaży, w przypadku instrumentu podstawowego, który w trakcie trwania opcji przynosi dochód płatny w sposób ciągły ze stopą q, ma następującą postać

C0e-P0e=e-q⁢Δ⁢0,T⁢S0-D⁢F⁢0,T⁢K.

(6.3)

Stwierdzenie 6.1

W przypadku opcji amerykańskich różnicę wartości opcji kupna i opcji sprzedaży możemy jedynie oszacować w następujący sposób:

S0-D0-K≤C0a-P0a≤S0-D⁢F⁢0,T⁢K,

(6.4)

gdy instrument podstawowy generuje ,,dyskretne” dochody i wtedy D0 jest wartością bieżącą tych dochodów (patrz Ćwiczenia – Zadanie 6.2). Gdy aktywo generuje ,,ciągły” strumień dochodu płatny ze stopą q, oszacowanie to przyjmuje następującą postać

S0⁢e-q⁢Δ⁢0,T-K≤C0a-P0a≤S0-D⁢F⁢0,T⁢K.

(6.5)

Uwaga 6.1

Nierówności (6.4) i (6.5) są prawdziwe przy dodatkowym założeniu, że struktura stóp procentowych wolnych od ryzyka jest płaska i nie zmienia się w czasie trwania opcji.

6.6. Ograniczenia na wartość opcji

W poniższym Twierdzeniu zebrane są nierówności na wartość opcji których instrument podstawowy daje ,,dyskretny” dochód.

Twierdzenie 6.4

Wartości opcji spełniają następujące nierówności:

Dla opcji europejskich

max⁡S0-D0-D⁢F⁢0,T⁢K,0≤C0e≤S0,

(6.6)

max⁡D⁢F⁢0,T⁢K-S0-D0,0≤P0e≤D⁢F⁢0,T⁢K.

(6.7)

Dla opcji amerykańskich

max⁡S0-K,S0-D0-D⁢F⁢0,T⁢K,0≤C0a≤S0,

(6.8)

max⁡K-S0,D⁢F⁢0,T⁢K-S0-D0,0≤P0a≤K.

(6.9)

Nierówności (6.6), (6.7) dla opcji europejskich wynikają z nieujemności wartości opcji i parytetu opcji kupna/sprzedaży (6.2). Ograniczenia dolne w (6.8), (6.9) dla opcji amerykańskich wynikają w części z odpowiednich nierówności dla opcji europejskich i relacji między wartością opcji amerykańskiej a wartością opcji europejskiej, oraz w pozostałej części z charakteru tych opcji (opcje amerykańskie można w każdej chwili wykonać).

∎

6.7. Wczesne wykonanie w opcjach amerykańskich

Twierdzenie 6.5

Jeżeli aktywo, które jest instrumentem podstawowym waniliowej opcji amerykańskiej, nie daje dochodu w trakcie trwania opcji, to wczesne wykonanie opcji kupna nie jest optymalne.

Rozważmy dwie strategie w chwili t:

Wczesne wykonanie opcji
Trzymanie opcji do terminu zapadnięcia opcji

Zbadamy jaki jest rezultat obu strategii w T (w chwili wygaśnięcia opcji).

Aby przeprowadzić wczesne wykonanie opcji, pożyczamy kwotę K i za te pieniądze kupujemy aktywo. W chwili T mamy aktywo warte ST oraz zobowiązanie (dług) w kwocie D⁢F⁢t,T-1⁢K, czyli ta strategia ma wartość

ST-D⁢F⁢t,T-1⁢K.

Trzymanie opcji do chwili T: wartość opcji w chwili T wynosi

max⁡ST-K,0.

Przy założeniu, że stopy procentowe są dodatnie, czyli gdy D⁢F⁢t,T-1>1, mamy

ST-D⁢F⁢t,T-1⁢K<ST-K≤max⁡ST-K,0,

co oznacza iż bardziej opłaca się trzymać taką opcję do terminu wygaśnięcia opcji niż skorzystać możliwości wczesnego wykonania opcji.

∎

Wniosek 6.1

Jeżeli aktywo nie daje dochodu w trakcie trwania opcji, to amerykańska opcja kupna jest równoważna europejskiej opcji kupna i wartości tych opcji są takie same.

Uwaga 6.2

Dla amerykańskiej opcji kupna zachodzi następujące oszacowanie

Cta>St-K,

gdzie t jest dowolną chwilą czasu w trakcie trwania opcji. Warunek ten oznacza, że chcąc zrealizować wynik na inwestycji w opcję w chwili t przed terminem wykupu, bardziej opłaca się sprzedać posiadaną opcję niż ją wykonać i natychmiast sprzedać aktywo po cenie St.

Uwaga 6.3

Gdy instrument podstawowy generuje dochód w trakcie trwania opcji amerykańskiej wcześniejsze wykonanie opcji może być korzystne. Na przykład rozpatrzmy amerykańską opcję kupna na akcję, która płaci dywidendę. Niech cena wykonania wynosi K=100. Przypuśćmy, że akcja, która kosztuje S=105, wypłaci dywidendę w wysokości D=10 w chwili dostatecznie bliskiej terminowi wygaśnięcia opcji. Przed wypłatą dywidendy opcję możemy zrealizować z zyskiem. Natomiast po wypłacie dywidendy, kiedy cena akcji spadnie do 95, opcja staje się bezwartościowa.

Uwaga 6.4

W przypadku amerykańskiej opcji sprzedaży wcześniejsze wykonanie opcji, nawet dla instrumentów, które nie generują dochodu w trakcie trwania opcji, może być opłacalne. Na przykład, tak będzie gdy D⁢F⁢0,T-1⁢K-S>K (dlaczego?).

6.8. Zależność wartości opcji europejskiej od ceny wykonania

Mamy następujące

Twierdzenie 6.6

Rozpatrzmy opcje europejskie na ten sam instrument podstawowy o ustalonym czasie trwania T. Niech Ce⁢K Pe⁢K oznacza cenę opcji kupna (sprzedaży) przy cenie wykonania K dla ustalonej wartości instrumentu podstawowego.

(a) Funkcja K→Ce⁢K
- jest malejąca,
- spełnia warunek Lipschitza ze stałą D⁢F⁢0,T,
- jest wypukła.
(b) Funkcja K→Pe⁢K
- jest rosnąca,
- spełnia warunek Lipschitza ze stałą D⁢F⁢0,T,
- jest wypukła.

Niech K1<K2. Mamy udowodnić, że wówczas

	Ce⁢K1>Ce⁢K2,		(6.10)
	Pe⁢K1<Pe⁢K2.		(6.10)

Rozpatrzmy przypadek opcji kupna. Przypuśćmy, że nierówność (6.10a) nie zachodzi, czyli, że Ce⁢K1≤Ce⁢K2. W tej sytuacji przeprowadzamy następujące transakcje:

sprzedajemy opcję kupna z ceną wykonania K2,
kupujemy opcję kupna z ceną wykonania K1.

Różnicę Ce⁢K2-Ce⁢K1≥0 lokujemy na rachunku bankowym. Ponadto, w chwili wygaśnięcia opcji mamy następujące możliwości:

(i) ST<K1<K2 – obie opcje są bezwartościowe,
(ii) K1≤ST≤K2 – opcja sprzedana jest bezwartościowa, a z kupionej opcji realizujemy zysk ST-K1≥0,
(iii) K1<K2<ST – na sprzedanej opcji mamy stratę ST-K2, na kupionej zysk ST-K1, czyli w sumie mamy zysk K2-K1>0.

Tak więc z dodatnim prawdopodobieństwem ta strategia daje zysk. Zatem jest to strategia arbitrażowa, a to oznacza że musi zachodzić (6.10a).

Analogiczny dowód przeprowadzamy dla opcji sprzedaży.

Korzystając z parytetu opcji kupna/sprzedaży raz dla opcji z ceną wykonania K1, a drugi raz dla opcji z ceną wykonania K2, otrzymamy

Ce⁢K1-Ce⁢K2+Pe⁢K2-Pe⁢K1=D⁢F⁢0,T⁢K2-K1.

(6.11)

Z (6.11) oraz z monotoniczności funkcji K→Ce⁢K i K→Pe⁢K wynika iż funkcje te spełniają warunek Lipschitza ze stałą równą D⁢F⁢0,T.

Wypukłość funkcji K→Ce⁢K oznacza że dla każdych K1<K2 oraz każdego α∈0,1 zachodzi

Ce⁢α⁢K1+1-α⁢K2≤α⁢Ce⁢K1+1-α⁢Ce⁢K2.

(6.12)

Przypuśćmy, że (6.12) nie zachodzi. Wówczas, dla pewnych K1<K2, α∈0,1, oraz dla K=α⁢K1+1-α⁢K2 mamy nierówność

Ce⁢K>α⁢Ce⁢K1+1-α⁢Ce⁢K2.

(6.13)

Wtedy następująca strategia:

sprzedajemy opcję kupna z ceną wykonania K,
kupujemy α opcji kupna z ceną wykonania K1,
kupujemy 1-α opcji kupna z ceną wykonania K2,

jest strategią arbitrażową (Zadanie na Ćwiczenia).

Wypukłość funkcji K→Pe⁢K wynika z wypukłości funkcji K→Ce⁢K i parytetu opcji kupna/sprzedaży.

∎

Uwaga 6.5

Monotoniczność funkcji Ce⁢K i Pe⁢K można również uzasadnić racjonalnie w następujący sposób. Na przykład w przypadku opcji kupna, wraz ze wzrostem ceny wykonania K maleją: (a) prawdopodobieństwo tego, że w chwili wygaśnięcia opcji ST>K, oraz (b) wartość wypłaty opcji.

6.9. Zależność wartości opcji europejskiej od ceny instrumentu podstawowego

Twierdzenie 6.7

Rozpatrzmy opcje europejskie na ten sam instrument podstawowy o ustalonym czasie trwania T i ustalonej cenie wykonania K. Niech teraz Ce⁢S (Pe⁢S) oznacza cenę opcji kupna (sprzedaży) przy bieżącej cenie instrumentu podstawowego S.

(a) Funkcja S→Ce⁢S
- jest rosnąca,
- spełnia warunek Lipschitza ze stała równą L,
- jest wypukła.
(b) Funkcja S→Pe⁢S
jest malejąca,
spełnia warunek Lipschitza ze stała równą L,
jest wypukła,

gdzie L=e-q⋅Δ⁢0,t dla opcji na instrument podstawowy, który generuje ciągły dochód ze stopą q, lub L=1 w pozostałych przypadkach.

Dowód tego twierdzenia przebiega w sposób podobny do dowodu przeprowadzonego w przypadku poprzedniego twierdzenia. Jednakże, aby móc przeprowadzić analogiczne rozumowania arbitrażowe musimy wprowadzić instrumenty podstawowe, które, poza tym że różnią się bieżącymi cenami, są identyczne z instrumentem podstawowym. Na przykład, w dowodzie monotoniczności zakładamy, że mamy dwa instrumenty podstawowe, jeden o cenie bieżącej S1 i drugi identyczny ale o cenie bieżącej S2.

∎

Można pokazać, że własności opcji europejskich opisane w Twierdzeniach 6.6 i 6.7 zachodzą również w przypadku opcji amerykańskich, przy czym warunki Lipschitza sformułowane w tych twierdzeniach zachodzą jedynie ze stałymi L=1. Jednakże, dowody tych twierdzeń dla opcji amerykańskich są bardziej skomplikowane.

6.10. Wartość czasowa opcji

Wartość wewnętrzna opcji waniliowej w chwili t<T, gdzie T jest terminem wygaśnięcia opcji, to

dla opcji kupna wielkość max⁡St-K,0,
dla opcji sprzedaży wielkość max⁡K-St,0.

Wartość czasowa opcji waniliowej w chwili t<T, gdzie T jest terminem wygaśnięcia opcji, to różnica między wartością opcji w chwili t a jej wartością wewnętrzną, czyli

dla opcji kupna: Ct-max⁡St-K,0,
dla opcji sprzedaży: Pt-max⁡K-St,0.

Terminologia

Opcja kupna jest w chwili t

w cenie (ang. in the money, ITM), jeżeli St>K,
po cenie (ang. at the money, ATM), jeżeli St=K,
poza ceną (ang. out of the money, OTM), jeżeli St<K.

Opcja sprzedaży jest w chwili t

w cenie (ang. in the money, ITM), jeżeli St<K,
po cenie (ang. at the money, ATM), jeżeli St=K,
poza ceną (ang. out of the money, OTM), jeżeli St>K.

Wartość czasowa europejskiej opcji kupna na aktywo nie dające dochodu:

Dla opcji poza ceną, to znaczy gdy St<K, wartość czasowa jest równa wartości opcji.
Dla opcji w cenie, to znaczy gdy St>K, wartość czasowa jest większa niż K-D⁢F⁢t,T⁢K>0, bowiem jak wynika z Twierdzenia 6.4,

C⁢St-St-K≥K-D⁢F⁢t,T⁢K.

Wartość czasowa europejskiej opcji sprzedaży na aktywo nie dające dochodu:

Dla opcji poza ceną, to znaczy gdy St>K, wartość czasowa jest równa wartości opcji.
Dla opcji w cenie, to znaczy gdy St<K, wartość czasowa opcji może być ujemna. Jeśli cena bieżąca St jest dostatecznie mała to, jak wynika z Twierdzenia 6.4

P⁢St-K-St≤D⁢F⁢t,T-1⁢K+St<0.

Twierdzenie 6.8

Wartość czasowa opcji w chwili jest największa dla opcji po cenie, to znaczy gdy St=K.

Rozpatrzmy przypadek opcji kupna. Na przedziale 0,K wartość wewnętrzna opcji kupna jest zerowa i wartość czasowa opcji pokrywa się z wartością opcji. Ponieważ wartość opcji kupna jest funkcją rosnącą ceny instrumentu podstawowego to wartość czasowa opcji dla 0,K będzie największa dla St=K.

Teraz wystarczy udowodnić, że na przedziale K,∞ wartość czasowa opcji kupna jest funkcją malejącą ceny instrumentu podstawowego. Niech St1<St2. Wówczas, na mocy Twierdzenia 6.7

C⁢St2-C⁢St1<St2-St1.

Stąd po przekształceniach otrzymujemy

C⁢St2-St2-K<C⁢St1-St1-K,

co oznacza, że K,∞∋St→C⁢St-max⁡St-K,0 jest malejąca.

W przypadku opcji sprzedaży dowód jest analogiczny.

∎

Zagadnienia i zadania na Ćwiczenia

Ćwiczenie 6.1

Udowodnij równość (6.2) (parytet kupna/sprzedaży opcji, których instrument podstawowy daje ,,dyskretny” dochód). W tym celu:

(a) Przypuśćmy, że C0e-P0e-S0+D0+D⁢F⁢0,T⁢K>0. Pokaż, że strategia
- kupno opcji sprzedaży,
- kupno instrumentu podstawowego,
- sprzedaż opcji kupna,
- pożyczka kwoty D⁢F⁢0,T⁢K na czas trwania opcji po stopie wolnej od ryzyka,
- pożyczka kwoty D⁢F⁢0,ti⁢C⁢ti na okres kończący się w ti opcji po stopie wolnej od ryzyka (dla każdego i=1,…,n),
zawiązana w t=0, jest strategią arbitrażową.
(b) Przypuśćmy, że C0e-P0e-S0+D0+D⁢F⁢0,T⁢K<0. Pokaż, że strategia
- sprzedaż opcji sprzedaży,
- krótka sprzedaż instrumentu podstawowego,
- kupno opcji kupna,
- ulokowanie kwoty D⁢F⁢0,T⁢K na czas trwania opcji po stopie wolnej od ryzyka,
- ulokowanie kwoty D⁢F⁢0,ti⁢C⁢ti na okres kończący się w ti opcji po stopie wolnej od ryzyka (dla każdego i=1,…,n),
zawiązana w t=0, jest strategią arbitrażową.

Ćwiczenie 6.2

Udowodnij nierówności (6.8) w przypadku gdy instrument podstawowy nie przynosi dochodu w trakcie trwania opcji, oraz gdy struktura stóp procentowych wolnych od ryzyka jest płaska i nie zmienia się w czasie trwania opcji:

(a) Przypuśćmy, że C0a-P0a-S0+D⁢F⁢0,T⁢K>0. Pokaż, że strategia
- kupno opcji sprzedaży,
- kupno instrumentu podstawowego,
- sprzedaż opcji kupna,
- pożyczka kwoty D⁢F⁢0,T⁢K na czas trwania opcji po stopie wolnej od ryzyka,
zawiązana w t=0, jest strategią arbitrażową.
(b) Przypuśćmy, że C0a-P0a-S0+K<0. Pokaż, że strategia
- sprzedaż opcji sprzedaży,
- krótka sprzedaż instrumentu podstawowego,
- kupno opcji kupna,
- ulokowanie kwoty K na czas trwania opcji po stopie wolnej od ryzyka,
zawiązana w t=0, jest strategią arbitrażową.

Ćwiczenie 6.3

Dokończyć dowód wypukłości funkcji K→Ce⁢K (patrz Twierdzenie 6.6).

Ćwiczenie 6.4

Przeprowadź dowód Twierdzenia 6.8 w przypadku opcji sprzedaży.

Ćwiczenie 6.5 (Delty europejskich opcji waniliowych)

Załóżmy, że funkcje S→Ce⁢S i S→Pe⁢S są różniczkowalne. Pierwsze pochodne tych funkcji, tzw. ,,delty” opcji

ΔC=∂⁡Ce∂⁡S⁢⁢ oraz⁢⁢ΔP=∂⁡Pe∂⁡S

są podstawowymi współczynnikami wrażliwości, które określają ,,ryzyko” opcji (portfeli opcji). Pokaż, że

ΔC-ΔP=e-q⋅Δ⁢0,T,
0≤ΔC≤e-q⋅Δ⁢0,T≤1,
-1≤-e-q⋅Δ⁢0,T≤ΔP≤0.

Ćwiczenie 6.6 (Gamma europejskich opcji waniliowych)

Załóżmy, że funkcje S→Ce⁢S i S→Pe⁢S są dwukrotnie różniczkowalne. Drugie pochodne tych funkcji, tzw. ,,gammy” opcji

ΓC=∂2⁡Ce∂⁡S2⁢⁢ oraz⁢⁢ΓP=∂2⁡Pe∂⁡S2

są współczynnikami wrażliwości drugiego rzędu, które określają wrażliwość ,,delt” opcji (delt portfela opcji) na zmianę ceny instrumentu podstawowego. Pokaż, że ΓC=ΓP≥0.

Ćwiczenie 6.7 (Vega europejskich opcji waniliowych)

Wartość opcji zależy również od wielkości σ, która określa poziom zmienności ceny instrumentu podstawowego. Załóżmy, że funkcje σ→Ce⁢σ i σ→Pe⁢σ są różniczkowalne. Pochodne tych funkcji, tzw. ,,vegi” opcji

VegaC=∂⁡Ce∂⁡σ⁢⁢ oraz⁢⁢VegaP=∂⁡Pe∂⁡σ

są współczynnikami wrażliwości, które określają wrażliwość wartości opcji (portfela opcji) na zmianę zmienności ceny instrumentu podstawowego. Pokaż, że VegaC=VegaP i uzasadnij dlaczego Vega>0.

Ćwiczenie 6.8 (Europejskie opcje binarne typu Cash-or-Nothing)

(a) Wyprowadź parytet opcji kupna/sprzedaży dla europejskich opcji binarnych typu Cash-or-Nothing.
(b) Call spread. Statyczna replikacja opcji binarnej kupna typu Cash-or-Nothing, która daje wypłatę jeśli cena instrumentu podstawowego jest ostro większa niż cena wykonania K. Pokaż, że strategia złożona opcji waniliowych o czasie trwania identycznym jak opcja binarna typu Cash-or-Nothing, kupionej z ceną wykonania K i sprzedanej z ceną wykonania K+ϵ o wartościach nominalnych 1/ϵ (sztuk instrumentu podstawowego) ma wypłatę która w przybliżeniu pokrywa się z wypłatą opcji binarnej kupna dla dostatecznie małej wartości ϵ. Wówczas z prawa jednej ceny wynika, że

binary call≃Ce⁢K-Ce⁢K+ϵϵ.

Uwaga: W praktyce ϵ musi być co najmniej tak małe jak minimalna wielkość zmiany ceny instrumentu podstawowego.
(c) Jak wygląda replikacja opcji binarnej kupna typu Cash-or-Nothing, jeśli wypłata następuje gdy cena instrumentu podstawowego jest większa lub równa cenie wykonania K?

W praktyce rynkowej opcję typu Cash-or-Nothing wycenia się z call spreadu.

Ćwiczenie 6.9 (Europejskie opcje binarne typu Asset-or-Nothing)

(a) Wyprowadź parytet opcji kupna/sprzedaży dla europejskich opcji binarnych typu Asset-or-Nothing.
(b) Przestaw opcję waniliową jako portfel złożony z opcji binarnej typu Cash-or-Nothing oraz binarnej typu Asset-or-Nothing o odpowiednich nominałach.
(c) Korzystając z (b) sformułuj związek pomiędzy ceną opcji waniliowej a cenami opcji binarnych typu Cash-or-Nothing oraz typu Asset-or-Nothing.

W praktyce rynkowej opcję Asset-or-Nothing wycenia się za pomocą związku opisanego w (c) powyżej, w którym opcja Cash-or-Nothing jest wyceniana z call spreadu (patrz Zadanie 6.8).

Ćwiczenie 6.10 (Strategia motyla (Butterfly strategy))

Strategia motyla to portfel europejskich opcji waniliowych o następującym składzie:

dwóch kupionych opcji o cenach wykonania K-△⁢K oraz K+△⁢K odpowiednio,
dwóch sprzedanych opcji o cenie wykonania K.

Wykreśl profil wypłaty tej strategii. W jaki sposób zbudować tę strategię korzystając z opcji sprzedaży?

Uwaga: Niech α∈0,1 oraz K=α⁢K1+1-α⁢K2 gdzie K1<K2 są ustalonymi cenami wykonania. Strategia motyla jest szczególnym przypadkiem strategii polegającej na kupnie α sztuk opcji z ceną wykonania K1, kupnie 1-α sztuk opcji z ceną wykonania K2, oraz sprzedaży jednej opcji z ceną wykonania K, wszystkie o tym samym terminie wykonania. Strategię tego typu można wykorzystać w dowodzie wypukłości ceny opcji względem ceny wykonania.

Ćwiczenie 6.11 (Risk reversal strategy)

Strategia risk reversal to portfel europejskich opcji waniliowych o następującym składzie:

sprzedanej (kupionej) opcji sprzedaży z ceną wykonania K1,
kupionej (sprzedanej) opcji kupna z ceną wykonania K2,

gdzie K1<K2. Na rynku OTC opcji walutowych, to jest opcji, których instrumentem podstawowym jest kurs wymiany walut, kwotuje się strategie risk reversal, w których obie opcje mają taką samą deltę (co do wartości bezwzględnej), standardowo 0.25. Taką strategię nazywa się wtedy 25 delta risk reversal strategy.

Wykreśl profil wypłaty tej strategii.

Ćwiczenie 6.12 (Europejskie opcje ,,zapłać później” (Paylater options))

Wartość europejskiej opcji kupna ,,zapłać później” z ceną wykonania K w chwili wygaśnięcia T wynosi

ST-K-X, jeśli ST>K,
0, jeśli ST≤K,

gdzie X jest premią opcji płaconą w chwili T, ustalaną zwykle tak, by w chwili zawarcia opcji jej wartość wynosiła zero.

Analogicznie, wartość europejskiej opcji sprzedaży zapłać później z ceną wykonania K w chwili wygaśnięcia T wynosi

K-ST-X, jeśli ST<K,
0, jeśli ST≥K.

Wykreśl profil wypłat tych opcji. Przedstaw te opcje jako portfele złożone z opcji waniliowej i opcji binarnej.

Ćwiczenie 6.13 (Opcja wyboru (Chooser option))

Europejska opcja wyboru (chooser option) zapadalna w chwili T to opcja waniliowa, w której dodatkowo posiadacz opcji w chwili T0<T określa, czy posiadana przez niego opcja jest opcją kupna czy opcją sprzedaży. Tak więc w chwili T0 ta opcja ma wartość

VT0=max⁡CT0,PT0,

gdzie CT0 , PT0 są wartościami opcji kupna i sprzedaży, odpowiednio. Załóżmy, że cena wykonania obu opcji w jest taka sama i wynosi K. Załóżmy, dla uproszczenia, że instrument podstawowy opcji daje dochód płacony w sposób ciągły ze stałą stopą δ (np. indeks giełdowy).

(a) Pokaż, że VT0 można przedstawić jako sumę wartości opcji kupna zapadalnej w chwili T o cenie wykonania K oraz wypłaty z opcji sprzedaży zapadalnej w T0 z odpowiednio dobraną ceną wykonania K0. Ile wynosi K0?
(b) Przedstaw opcję wyboru w postaci portfela odpowiednio dobranych waniliowej opcji kupna oraz waniliowej opcji sprzedaży. Korzystając z tego przedstawienia wyprowadź formuły na wycenę opcji wyboru w zależności od wartości odpowiednio dobranych opcji waniliowych.

Ćwiczenie 6.14

Dane są następujące kwotowania:

cena 3M opcji ATM (at-the-money) kupna 1 miliona USD za PLN (to jest opcji call na kurs wymiany USD/PLN o nominale 1 milion USD) wynosi: 106 061.57 PLN,
bieżący kurs USD/PLN wynosi: 4.0000 (PLN za 1 USD),
3M punkty swapowe USD/PLN wynoszą: 0.0503,
3M stopa (kapitalizowana w sposób ciągły) dla PLN wynosi: 7.00%.

Przy założeniu, że na rynku nie ma możliwości do arbitrażu,

(a) oblicz cenę 3M opcji ATM (at-the-money) kupna 1 000 000 PLN za USD,
(b) 3M depozytową stopę (wolną od ryzyka) dla USD.

Przypomnienie: Mówimy, że opcja jest ATM (at-the-money) jeśli bieżąca cena instrumentu podstawowego opcji jest równa cenie wykonania opcji.

Ćwiczenie 6.15

Wyprowadź parytet opcji kupna/sprzedaży dla europejskich opcji azjatyckich na dyskretną średnią arytmetyczną

S¯=1n⁢∑i=1nSti,

gdzie t1<t2,…,<tn=T są ustalonymi chwilami czasu, w których obserwowana jest wartość instrumentu podstawowego, a T jest terminem zapadalności opcji. Załóż, że struktura stóp procentowych jest płaska i stała w czasie trwania opcji. Parytet wyznacz dla chwili czasu t∈tm,tm+1, to znaczy w trakcie trwania opcji, po ustaleniu m pierwszych wartości instrumentu podstawowego.

Wskazówka:

Oblicz wartość kontraktu forward na średnią arytmetyczną S¯ z ceną wykonania K, który zapada w T. W tym celu, pokaż, że wyceniając ten kontrakt, wartość każdego nieustalonego składnika Sti, gdzie i>m, sumy określającej średnią S¯, można zastąpić ceną forward F⁢t,ti wyznaczoną w chwili t kontraktu zapadalnego w ti.

Ćwiczenie 6.16

Bank Miejski oferuje klientom lokatę w PLN, która po upływie terminu lokaty T wypłaci kwotę

N⁢1+max⁡0,min⁡rmax⁢T,α⁢RT,

gdzie

N jest nominałem lokaty w PLN,
rmax – maksymalną stopą oprocentowania lokaty,
RT=ST-S0S0 jest stopą zwrotu z indeksu WIG20 w okresie lokaty,
α jest tak zwanym współczynnikiem partycypacji.

Jakie opcje waniliowe na WIG20 są wbudowane w tą lokatę?

Ćwiczenie 6.17 (Europejska opcja z barierą europejską)

Niech ω=1 dla opcji kupna oraz ω=-1 dla opcji sprzedaży, oraz niech ω⁢K<ω⁢B. Wypłata europejskiej opcji kupna/sprzedaży z barierą europejską B i ceną wykonania K wynosi

max⁡ω⁢ST-K,0⋅1{ωST<ωB}

Wykreśl profil wypłat tych opcji. Przedstaw te opcje jako portfele złożone z opcji waniliowych i opcji binarnej Cash-or-Nothing o odpowiednich nominałach.

Ćwiczenie 6.18 (Lokata dwuwalutowa)

Inwestor lokuje w banku kwotę N1 w walucie CUR1 na okres czasu T. Niech S oznacza kurs wymiany CUR1/CUR2. W chwili T zakończenia lokaty inwestor otrzymuje

1+R⋅τ⁢0,T⁢N1 w walucie CUR1, jeśli ST≤K,
1+R⋅τ⁢0,T⁢N1⋅K w walucie CUR2, jeśli ST>K,

gdzie K jest ustalonym kursem wymiany (tzw. kurs konwersji), zaś τ⁢0,T jest ułamkiem roku odpowiadającym bazie stopy R.

Jaka opcja jest wbudowana w ten instrument? Załóżmy, że r⁢T jest stopą procentową dla standardowej lokaty złożonej na okres czasu T. Jaka jest największa wartość stopy R w zależności od cen instrumentów wbudowanych w tą lokatę dwuwalutową, którą bank może zaoferować inwestorowi nie tracąc na takim instrumencie?

Ćwiczenie 6.19 (Jednorodność ceny opcji jako funkcji ceny bieżącej i ceny wykonania)

Uzasadnij dlaczego cena V opcji waniliowej jest jednorodną funkcją ceny bieżącej instrumentu podstawowego i ceny wykonania, to znaczy

V⁢α⁢S,α⁢K=α⁢V⁢S,K⁢⁢∀⁢⁢α>0.

(6.14)