Model dwumianowy jest prostym modelem za pomocą którego

• opiszemy proces stochastyczny ceny aktywa,

• skonstruujemy portfele replikujące instrumenty pochodne,

• sformułujemy i uzasadnimy metodę wyceny instrumentów pochodnych.

Model opiszemy w dwóch etapach:

• zaczniemy od modelu jednookresowego (Wykład 7),

który następnie rozszerzymy na

• model wielookresowy (Wykład 8).

W modelu jednookresowym rozpatrujemy tylko dwa punkty w czasie

• dziś – t=0 w którym znamy stan rynku,

• jutro – t=T w którym stan rynku z dzisiejszej perspektywy nie jest znany – ceny aktywów w T są zmiennymi losowymi.

Na rynku mamy dwa aktywa

• obligację zerokuponową (rachunek bankowy na którym lokaty/depozyty są oprocentowane według stopy zerokuponowej) ⟶ proces (zmienna) deterministyczna,

• aktywo obarczone ryzykiem (np. akcja), które nie przynosi dochodu w okresie 0,T ⟶ proces stochastyczny.

▶ Proces wartości obligacji zerokuponowej (rachunku bankowego) – Bt

• B0=1,

• BT=D⁢F⁢0,T-1=1+L⁢τ=eR⁢τ, gdzie τ=Δ⁢0,T.

▶ Proces ceny aktywa – St

• S0 dane, znana wartość,

• ST jest zmienną losową o następującym rozkładzie

  ST=⁡S0⁢⁢U,z prawdopodobieństwem p (stan ,,up”),S0⁢⁢D,z prawdopodobieństwem 1-p (stan ,,down”).⁢

  gdzie U i D są dane, przy czym 0<D<U. Później pokażemy jak te wielkości powiązać z innymi parametrami aktywa, w szczególności ze zmiennością aktywa. Okaże się również, że wartość prawdopodobieństwa p nie będzie istotna przy wycenie instrumentów pochodnych wystawionych na S (istotna będzie miara prawdopodobieństwa w tzw. świecie wolnym od ryzyka).

Zmienną ST możemy zapisać w postaci

gdzie Z jest następującą zmienną losową

▶ Europejski instrument pochodny X, wystawiony na ryzykowne aktywo S, to instrument finansowy, którego wartość wypłaty w chwili zapadalności T jest zmienną losową postaci

gdzie Φ jest pewną funkcją.

Na przykład, dla europejskiej opcji kupna akcji S z ceną wykonania K, która wygasa w T, mamy

przy założeniu, że S0⁢⁢D<K<S0⁢⁢U.

Jedna z metod wyceny instrumentów pochodnych będzie polegała na konstrukcji portfela replikującego dany instrument pochodny, to znaczy portfela którego wartość w terminie zapadalności instrumentu pochodnego będzie taka sama jak wypłata, którą da instrument pochodny. Sformalizujemy pojęcie portfela w następujący sposób.

▶Portfel na rynku, na którym dostępne są obligacja (rachunek bankowy) i jedno ryzykowne aktywo, to para h=x,y, gdzie x oznacza kwotę pieniędzy zainwestowaną w obligacje (złożoną na rachunku bankowym), a y oznacza ilość ryzykownego aktywa w portfelu.

Założenia

• krótka sprzedaż jest dozwolona ⟶ x i y mogą być ujemne,

• jest nieskończona podzielność aktywów ⟶ x i y nie muszą być całkowite,

• nie ma widełek kupna-sprzedaży,

• jest pełna płynność obu aktywów.

▶ Wartość portfela h:

• w chwili t=0 utworzenia portfela wynosi V0h=x⁢B0+y⁢S0 i jest znaną wartością, jeśli x i y są dane,

• w przyszłej chwili t=T jest zmienną losową VTh=x⁢BT+y⁢ST=x⁢1+L⁢τ+y⁢S0⁢⁢Z.

Sprawiedliwa cena instrumentu pochodnego będzie ceną, przy której arbitraż nie będzie możliwy. Sprecyzujemy pojęcie portfela arbitrażowego.

▶Portfel arbitrażowy to portfel h, który spełnia następujące warunki:

• V0h=0⟶ nie ponosimy żadnych kosztów początkowych by utworzyć portfel,

• PVTh≥0=1,

• PVTh>0>0.

W jakich warunkach nasz model rynku nie dopuszcza arbitrażu? Odpowiedź na to pytanie zawarta jest w następującym lemacie:

Warunek z Lematu 7.1 możemy przeformułować w następujący sposób:

qd,qu zadają nowe prawdopodobieństwo Q na przestrzeni stanów rynku w t=T. Niech EQ oznacza wartość oczekiwaną względem miary prawdopodobieństwa Q. Wówczas, jak łatwo można pokazać

czyli w świecie z miarą Q oczekiwany zwrot z ryzykownego aktywa jest równy zwrotowi z aktywa wolnego od ryzyka. Z tego powodu miarę Q określa się terminem miara wolna od ryzyka, a przestrzeń stanów rynku z tą miarą nazywamy światem wolnym od ryzyka.

Wzór (7.4) możemy przepisać w następującej postaci

i wtedy oznacza on, że bieżąca cena ryzykownego aktywa jest równa zdyskontowanej po stopie wolnej od ryzyka wartości oczekiwanej (względem miary Q) przyszłej ceny ST. Niech

będzie procesem zdyskontowanej ceny aktywa. Wówczas (7.5) możemy przeformułować w następujący sposób:

co matematycznie możemy wyrazić mówiąc iż zdyskontowany proces cen jest martyngałem. Dlatego też o mierze Q mówimy że jest to wolna od ryzyka miara martyngałowa.

Równanie (7.4) można zinterpretować również w inny sposób. Mianowicie, (7.4) stwierdza, że wartość oczekiwana ceny aktywa ST (w mierze wolnej od ryzyka) jest równa cenie forward F0 tego aktywa (bowiem F0=D⁢F⁢0,T-1⁢S0).

Niech

oznacza cenę instrumentu pochodnego X w chwili czasu t. Jasne, że w chwili zapadalności t=T instrumentu X jego cena pokrywa się z wartością wypłaty, czyli że ΠT⁢X=XT=Φ⁢ST.

Jak natomiast wyznaczyć sprawiedliwą cenę X w chwili bieżącej t=0 ? Zrobimy to tak:

• zreplikujemy instrument pochodny X portfelem h⁢X złożonym z obligacji zerokuponowej (lokaty/depozytu) i aktywa S,

• za cenę instrumentu pochodnego X przyjmiemy wartość portfela replikującego, to znaczy przyjmiemy, że

  Πt⁢X=Vth⁢X.

W szczególności, będziemy mieli (zasada wyceny instrumentów pochodnych)

bowiem każda inna cena prowadziłaby do arbitrażu.

Będzie to dobry model wyceny, jeżeli będziemy wiedzieli, że każdy instrument pochodny możemy tak wycenić, czyli gdy każdy instrument pochodny będziemy w stanie zreplikować w naszym modelu rynku. W tym kontekście wprowadzimy następujące definicje:

• Instrument pochodny X jest osiągalny, jeżeli istnieje portfel h⁢X taki że

  VTh⁢X=XT⁢⁢ z prawdopodobieństwem 1.

  Portfel h⁢X nazywamy portfelem replikującym, a -h⁢X portfelem zabezpieczającym.

• Jeżeli każdy instrument pochodny X jest osiągalny na danym rynku, to mówimy, że rynek jest zupełny.

W naszym prostym przypadku mamy następujące

Niech X=Φ⁢S będzie instrumentem pochodnym, a h⁢X=x,y jego portfelem replikującym skład którego dany jest wzorami (7.7). Wówczas zgodnie z zasadą wyceny instrumentów pochodnych (7.6), cena X w t=0 dana jest wzorem

Dotychczasowe rezultaty zbierzemy w następującym twierdzeniu.

Rozpatrzmy instrument pochodny X=Φ⁢S wygasający w chwili T, którego instrumentem podstawowym jest aktywo S. Tworzymy portfel który składa się z

• Δ jednostek aktywa,

• wystawionego (sprzedanego) instrumentu pochodnego X.

Wartość tego portfela w chwili T wynosi

Chcemy by ten portfel był pozbawiony ryzyka, to znaczy, by niezależnie od stanu rynku jego wartość była taka sama, czyli by zachodziła równość

Rozwiązując to równanie ze względu na zmienną Δ otrzymujemy

Zauważmy, że Δ=y, gdzie y określa ilość aktywa w portfelu replikującym h⁢X (patrz (7.7)). Gdy Δ jest wyznaczone wzorem (7.8), nasz portfel jest pozbawiony ryzyka. Dochód, który da ten portfel, musi być taki sam jak dochód z inwestycji w obligację zerokuponową (lokatę/depozyt) ze stopą L. Ponieważ koszt utworzenia tego portfela w t=0 wynosi

w chwili T musi zachodzić

Z tego równania możemy wyliczyć wartość Π0⁢X. Otrzymamy

a po podstawieniu do (7.9) formuły (7.8) na Δ i wykonaniu odpowiednich przekształceń, wzór (7.9) przedstawimy znów w postaci

Chcemy powiązać wartości współczynników U i D z podstawowymi parametrami procesu cen aktywa S. Tymi parametrami będą

• μ – logarytmiczna stopa oczekiwanego zwrotu z aktywa, czyli liczba taka, że

  E⁢ST=S0⁢⁢eμ⁢τ,

• σ – odchylenie standardowe logarytmicznej stopy zwrotu z aktywa – tzw. zmienność aktywa – liczba taka, że

  Var⁢ST=S02⁢⁢e2⁢μ⁢τ⁢eσ2⁢τ-1,

  (7.10)

przy czym obie wielkości są podane w skali roku (zannualizowane). Oczywiście, w przypadku tworzenia drzewa dwumianowego w celu wyceny instrumentu pochodnego przyjmujemy μ=R, gdzie R jest stopą wolną od ryzyka (bowiem wycena odbywa się w świecie wolnym od ryzyka).

Niech p oznacza prawdopodobieństwo wzrostu ceny aktywa w modelu dwumianowym rynku w którym stopa oczekiwanego zwrotu wynosi μ. Wówczas, parametry modelu muszą być tak dobrane by

Równania (7.11) tworzą układ dwóch równań na trzy niewiadome p, U, oraz D. Musimy więc dołożyć dodatkowy warunek, który umożliwi nam rozwiązanie układu. Przedstawimy dwa rozwiązania, które uzyskamy przy dwóch różnych warunkach dodatkowych.

▶ Rozwiązanie I (Model CRR – Cox, Ross, Rubinstein)

Warunek dodatkowy jest następujący – zakładamy, że

Ten warunek upraszcza tworzenie procesu cen aktywa na wielookresowym drzewie dwumianowym. Wówczas rozwiązanie układu równań (7.11), (7.12) ma następującą postać:

co wynika wprost z (7.11a), oraz

przy czym wielkości U i D spełniają równanie (7.11b) z dokładnością od wyrażeń rzędu τ.

Uwagi

1. Można pokazać, że jeżeli U i D są określone równaniami (7.14), a p równaniem (7.13), to spełnianie warunku (7.11b) nie zależy od wartości stopy μ. To oznacza, że w modelu dwumianowym zmienność aktywa jest taka sama niezależnie od tego czy model opisuje świat realny czy świat wolny od ryzyka (ma to związek z Twierdzeniem Girsanowa).

2. Jeżeli zamiast przybliżonego równania (7.11b), do wyznaczania wartości współczynników U i D użyć dokładnego równania

   U2⁢p+D2⁢1-p-U⁢p+D⁢1-p2=e2⁢μ⁢τ⁢eσ2⁢τ-1,

   to wartości tych współczynników wyniosą

   ⁢U⁢=β+β2-1⁢⁢D⁢=1/U=β-β2-1⁢⁢

   gdzie

   β=12⁢e-μ⁢τ+eμ+σ2⁢τ.

   Można pokazać, że wówczas

   U=eσ⁢τ+O⁢τ3,

   tak więc z dokładnością do wyrazów wyższego rzędu U≃eσ⁢τ, tak jak w oryginalnym rozwiązaniu CRR.

▶ Rozwiązanie II – Model ,,równych prawdopodobieństw”

Warunek dodatkowy jest następujący – przyjmujemy, że

Ten warunek upraszcza obliczanie wartości oczekiwanej przy obliczaniu ceny instrumentu pochodnego w wielookresowym modelu dwumianowym. Wówczas rozwiązanie układu równań (7.11), (7.15) ma następującą postać:

przy czym wielkości U i D spełniają równanie (7.11) z dokładnością od wyrażeń rzędu τ.

W poniższych zadaniach przyjmijmy następujące definicje i określenia

• Prosta stopa zwrotu R z aktywa S

  R=1τ⁢ST-S0S0,

  gdzie τ jest ułamkiem roku dla okresu 0,T.

• Stopa logarytmicznego zwrotu r z aktywa S

  r=1τ⁢ln⁡STS0,

  gdzie τ jest ułamkiem roku dla okresu 0,T.

• Ep⁢Y – wartość oczekiwana zmiennej Y w modelu dwumianowym, w którym prawdopodobieństwo stanu ,,Up” wynosi p.

• σp⁢Y – odchylenie standardowe zmiennej Y w modelu dwumianowym, w którym prawdopodobieństwo stanu ,,Up” wynosi p.