Będziemy zakładać, że S spełnia następujące stochastyczne równanie

gdzie

• μ jest stopą zwrotu S (współczynnikiem dryfu),

• σ jest zmiennością S (współczynnikiem dyfuzji),

• Wt jest tak zwanym procesem Wienera.

W naszym prostym modelu o μ i σ zakładamy, że są stałe, to jest nie zależą od czasu t i procesu S. Równanie (9.1) jest szczególnym przypadkiem ogólniejszej klasy równań stochastycznych postaci

gdzie a i b są procesami o odpowiednich własnościach, które często zależą od t i procesu X. Nasz prosty przypadek uzyskujemy kładąc w (9.2) at=μ⁢St oraz bt=σ⁢St i zamieniając X na S.

Proces Wienera Wt to proces stochastyczny o następujących własnościach:

• W0=0,

• Wt ma niezależne przyrosty, to znaczy, dla każdych r<s≤t<u zmienne losowe Wu-Wt i Ws-Wr są niezależne,

• dla każdych 0≤s<t Ws-Wt∼N⁢0,t-s,

• W ma ciągłe trajektorie (z prawdopodobieństwem 1).

W szczególności z tych warunków wynika, że

oraz

Nie podamy definicji całki stochastycznej Itô (proszę poczekać cierpliwie na wykład z procesów stochastycznych – zainteresowanym przystępnym wprowadzeniem do rachunku stochastycznego polecam podręcznik Steven'a E. Shreve'a Stochastic Calculus for Finance II (Springer 2004)[2]). Zadowolimy się natomiast wybranymi szczególnymi technikami rachunku stochastycznego, które powinny nam wystarczyć dla naszych rozważań. Mamy następujący

Będą nas również interesować funkcje postaci G⁢t,Xt gdzie X jest procesem spełniającym równanie (9.2). W szczególności chcielibyśmy wiedzieć jakie równanie stochastyczne spełnia proces G. Na to pytanie odpowiada następujący

W szczególnym przypadku, gdy at=μ⁢Xt oraz bt=σ⁢Xt, to jest gdy X spełnia równanie (9.1), teza Lematu Itô przyjmuje następującą postać:

Przykłady zastosowania Lematu Itô:

1. Niech Ft=St⁢er⁢T-t będzie ceną kontraktu Forward (ceną teoretyczną kontraktu Futures) na aktywo, które nie przynosi dochodu w trakcie trwania kontraktu t,T. Wówczas Ft=G⁢t,St, gdzie G⁢t,x=x⁢er⁢T-t. Jeżeli cena aktywa S spełnia (9.1), to na mocy lematu Itô, proces F spełnia następujące równanie

   d⁢Ft=-r⁢St⁢er⁢T-t+μ⁢St⁢er⁢T-t+12⁢σ2⁢St2⋅0⁢d⁢t+σ⁢St⁢er⁢T-t⁢d⁢Wt,

   które po uporządkowaniu przyjmuje następującą postać

   d⁢Ft=μ-r⁢Ft⁢⁢d⁢t+σ⁢Ft⁢⁢d⁢Wt.

   (9.6)

2. Korzystając z Lematu Itô obliczymy całkę stochastyczną

   ∫0tWτ⁢d⁢Wτ.

   Niech G⁢t,x=x2. Rozpatrzmy proces X=W, czyli d⁢Xt=d⁢Wt (a więc w równaniu (9.2) at≡0 oraz bt≡1). Badamy proces Zt=Wt2=G⁢t,Wt. Na mocy lematu Itô, proces Z spełnia równanie

   d⁢Zt=d⁢t+2⁢Wt⁢d⁢Wt,

   co w postaci całkowej oznacza, że

   Wt2=t+2⁢∫0tWτ⁢d⁢Wτ,

   skąd otrzymujemy

   ∫0tWτ⁢d⁢Wτ=12⁢Wt2-12⁢t.

Rozwiązanie równania (9.1) i jego własności

Niech G⁢t,x=ln⁡x. Wówczas, na mocy Lematu Itô, proces Gt=ln⁡St, gdzie S jest dane przez (9.1), spełnia następujące równanie

które po uporządkowaniu przyjmuje następującą postać:

W postaci całkowej (9.7) oznacza, że

skąd otrzymujemy

W ten sposób ,,otrzymaliśmy” rozwiązanie równania stochastycznego (9.1). Przedstawiona powyżej metoda rozwiązania nie jest w pełni poprawna, bo po pierwsze zakłada istnienie rozwiązania, a po drugie zakłada jego dodatniość. O ile istnienie rozwiązania możemy uzyskać stosunkowo łatwo, powołując się na stosowne twierdzenie o istnieniu rozwiązań równania typu (9.2), to dodatniość rozwiązania nie jest taka oczywista. Możemy jednak naprawić nasze ,,rozwiązanie” w następujący sposób. Po prostu wystarczy sprawdzić czy proces St zdefiniowany równaniem (9.9) spełnia równanie (9.1) (Zadanie na Ćwiczenia).

Z równania (9.8) wynika, że

czyli że St ma tak zwany rozkład log-normalny.

Z równania (9.10) wynika, że logarytmiczna stopa zwrotu

Stąd wynika, że ,,łatwiej” jest przewidzieć logarytmiczną stopę zwrotu w długim okresie czasu niż w krótszym okresie.

Logarytmiczna stopa oczekiwanego zwrotu

Korzystając z (9.9) i własności procesu Wienera można pokazać (Zadanie na Ćwiczenia), że

oraz

Z (9.11) wynika, że

jest logarytmiczną stopą oczekiwanego zwrotu z inwestycji w aktywo S.

Podobnie jak w modelu dyskretnym wycena instrumentów pochodnych polega na przejściu do świata wolnego od ryzyka, w którym aktywa ryzykowne mają taką samą stopę zwrotu jak inwestycje wolne od ryzyka – stopę wolną od ryzyka. To podejście jest oparte na następującym twierdzeniu:

▶ Opcje kupna

Wycenimy europejską opcję kupna aktywa, które nie przynosi dochodu w trakcie trwania opcji. Zakładamy, że cena aktywa S spełnia równanie (9.1). Zgodnie z zasadą wyceny instrumentów pochodnych wartość opcji kupna dana jest wzorem

gdzie Q jest miarą martyngałową w świecie wolnym od ryzyka. W tym świecie cena aktywa jest procesem opisanym równaniem

gdzie r jest stopą zwrotu z inwestycji wolnych od ryzyka (która pojawia się w miejsce stopy μ w (9.1)), a W~t jest odpowiednio zmodyfikowanym procesem Wienera, który pojawia się w miejsce procesu Wienera Wt w (9.1) przy przejściu do świata wolnego od ryzyka. Wówczas, ST ma rozkład log-normalny (patrz (9.10)) oraz jak wynika z (9.11)

Po wstawieniu równości (9.24) do wzoru (9.16) z Lematu 9.3 otrzymujemy

gdzie wyrażenia na d1 i d2 przyjmują postać

przy przekształceniu których uwzględniliśmy fakt, że odchylenie standardowe ln⁡ST wynosi σ⁢T (patrz (9.10)).

▶ Opcje sprzedaży

Europejską opcję sprzedaży możemy wycenić stosując podobne podejście jak w przypadku opcji kupna – przez obliczenie wyrażenia

korzystając z odpowiednio zmodyfikowanego Lematu 9.3. Możemy też posłużyć się parytetem opcji kupna-sprzedaży dla wyliczenia wartości opcji sprzedaży z wartości opcji kupna. Postępując w ten drugi sposób otrzymujemy

co, po skorzystaniu z tożsamości Φ⁢x+Φ⁢-x=1, zapiszemy w następującej postaci

Wzory (9.25) i (9.28) przedstawiają wycenę opcji w chwili t=0, których czas trwania wynosił T. Przyjęcie t=0 było tylko kwestią wygody. Wycenę opcji w chwili t∈0,T uzyskujemy traktując t jako chwilę początkową, w której znamy wartości argumentów funkcji C i P, a T-t jako pozostały do wygaśnięcia opcji czas trwania. W szczególności, jako wartość początkową aktywa bierzemy St – jego wartość ustaloną w chwili t<T. Wówczas wzory na wycenę opcji waniliowych przyjmują postać

gdzie

We wzorach (9.29)–(9.31) stopa procentowa r oraz zmienność σ oznaczają ich wartości ustalone w chwili wyceny t na pozostały do wygaśnięcia opcji czas trwania, przy czym dla czytelności zapisu zaznaczenie zależności tych zmiennych od t zostało pominięte.

I n t e r p r e t a c j e:

1. Wartość dystrybuanty Φ⁢d2 określa prawdopodobieństwo (w świecie wolnym od ryzyka) wykonania opcji kupna.

2. Na wzór (9.25) na wycenę opcji kupna możemy spojrzeć jak na wartość portfela, który składa się z

   • Δ=Φ⁢d1 ,,sztuk” aktywa ryzykownego, oraz

   • inwestycji w instrument wolny od ryzyka (rachunek bankowy) na kwotę równą e-r⁢T-t⁢K⁢Φ⁢d2.

Zbadamy teraz zachowanie się formuł na wycenę w kilku skrajnych przypadkach. Zrobimy to w przypadku opcji kupna.

▶St≫K (opcja kupna mocno w cenie)

Wówczas d1, d2 są duże i wtedy Φ⁢d1 oraz Φ⁢d2 są bliskie jedności. Zatem, w tym przypadku

czyli wartość opcji kupna jest w przybliżeniu równa wartości kupionego kontraktu Forward. Możemy powiedzieć, że opcja kupna mocno w cenie jest równoważna kupionemu kontraktowi Forward.

▶St≪K (opcja kupna mocno poza ceną)

Wówczas d1≪0 oraz d2≪0 i wtedy Φ⁢d1 oraz Φ⁢d2 są bliskie zera. Zatem, w tym przypadku

czyli opcja jest prawie bezwartościowa.

▶σ→0

Niech Ft=e-r⁢T-t⁢St oznacza cenę forward w chwili t aktywa dla kontraktu, który zapada w T.

(a) Dla St>e-r⁢T-t⁢K, czyli gdy Ft>K

oraz

przy σ→0. Wówczas

(b) Dla St<e-r⁢T-t⁢K, czyli gdy Ft<K

Zatem

(c) Dla St=e-r⁢T-t⁢K, czyli gdy Ft=K

Wówczas

Pokazaliśmy więc, że gdy σ→0, to

▶t→T (warunek brzegowy dla opcji)

(a) Dla limt→T⁡St=ST>K

oraz

przy t→T. Wówczas

(b) Dla limt→T⁡St=ST<K

Zatem

(c) Dla limt→T⁡St=ST=K

o ile istnieje granica limt→T⁡ln⁡St/K/σ⁢T-t, i wtedy

Pokazaliśmy więc, że spełniony jest warunek brzegowy, w tym sensie, że

▶ Aktywo ryzykowne przynosi ,,dyskretny” dochód (np. akcja z dywidendą)

Niech D0 oznacza wartość bieżącą dochodu, który da aktywo w trakcie pozostałego do wygaśnięcia opcji okresu. Wówczas wartość opcji dana jest wzorami (9.25) – (9.28), w których w miejsce S0 podstawiamy S0-D0. Jeżeli zmienność σ jest estymowana na podstawie zaobserwowanych historycznych wartości aktywa, to zmienność którą należy użyć przy obliczaniu d1 i d2 jest w przybliżeniu tą wyestymowaną zmiennością historyczną przemnożoną przez współczynnik S0/S0-D0. Natomiast zmienność implikowana (patrz Wykład 11), jeśli jest stosowana do wyceny opcji, nie wymaga żadnej korekcji.

▶ Aktywo ryzykowne przynosi ,,ciągły” dochód (np. indeks giełdowy, kurs walutowy)

Zakładamy, że S spełnia (w świecie wolnym od ryzyka) następujące równanie

gdzie r jest stopą wolną od ryzyka, a δ jest stopą dochodu (stopą dywidendy), kapitalizowanymi w sposób ciągły. Korzystając z Lematu Itô, można łatwo pokazać, że wówczas proces St*=St⁢e-δ⁢T-t spełnia równanie

Ponadto, w chwili wygaśnięcia opcji ST*=ST. Zatem, opcje, których instrumentem podstawowym jest S płacące ciągłą dywidendę, możemy traktować jak opcje których instrumentem podstawowym jest aktywo S* niepłacące dywidendy i wycenić je wzorami (9.25)–(9.28) dla wartości początkowej aktywa S0*=S0⁢e-δ⁢T. Wzory te przyjmują wówczas następującą postać

gdzie

Analogicznie, jak poprzednio wzory na wycenę w dowolnej chwili czasu t<T mają postać

gdzie

Jeżeli w formułach Blacka-Scholesa (9.38)–(9.40) cenę bieżącą St instrumentu podstawowego wyrazimy przez cenę forward

otrzymamy tak zwane formuły Blacka

gdzie

Uzyskanie jawnych wzorów analitycznych na wycenę waniliowych opcji europejskich było możliwe dzięki szczególnej postaci funkcji wypłaty tych opcji i rozkładu zmiennej ST, które umożliwiały obliczenie wartości oczekiwanej we wzorze na wycenę instrumentu pochodnego

W przypadku, gdy obliczenie całki występującej w (9.44) jest niemożliwe lub trudne do przeprowadzenia, jedynym ze sposobów na uzyskanie przybliżonej wartości Π0 jest zastosowanie symulacji Monte Carlo.

Naiwny algorytm symulacji Monte Carlo dla opcji o europejskim typie wykonania:

1. Dla i=1,…,N

   • Generuj trajektorię Si procesu S w świecie wolnym od ryzyka startując z wartości początkowej S0 aż do chwili zapadalności instrumentu pochodnego T zgodnie z przyjętym modelem stochastycznym.

   • Dla wygenerowanej trajektorii Si wyznacz wartość wypłaty instrumentu pochodnego Xi=X⁢Si.

2. Oblicz przybliżoną wartość instrumentu pochodnego

   Π0≃e-r⁢T⋅1N⁢∑i=1NXi

   (9.45)

W przypadku gdy S spełnia równanie (9.14), generowanie trajektorii jest proste, bowiem znamy dokładne rozwiązanie tego równania – patrz (9.9) z μ=r. Korzystając z tego rozwiązania, wartości S w chwilach czasu t1<t2<…<tm=T generujemy w następujący sposób

gdzie t0=0 a ξk są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N⁢0,1.

Uwagi

1. Jeżeli wypłata instrumentu pochodnego zależy tylko od wartości instrumentu podstawowego w chwili T i dysponujemy dokładnym rozwiązaniem równania opisującego proces S, nie musimy symulować wartości Stk dla tk<T. Możemy od razu generować wartości ST. Na przykład, gdy S spełnia równanie (9.14), ST generujemy korzystając ze wzoru

   ST=S0⁢exp⁡r-12⁢σ2⁢T+σ⁢T⁢⁢ξ,⁢ gdzie ⁢ξ∼N⁢0,1.

   (9.47)

2. Jeżeli wypłata instrumentu pochodnego zależy od trajektorii procesu S (zależy od drogi) – jak np. przypadku opcji azjatyckich – musimy symulować wartości Stk (w chwilach czasu tk≤T) od których zależy wartość wypłaty.

3. W przypadku, gdy nie mamy dokładnego rozwiązania równania stochastycznego, które opisuje proces S, symulując ten proces musimy się posłużyć zdyskretyzowaną postacią równania stochastycznego. Na przykład, dla równania (9.2) napisanego dla procesu S, wartości S symulujemy korzystając z

   Stk=Stk-1+atk-1⁢tk-tk-1+btk-1⁢tk-tk-1⁢⁢ξk,⁢ dla ⁢k=1,…⁢m,

   (9.48)

   gdzie ξk są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N⁢0,1 i poruszając się dostatecznie małymi krokami czasowymi τk=tk-tk-1.