Wykażemy, że cena Πt⁢X tzn. cena arbitrażowa w chwili t wypłaty osiągalnej X zdefiniowana jako wartość procesu replikującego X jest dobrze określona i znajdziemy wzór pozwalający liczyć te cenę.

Następne twierdzenie opisuje klasę wypłat replikowalnych.

Twierdzenie 10.2 ma jedną wadę z punktu widzenia zastosowań w praktyce, nie podaje explicite sposobu, w jaki można replikować wypłatę, gdyż jego dowód korzysta z twierdzenia o reprezentacji martyngału, a zwykle nie znamy jawnej postaci procesu K w przedstawieniu (10.4). Gdy uda nam się znaleźć przedstawienie (10.4) dla którego znamy postać K, to wzory (10.5) zadają strategię replikującą.

W sytuacji gdy wypłata zależy tylko od ceny końcowej ST, to można podać portfel replikujący i jego wartość w jawnej postaci.

Kontrakt forward na kupno akcji. Zajmiemy się teraz kontraktem forward na kupno akcji na rynku Blacka-Scholesa B,S,Φ⁢P*. Jak wiemy, wypłata z takiego kontraktu jest zadana wzorem X=ST-K, gdzie K jest ceną kontraktu forward w chwili 0. Wypłata jest osiągalna, gdyż jest to kombinacja liniowa wypłat osiągalnych. Wiemy też, że

Πt(X)=BtEP*(ST-KBT|Ft).

(10.13)

Stąd, ponieważ S* jest P*-martyngałem, mamy

Π0⁢X=EP*⁢ST-KBT=S0-KBT.

Cena forward to taka wielkość K, że cena kontraktu w chwili 0 jest równa 0, wejście w kontrakt nic nie kosztuje, czyli Π0⁢X=0, tzn.

K=BT⁢S0=er⁢T⁢S0.

Znając K znajdujemy wartość kontraktu w chwili t korzystając z (10.13):

Πt⁢X=Bt⁢St*-K⁢BT-1=St-Bt⁢S0=St-er⁢t⁢S0.

(10.14)

A jak wygląda portfel replikujący? Z (10.14) wiemy, że φ0,φ1 replikuje X gdy φt0⁢Bt+φt1⁢St=St-er⁢t⁢S0, czyli na przykład gdy φt0=-S0, φt1=1. Ten portfel jest kombinacją portfeli ,,kup i trzymaj” (więc jest samofinansujący się); należy kupić jedną akcję pożyczając z banku kwotę na jej zakup i trzymać ten portfel bez zmian do momentu realizacji kontraktu. W powyższych rozważaniach nie wykorzystywaliśmy własności rynku specyficznych dla rynku Blacka-Scholesa, więc to rozumowanie jest prawdziwe dla dowolnego rynku z czasem ciągłym bez możliwości arbitrażu.

Zajmiemy się teraz szczególnym przypadkiem funkcji wypłaty, a mianowicie opcjami kupna. Wyprowadzimy sławne wzory Blacka-Scholesa.

Rozważymy teraz opcję sprzedaży. Ponieważ

ST-K+-K-ST+=ST-K,

więc

Πt⁢St-K+-Πt⁢K-ST+=Πt⁢ST-K.

Stąd otrzymujemy formułę zgodności ceny opcji kupna i ceny opcji sprzedaży (parytet kupna-sprzedaży):

C⁢St,t,T,K-P⁢St,t,T,K=St-K⁢e-r⁢T-t,⁢t∈0,T,

(10.19)

gdzie C⁢St,t,T,K i P⁢St,t,T,K oznaczają cenę w chwili t odpowiednio opcji kupna i opcji sprzedaży o cenie wykonania K i terminie wykonania T.

Z (10.19) i tw. 10.4 otrzymujemy cenę europejskiej opcji sprzedaży. Przyjmując

p⁢x,t:=K⁢e-r⁢t⁢N⁢-d2⁢x,t-x⁢N⁢-d1⁢x,t

(10.20)

mamy

Dowód wniosku pozostawimy jako zadanie (ćw. 10.4).

. Warto zauważyć, że żadna z wielkości występujących w formułach Blacka-Scholesa nie zależy od oczekiwanej stopy zwrotu inwestora μ (zatem od jego oceny ryzyka i od jego preferencji). Zależą one natomiast od:
– bieżącej ceny akcji St,
– ceny wykonania K,
– czasu T-t pozostałego do realizacji opcji,
– współczynnika zmienności σ,
– stopy procentowej bez ryzyka r.
Osoby zarządzające ryzykiem w instytucjach finansowych są zainteresowane tym, jak bardzo mogą zmienić się ceny opcji w ich portfelach inwestycyjnych, gdy zmienia się dokładnie jeden z powyższych parametrów, gdyż takie zmiany mają wpływ na wartość całego portfela. Zbadamy teraz pod tym kątem własności ceny opcji kupna. Dla prostoty rozważymy cenę opcji w chwili zero, tj.

C=C0=C⁢S0,0,T,K=C⁢s,0,T,K,σ,r,

gdzie s=S0. Zbadamy, jak zmienia się cena opcji, gdy zmieniamy jeden parametr, a pozostałe są zamrożone. Będziemy korzystali z jawnej postaci wzoru na cenę opcji kupna (10.15) lub z przedstawienia

C=EP*⁢s⁢eY-K⁢e-r⁢T+,⁢ gdzie ⁢⁢Y∼N⁢-σ2⁢T2,σ2⁢T.

(10.23)

Teraz przeanalizujemy zależność funkcji C od czynników wymienionych powyżej. Okazuje się, że

• a) Funkcja C jest funkcją rosnącą jako funkcja zmiennej s — bieżącej ceny akcji.

• b) Funkcja C jest malejąca jako funkcja zmiennej K — ceny wykonania.

• c) Funkcja C jest funkcją rosnącą jako funkcja czasu pozostałego do realizacji opcji.

• d) Funkcja C jest rosnąca jako funkcja zmiennej σ — współczynnika zmienności.

• e) Funkcja C jest rosnąca jako funkcja zmiennej r — stopy procentowej bez ryzyka.

W praktyce, by obliczyć cenę opcji musimy znać współczynnik zmienności σ. Jest to wielkość rynkowa i trzeba ją znaleźć patrząc na zachowanie rynku. W tym celu powszechnie stosowane są dwie metody:

a) metoda zmienności historycznej (historic volatility) — estymacja σ z danych z przeszłości,

b) metoda zmienności implikowanej (implied volatility).

Omówimy je kolejno.

Ad a). Metoda ta opiera się na danych z rynku — danych historycznych. Aby estymować σ obserwujemy ceny w ustalonych okresach czasu o równej długości (np. codziennie, co tydzień itp.). Oznaczmy:

n — liczba obserwacji; obserwacji dokonujemy w chwilach t1,t2,…,tn, takich, że odstępy czasu pomiędzy obserwacjami są równe,

τ — długość przedziału czasu pomiędzy obserwacjami (liczona w latach),

si — zaobserwowana cena akcji na końcu i-tego przedziału czasu i=1,…,n.

Niech S¯i będzie teoretyczną ceną akcji na końcu i-tego przedziału, tj. S¯i=Sti i niech

Ui=ln⁡S¯iS¯i-1

— są to tzw. logarytmiczne zwroty cen. Wtedy S¯i=S¯i-1⁢eUi, czyli Ui jest ciągłą stopą zwrotu w i-tym przedziale (ale nie w skali roku). Ponieważ założyliśmy, że rynek opisuje model Blacka-Scholesa, więc ze wzoru (9.5) wynika, że Ui są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie normalnym z wariancją σ2⁢τ i wartością średnią μ-σ22 zależną od preferencji inwestora (rynku).

Z rynku mamy obserwacje cen, czyli wielkości s1,s2,…,sn, a stąd możemy wyznaczyć wielkości u1,u2,…,un. Odchylenie standardowe zmiennej losowej Ui jest równe σ⁢τ, a estymatorem odchylenia standardowego Ui niezależnym od wartości średniej jest statystyka

σ^U=1n-1⁢∑i=1nui-u¯2,

gdzie u¯=1n⁢∑i=1nui. Podkreślmy, że ten estymator nie zależy od wartości średniej. Zatem σ^U estymuje σ⁢τ. Stąd współczynnik zmienności σ jest estymowany przez σ^=σU^τ. Błąd standardowy tej estymacji wynosi w przybliżeniu σ^2⁢n.

Wybranie właściwego n nie jest łatwe. Im większe n, tym lepszy estymator, ale używamy starszych danych, a jak powszechnie wiadomo, model Blacka-Scholesa w miarę poprawnie opisuje rynek dla krótkich okresów czasu. Z badań empirycznych wynika, że dla długich okresów czasu σ zmienia się w czasie (nie jest stacjonarne). Zawsze szacowanie przyszłej wartości σ na podstawie przeszłości obarczone jest błędem. Należy wybrać taki okres czasu, by estymator miał dobre własności i jednocześnie na tyle krótki, że założenie, iż rynek jest opisany przez model Blacka-Scholesa można zaakceptować. Na ogół przyjęcie długości okresu czasu używanego do estymacji jest dyktowane doświadczeniem osoby wykonującej takie szacowania. Podkreślmy jeszcze raz, że stosując metodę historyczną zakładamy, że parametr σ nie zmieni się w czasie, a więc metoda ta nie uwzględnia możliwych zmian wielkości parametru σ (czyli tego, że po pewnym czasie rynek opisuje model Blacka-Scholesa z inną zmiennością).

Ad b). Metoda zmienności implikowanej opiera się na przekonaniu, że zmienność jest zdeterminowana przez rynek.

Z (10.24) wynika, że cena opcji jest rosnącą funkcją parametru σ, gdy pozostałe czynniki są stałe. Zatem znając z rynku wielkości: St (cena akcji), K, T-t, r i Co⁢b⁢s=Co⁢b⁢s⁢St,t,T,K,r (cena opcji obserwowana na rynku) możemy znaleźć tę wartość σ, przy której cena teoretyczna opcji jest równa cenie rynkowej, czyli tę wartość σ dla której Co⁢b⁢s=Ct. Dokładniej, zakładamy, że r,t,T,K,St są ustalone i znane. Jak wiemy

Ct=C⁢St,t,T,K,σ,r=St⁢N⁢d1⁢St,T-t-K⁢e-r⁢T-t⁢N⁢d2⁢St,T-t.

Inaczej mówiąc, σi⁢m⁢p jest tą wielkością odchylenia standardowego stopy zwrotu z akcji, która przy zastosowaniu wzoru Blacka-Scholesa daje cenę teoretyczną opcji równą cenie opcji na rynku. Gdy Co⁢b⁢s⁢St,t,T,K,r>limσ→0+⁡C⁢St,t,T,K,σ,r, to istnieje dokładnie jedno dodatnie rozwiązanie (10.25), co wynika z (10.24). Zmienność implikowana σi⁢m⁢p jest rozwiązaniem tego nieliniowego równania (10.25). Rozważamy to w obecnej chwili t, znamy St, więc bez straty ogólności możemy założyć, że t=0.

Gdy ustalimy czas do wygaśnięcia opcji T i gdy rynek jest opisany przez model Blacka-Scholesa to σi⁢m⁢p powinno być stałe i równe σ z modelu. W rzeczywistości, gdy używa się opcji o różnych cenach wykonania dla tej samej akcji, czyli rozpatrujemy funkcję K→σi⁢m⁢p⁢K (implikowana krzywa zmienności), to σi⁢m⁢p jako funkcja K nie jest stałą, ma miejsce tzw. efekt uśmiechu zmienności (implikowana krzywa zmienności jest wypukła i ma minimum). W praktyce otrzymuje się różne kształty wykresu funkcji. Stąd jedną z metod znajdowania zmienności implikowanej dla rynku jest branie odpowiednio ważonej średniej ze współczynników zmienności implikowanej obliczanych dla różnych opcji, przy czym najlepiej brać te opcje, których cena jest bardziej czuła na zmiany parametru σ. Inną metodą jest wybór σi⁢m⁢p, w taki sposób by ceny teoretyczne n wybranych opcji były jak najbliższe cen rynkowych tych opcji, tj. by

Co⁢b⁢s⁢t,Ti,Ki≈C⁢St,t,Ti,Ki,σi⁢m⁢p,r

dla i=1,…,n. Zwykle wybiera się kryterium metody najmniejszych kwadratów, by ocenić, co to znaczy najbliższe, tj. rozwiązuje się problem minimalizacji

minσ⁡∑i=1nCo⁢b⁢si-Ci2,

gdzie Co⁢b⁢si=Co⁢b⁢s⁢t,Ti,Ki, Ci=C⁢St,t,Ti,Ki,σ,r i jako σi⁢m⁢p przyjmuje się σ rozwiązujące ten problem. Jeszcze innym wyjściem jest taka modyfikacja modelu, w której parametr σ przestaje być stały (są to modele stochastycznej zmienności).

Z punktu widzenia praktyka można zapytać: po co szukać σ, przecież na rynku mamy ceny opcji kupna i sprzedaży zadane przez prawo popytu i podaży na rynku. Do handlowania tymi opcjami nie trzeba znać σ. To prawda, ale mając σ mamy dobrze opisany model cen i model rynku. Wtedy potrafimy wyceniać opcje egzotyczne i opcje tworzone na żądanie, których ceny nie są dostępne na rynku w każdej chwili, gdyż nie są to instrumenty płynne (dokładniej, możemy wtedy zastosować procedury, najczęściej przybliżone, konstruowane w celu wyceny opcji egzotycznych, patrz 11.2). Ponadto znajomość współczynnika zmienności σ jest niezbędna do konstruowania portfeli zabezpieczających.

Warto podkreślić, że procedura znajdowania wielkości implikowanych była możliwa, gdyż znaliśmy jawny wzór na ceny opcji i mogliśmy go odwrócić. Stąd widać jak ważne są w tym modelu rynku który konstruujemy jawne wzory na ceny instrumentów którymi handlujemy.

Rozważymy teraz opcje na akcje płacące dywidendy (wzór Mertona z roku 1973). Zaczniemy od rozumowania nieformalnego.

Niech akcja o cenie równej St płaci dywidendę z ciągłą stopą q w skali roku, proporcjonalną do poziomu ceny (sensowność takiego spojrzenia uzasadnili Samuelson [Sam] oraz Samuelson i Merton [Sam-M], q jest stałą. Wypłata dywidendy powoduje spadek ceny akcji (część wartości idzie na dywidendę). Zatem jeśli cena akcji wzrośnie z St do ST, to gdyby nie było dywidendy, cena akcji wzrosłaby w okresie od t do T do wielkości ST⁢eq⁢T-t. Stąd cena opcji europejskiej na akcję o wartości St w chwili t płacącą dywidendę q jest równa cenie opcji na akcję nie płacącą dywidendy o cenie w chwili t równej St⁢e-q⁢T-t, gdyż obie opcje wypłacają tyle samo w momencie T (korzystamy z prawa jednej ceny). Możemy zatem użyć wzorów Blacka-Scholesa zmniejszając cenę akcji do St⁢e-q⁢T-t i otrzymane w ten sposób wzory będą dawały ceny opcji na akcje płacące dywidendy.

Wyprowadzimy teraz te wzory formalnie. Rozpatrzmy rynek, na którym jest rachunek bankowy i akcja płacąca dywidendy o cenie zadanej, jak zawsze w modelu Blacka-Scholesa, wzorem

d⁢St=μ⁢St⁢d⁢t+σ⁢St⁢d⁢Wt,⁢σ>0,⁢μ∈R.

(10.26)

Z założenia, proces wartości dywidendy Dt jest określony przez

d⁢Dt=q⁢St⁢d⁢t,

ale proces Dt nie jest aktywem, którym handlujemy, zatem trzeba dywidendę zainwestować w rynek: kupić akcje lub umieścić ją na rachunku bankowym. Biorąc pod uwagę dywidendę mówimy, że strategia φ0,φ1 jest samofinansującą się, gdy proces bogactwa

Vt⁢φ=φt1⁢St+φt0⁢Bt

spełnia równanie:

d⁢Vt⁢φ=φt1⁢d⁢St+φt1⁢d⁢Dt+φt0⁢d⁢Bt,

(10.27)

a więc (z postaci St i Dt) otrzymujemy

d⁢Vt⁢φ=φt1⁢μ+q⁢St⁢d⁢t+σ⁢φt1⁢St⁢d⁢Wt+φt0⁢d⁢Bt.

(10.28)

Rozpatrzmy proces St¯=eq⁢t⁢St (intuicyjnie St¯ jest procesem ceny akcji zwiększonym o stratę wynikającą z wypłaty dywidendy z ciągłą stopą q). Ze wzoru na całkowanie przez części otrzymujemy, że St¯ spełnia

d⁢St¯=μ+q⁢St¯⁢d⁢t+σ⁢St¯⁢d⁢Wt.

(10.29)

Stąd St*¯=St¯Bt, czyli zdyskontowany proces St¯ spełnia

d⁢St*¯=μ+q-r⁢St*¯⁢d⁢t+σ⁢St*¯⁢d⁢Wt.

(10.30)

Zmieniając miarę na równoważną miarę probabilistyczną Q o gęstości

d⁢Qd⁢P=exp⁡r-μ-qσ⁢WT-12⁢r-μ-qσ2⁢T

(10.31)

i korzystając z tego, że

W¯t=Wt-r-μ-qσ⁢t

jest procesem Wienera na Ω,F,Q względem Ftt otrzymujemy z (10.30):

d⁢St*¯=σ⁢St*¯⁢d⁢W¯t.

(10.32)

Zbadajmy teraz dynamikę procesu wartości portfela φ spełniającego (10.28). Ze wzoru Itô i z (10.29) mamy

d⁢Vt⁢φ=φt1⁢e-q⁢t⁢d⁢St¯+φt0⁢d⁢Bt.

(10.33)

Dalej ze wzoru na całkowanie przez części, z (10.33) i (10.32) mamy

d⁢Vt*⁢φ=φt1⁢e-q⁢t⁢d⁢St*¯=φt1⁢σ⁢St*⁢d⁢W¯t,

(10.34)

więc proces Vt*⁢φ jest Q-lokalnym martyngałem. Dlatego na rynku, na którym handlujemy akcją płacącą dywidendy oraz istnieje rachunek bankowy można w standardowy sposób zdefiniować zbiór strategii dopuszczalnych Φd⁢Q, arbitraż i model rynku bez możliwości arbitrażu B,S,Φd⁢Q. Powtarzając poprzednie rozumowania otrzymujemy wzory na ceny opcji kupna na tym rynku:

Ctq=BtEQ(ST-K+BT|Ft)=e-q⁢Te-r⁢T-tEQ((ST¯-eq⁢TK)+|Ft).

A ponieważ S¯* jest Q-martyngałem, więc możemy powtórzyć rozumowanie przeprowadzone dla rynku Blacka-Scholesa albo starannie przyglądając się tamtym rachunkom zobaczyć, że

Ctq=e-q⁢T⁢C⁢St¯,t,T,K⁢eq⁢T,

gdzie C jest wzorem dającym wycenę opcji kupna w modelu Blacka-Scholesa. W ten sposób otrzymujemy wzory Mertona:

Podkreślmy jeszcze raz, że wzory wyprowadziliśmy przy założeniu, że wypłacana dywidenda jest stała. Gdy q zmienia się, to jako przybliżenie q należy wziąć średnią z rocznych stóp. Stopa dywidendy q, którą można otrzymać z danych historycznych, zmienia się nieznacznie w ciągu kwartału, zatem dla opcji o krótkim terminie zapadalności można zakładać, że stopa q jest stała. W rzeczywistości założenie, że pojedyncza spółka płaci dywidendę zgodnie z modelem Samuelsona jest nierealistyczne. Ale okazuje się, że ten model można stosować z powodzeniem do indeksów giełdowych. W tym celu zakładamy, że indeks jest opisywany przez geometryczny proces Wienera. Teoretycznie tak nie musi być, bo jest to średnia ważona procesów cen, które są geometrycznymi procesami Wienera. Ale dla zastosowań praktycznych taki model jest sensowny i dobrze przybliża rzeczywistość.

Opcje walutowe. Wzory Mertona (10.35) i (10.36) można zastosować do wyceny opcji walutowych, czyli opcji wystawianych na walutę zagraniczną a wycenianych w walucie krajowej. Cena waluty zagranicznej S jest po prostu kursem wymiany i jest zadana wzorem (9.2) z odpowiednio dobranymi μ, σ. Posiadacz waluty zagranicznej otrzymuje dywidendę q, która jest stopą procentową bez ryzyka rf dla tej waluty. Zatem można zastosować wzory (10.35) i (10.36) dla q=rf. Jak łatwo zauważyć (patrz ćw. 10.13), cena kontraktu forward w chwili t na dostawę jednostki waluty zagranicznej w momencie T przy kursie wymiany St wynosi:

Ft=FS⁢t,T=er-rf⁢T-t⁢St.

(10.39)

Korzystając z tego otrzymujemy wzory Garmana-Kohlhagena, niezależnie otrzymane przez Bigera i Hulla (1983), na ceny (w walucie krajowej) opcji kupna i sprzedaży wystawianych na walutę obcą:

	Ctrf	=	St⁢e-rf⁢T-t⁢N⁢d1¯-K⁢e-r⁢T-t⁢N⁢d2¯=e-r⁢T-t⁢Ft⁢N⁢d1¯-K⁢N⁢d2¯,
	Ptrf	=	K⁢e-r⁢T-t⁢N⁢-d2¯-St⁢e-rf⁢T-t⁢N⁢-d1¯=
		=	e-r⁢T-t⁢K⁢N⁢-d2¯-Ft⁢N⁢-d1¯,

gdzie

	d1¯	=	d1¯⁢Ft,T-t=ln⁡FtK+σ22⁢T-tσ⁢T-t,
	d2¯	=	d2¯⁢Ft,T-t=ln⁡FtK-σ22⁢T-tσ⁢T-t.

W standardowy sposób można otrzymać cenę w walucie krajowej dowolnej wypłaty X na rynku zagranicznym. Oczywiście jest ona równa cenie tej wypłaty w walucie zagranicznej (patrz ćw. 10.14).