Celem tego paragrafu jest podanie podstawowych rezultatów dotyczących opcji amerykańskich w modelu Blacka-Scholesa. Jak wiemy, opcje te dają posiadaczowi prawo do wykonania opcji w dowolnej chwili, dlatego analogicznie jak w przypadku rynku skończonego trzeba zastosować inne podejście niż w przypadku opcji europejskich.

Zaczniemy od definicji opcji amerykańskiej. Niech g:R+×0,T→R+ będzie funkcją ciągłą.

Wymiennie z terminem opcja amerykańska z funkcją wypłaty g będziemy używać terminu opcja amerykańska z procesem wypłaty Zt lub opcja amerykańska o wypłacie Xa.

Intuicyjnie, moment wykonania opcji amerykańskiej bazuje na informacji o cenach. O tym, czy wykonać opcję w momencie t decydujemy obserwując ceny do chwili t. Dlatego moment wykonania jest momentem stopu i jest elementem rodziny T0,T, czyli rodziny momentów stopu o wartościach w 0,T (to uzasadnia założenie c w definicji). Wypłata zależy od wartości akcji Sτ w chwili realizacji, a nie od całej trajektorii S do momentu τ (stąd założenie (11.1) w definicji). Typowe przykłady opcji amerykańskich to opcja kupna o wypłacie w chwili realizacji:

a także opcja sprzedaży o wypłacie w chwili realizacji:

Zatem funkcja wypłaty dla amerykańskiej opcji kupna ma postać gC(x,t)==(x-K)+, a dla amerykańskiej opcji sprzedaży ma postać gP⁢x,t=K-x+. Często dopuszcza się, że cena wykonania opcji zmienia się wraz z czasem, ale jest funkcją deterministyczną, tj. K:0,T→R+, wtedy np. zmodyfikowana amerykańska opcja kupna ma wypłatę postaci

tj. gC⁢x,t=x-Kt+. Jest to przykład tzw. niestandardowej amerykańskiej opcji kupna (nonstandard american call option). Są to opcje, dla których warunki wczesnej realizacji są nietypowe. Przykładowo, cena realizacji może zależeć od czasu i tak np. dla 5-letniej opcji kupna cena wykonania Kt może wynosić 50 przez pierwszy rok, 55 przez drugi i trzeci, a 60 w ostatnich dwu.

Celem tego paragrafu jest znalezienie racjonalnej ceny i sensownego momentu wykonania opcji amerykańskiej za pomocą argumentów arbitrażowych. Dla prostoty zapisu skoncentrujemy się na momencie t=0.

Przez strategię ,,kup i trzymaj” (buy-and-hold) związaną z opcją amerykańską o wypłacie Xa rozumiemy parę c,τ, c∈R, τ∈T0,T. Interpretacja tej strategii jest następująca: gdy c>0, to kupujemy c jednostek opcji amerykańskiej w chwili 0, a gdy c<0 to przeprowadzamy krótką sprzedaż tych jednostek w chwili 0 i trzymamy je w portfelu do momentu τ, w którym zamykamy pozycję.

W definicji strategii samofinansującej się zakładamy, że gdy wypłata amerykańska jest realizowana w momencie τ, to pozycja w aktywie jest w tym momencie zamykana i wszystko co pozostaje, jest wkładane na rachunek oszczędnościowy.

Przypomnijmy, że strategia φ=φ0,φ1 jest samofinansującą się w modelu Blacka-Scholesa, gdy proces bogactwa Vt⁢φ=φt1⁢St+φt0⁢Bt spełnia

Wprowadziliśmy nowy instrument bazowy, którym możemy handlować na rynku, opcje amerykańskie. Gdy oznaczymy przez φ2 liczbę opcji w portfelu, to strategię ,,kup i trzymaj” zapiszemy wzorem φt2=c⁢10,τ⁢t.

Gdy U0 jest wartością w chwili 0 opcji amerykańskiej z wypłatą Xa, to wartości portfela φ¯=φ,c,τ=φ0,φ1,φ2 w momencie początkowym i końcowym wynoszą:

Mówimy, że portfel samofinansującej się φ¯ jest dopuszczalny, gdy φ jest strategią dopuszczalną. Klasę strategii dopuszczalnych oznaczymy przez Ψ. Definiujemy klasę portfeli arbitrażowych:

Równoważnie jest to klasa portfeli dopuszczalnych φ¯, takich że

bo istnieje rachunek oszczędnościowy ze stopą procentową r≥0.

Te dwa rodzaje arbitrażu wynikają z niesymetrycznej pozycji sprzedawcy i nabywcy opcji amerykańskiej. Nabywca może wybrać termin wykonania, a sprzedawca musi zabezpieczyć wypłatę.

Z definicji wynika, że na rynku nie ma arbitrażu, gdy zachodzą dwa warunki:

a) dla wszystkich φ i wszystkich τ mamy φ,1,τ∉A,
oraz
b) dla każdego φ istnieje τ takie, że φ,-1,τ∉A.

Punkt a) mówi, że posiadacz opcji amerykańskiej nie może znaleźć momentu wykonania opcji τ i strategii φ działania na rynku akcji i rachunku bankowego dających zysk bez ryzyka. Natomiast punkt b) oznacza, że niezależnie od tego, jaką politykę prowadzi sprzedawca opcji (czyli niezależnie od φ), nabywca może wybrać taki moment wykonania τ, że sprzedawca nie ma zysku bez ryzyka.

Okazuje się, że założenie braku arbitrażu prowadzi do istnienia jednoznacznie wyznaczonej ceny arbitrażowej.

Przypomnijmy, że supremum istotne rodziny zmiennych losowych ζαα∈A jest to jedyna zmienna losowa η (ozn. η=e⁢s⁢s⁢u⁢pα∈A⁢ζα) o własnościach:

• a) ζα≤ηP-p.n. dla każdego α,

• b) jeśli ζα≤γ P-p.n. dla każdego α, to Pη≤γ=1.

Idea dowodu tw. 11.1 jest analogiczna do idei dowodu twierdzenia podającego cenę arbitrażową wypłaty amerykańskiej dla modelu z czasem dyskretnym. Korzysta się z ogólnych faktów z teorii optymalnego stopowania. Gdy Zt*=e-r⁢t⁢g⁢St,t jest zdyskontowanym procesem wypłaty, to dowodzimy, że obwiednia Snella procesu Z*, czyli najmniejszy nadmartyngał majoryzujący Z*, jest postaci

i daje nam cenę arbitrażową Πt. Ponadto moment wykonania zadany jest wzorem:

W szczególności

a optymalny moment wykonania

Szczegóły techniczne można znaleźć w Myneni [Myn], Karatzas [Kar]. Warto zauważyć, że zachodzi też twierdzenie odwrotne: warunek

implikuje, że na rynku B,S,Xa,Ψ nie ma możliwości arbitrażu (patrz ćw. 11.2).

Można udowodnić (patrz ćw. 11.1), że istnieje portfel dopuszczalny φ, spełniający warunki: V0⁢φ=U0 i

czyli φ jest portfelem zabezpieczającym opcję amerykańską z kapitałem początkowym równym cenie opcji amerykańskiej. Dla tego portfela zachodzi

Ze wzoru (11.4) wynika, analogicznie jak w przypadku dyskretnym, że cena opcji amerykańskiej o wypłacie Ztt≤T jest nie mniejsza niż cena opcji europejskiej o wypłacie ZT. Ponadto

Z tw. 11.2 wynika, że dla znalezienia ceny amerykańskiej opcji kupna możemy korzystać ze wzoru Blacka-Scholesa na cenę europejskiej opcji kupna.

W przypadku opcji sprzedaży cena amerykańska opcji jest różna od ceny europejskiej. Ma różne dobre własności, ale nie istnieje postać jawna ceny amerykańskiej opcji sprzedaży. Do wyliczenia tej ceny stosuje się inne metody: metody Monte Carlo, metody quasi Monte Carlo, metody aproksymacji modelem CRR lub metody numeryczne związane z rozwiązywaniem równań różniczkowych cząstkowych.

Są to opcje inne niż standardowe opcje kupna/sprzedaży europejskie i amerykańskie (które z kolei nazywa się opcjami waniliowymi). Zatem opcje egzotyczne mają funkcje wypłaty inne niż funkcje wypłaty związane z opcjami waniliowymi. Nie zawsze znajdują się one w obrocie giełdowym, są raczej opcjami na zamówienie (over the counter options). Są oferowane przez instytucje finansowe dla swoich klientów. Opiszemy przykładowo kilka najczęściej pojawiających się rodzajów takich opcji. Wyceny tych opcji pozostawimy jako zadanie (często bardzo trudne, jak w przypadku opcji azjatyckich).

1. Niestandardowe opcje amerykańskie, które opisaliśmy w poprzednim paragrafie.

2. Opcje bermudzkie (Bermudan options). Są to opcje, które mogą być realizowane tylko w pewne dni (zatem opcje te, obrazowo mówiąc, tworzą pomost pomiędzy opcjami europejskimi i amerykańskimi). Można je traktować jako specyficzny rodzaj opcji amerykańskich, dla których funkcja wypłaty g⁢x,t=0 dla tych chwil t, kiedy opcji nie możemy zrealizować.

3. Opcje startujące w przyszłości (forward start options). Niech t0∈0,T. W chwili t0 jedna strona kontraktu otrzymuje opcję z terminem wygaśnięcia T i ceną wykonania St0 i płaci za to drugiej stronie w chwili zero. Przykładowo, dla opcji kupna startującej w przyszłości wypłata wynosi X=ST-St0+.

4. Opcje wyboru (chooser options, as-you-like-it options). Opcja, której właściciel w określonej chwili t0 w przyszłości ma prawo zdecydować czy chce, żeby była to opcja sprzedaży czy kupna (czas realizacji T i cena wykonania K są określone z góry w momencie sprzedaży opcji). Właściciel opcji w chwili t0 wybiera opcję o większej wartości, stąd wartość tej opcji w chwili t0 wynosi

co pozwala łatwo ją wycenić.

5. Opcje binarne (binary options). Są to opcje, których wypłata zależy w sposób nieciągły od ceny instrumentu pierwotnego ST w momencie wykonania opcji T.

Zauważmy, że opcje powyższe można porównać do zakładu, czy cena waloru jest większa czy nie od z góry ustalonego progu K. Opcja kupna daje niezerową wypłatę, gdy cena instrumentu pierwotnego ST jest większa niż stała K (cena wykonania), natomiast opcja sprzedaży daje zysk, gdy ST<K.

Takie opcje na ogół łatwo wyceniać (patrz ćw. 11.5). Inna spotykana nazwa takich opcji to opcje cyfrowe (digital).

6. Opcje zależne od trajektorii (path-dependent options). Są to opcje, dla których funkcja wypłaty zależy od cen akcji w całym okresie trwania kontraktu, tj. X=f(S.), gdzie f jest funkcją rzeczywistą określona na przestrzeni funkcji ciągłych C⁢0,T (dla ustalonej ω trajektoria procesu cen S.ω należy do przestrzeni C⁢0,T).

a) Przykład takich opcji stanowią opcje azjatyckie, dla których wypłata zależy od średniej ceny waloru w określonym przedziale czasowym t0,T. Są one bardzo popularne na rynku, gdyż są tańsze do odpowiadających im standardowych opcji europejskich, są użyteczne na rynkach o małej płynności, a więc na rynkach o większym ryzyku, a ponadto branie średniej zabezpiecza przed manipulacją cenami blisko daty wygaśnięcia opcji. Wypłatą z opcji kupna jest X=max⁡0,Ss⁢r-K, a z opcji sprzedaży X=max⁡0,K-Ss⁢r, gdzie K jest ceną realizacji opcji, a Ss⁢r średnią cena waloru. Są różne sposoby obliczania średniej Ss⁢r np. dla kontraktu zawartego na n dni można wziąć Ss⁢r jako średnią arytmetyczną z cen zamknięcia w i-tym dniu i=1,2,…,n, czyli Ss⁢r=1n⁢∑i=1nS⁢iN, gdzie N to liczba dni handlu w roku (zwykle przyjmuje się N równe 252), ale też można wziąć jako Ss⁢r średnią geometryczną. Rozważa się też opcje ze średnimi ,,ciągłymi”:

— średnią arytmetyczną Ss⁢r=1T-t0⁢⁢∫t0TS⁢t⁢d⁢t,

— średnią geometryczną Ss⁢r=exp⁡1T-t0⁢⁢∫t0Tln⁡S⁢t⁢d⁢t

(te średnie otrzymujemy przez przejście graniczne dla średnich liczonych w sposób dyskretny). Opcje opisane powyżej są to opcje azjatyckie I rodzaju (average value Asian option). Rozważa się też opcje azjatyckie II rodzaju (average strike Asian option) — są to opcje o wypłatach X=max⁡ST-Ss⁢r,0 (dla opcji kupna) i X=max⁡0,Ss⁢r-ST (dla opcji sprzedaży).

b) Innym przykładem opcji zależnych od trajektorii są opcje typu lookback (lookback option).

Są to opcje, z których dochód zależy od maksimum lub minimum ceny instrumentu podstawowego. Właściciel opcji kupna typu lookback ma zagwarantowane kupno waloru (akcji) po najniższej cenie, po jakiej walor był sprzedawany w okresie ważności opcji, natomiast właściciel opcji sprzedaży sprzedaje walor po najwyższej cenie w okresie 0,T. Zatem wypłata z opcji kupna wynosi X=ST-Sm⁢i⁢n, a wypłata z opcji sprzedaży to X=Smax-ST, gdzie Smin, Smax są, odpowiednio, najmniejszą i największą ceną instrumentu pierwotnego w ustalonym okresie 0,T.

7. Opcje barierowe (barrier options). Te opcje są też zależne od trajektorii. Wypłata z tych opcji zależy od tego, czy w ustalonym okresie czasu cena waloru spadnie poniżej pewnej ustalonej wartości, lub/oraz czy cena waloru przekroczy pewną ustaloną wartość. Te ustalone wartości nazywa się barierami. Zasadniczo dzielimy je na opcje wyjścia (knock-out option) i wejścia (knock-in option). Opcje wyjścia przestają istnieć, gdy cena waloru przekroczy pewną ustaloną barierę, a opcje wejścia zaczynają istnieć, gdy cena waloru przekroczy barierę.

Standardowo wypłata z opcji barierowych jest wypłatą z opcji waniliowych, gdy zostanie spełniony warunek związany z barierą. Standardowo dla opcji kupna występują następujące rodzaje opcji:

• Opcje, które zostają unieważnione, gdy zachodzi jeden z przypadków:

  • cena waloru spadnie poniżej bariery B (opcja down-and-out), wtedy wypłata dla opcji kupna wynosi: X=ST-K+⁢1{mint≤TSt≥B},

  • cena waloru przekroczy barierę B (opcja up-and-out), wtedy wypłata dla opcji kupna wynosi: X=ST-K+⁢1{maxt≤TSt≤B}.

• Opcje, które uzyskują ważność, gdy zachodzi jeden z przypadków:

  • cena waloru przekroczy barierę B (opcja up-and-in), wtedy wypłata dla opcji kupna wynosi: X=ST-K+⁢1{maxt≤TSt≥B},

  • cena waloru spadnie poniżej bariery B (opcja down-and-in), wtedy wypłata dla opcji kupna wynosi: X=ST-K+⁢1{mint≤TSt≤B}.

Warto zauważyć, że suma wypłat z opcji typu up, jak i typu out są równe wypłacie ze standardowej opcji kupna.

Analogicznie określone są standardowe opcje barierowe związane z opcją sprzedaży.

Istnieje też wiele innych opcji tego typu (tzw. opcje kombinowane) np. opcja o wypłacie

8. Opcje z nieliniową wypłatą. Są to opcje, których wypłata jest nieliniową funkcją ceny instrumentu pierwotnego ST w momencie wykonania opcji T, zatem opcje kupna są to opcje o wypłacie X=h⁢ST-K+, gdzie h jest dowolną nieliniową funkcją np. opcja potęgowa z parametrem α jest to opcja dla której h⁢x=xα, α>0, α≠1 .

Istnieje wiele innych opcji egzotycznych, m.in. złożone, kwantylowe, koszykowe. Więcej na ten temat można znaleźć np. w książkach Kwoka [Kwok] oraz A. Werona i R. Werona [Wer].

Jak już wspominaliśmy, wycena opcji egzotycznych jest na ogół trudnym zadaniem i bardzo często otrzymuje się formuły niejawne. Czasem można znaleźć wzór analityczny, np. dla opcji potęgowej z parametrem α otrzymujemy

gdzie rα=α⁢r-σ22+α2⁢σ22 (patrz ćw. 11.3).

Nie potrafimy już jednak znaleźć jawnych wzorów na cenę opcji nieliniowej o bardziej skomplikowanej postaci funkcji h. W takich przypadkach często stosuje się metody symulacyjne opierające się na mocnym prawie wielkich liczb. Zwykle takie wypłaty wycenia się za pomocą symulacji komputerowych i procedur numerycznych bazujących na przybliżaniu geometrycznego ruchu Browna przez model CRR.

Jak wiemy, osiągalna wypłata X w chwili T ma w chwili 0 cenę Π0⁢X=e-r⁢T⁢EP*⁢X. Zatem, aby znaleźć cenę wypłaty X, należy obliczyć wartość oczekiwaną EP*⁢X przy mierze martyngałowej P*. Do wyliczenia tej wartości oczekiwanej używamy metod Monte Carlo. Symulujemy przebieg trajektorii procesu ceny instrumentu bazowego S w skończonej liczbie punktów (korzystamy z tego, że przy mierze martyngałowej P* ceny S mają rozkład normalny (wzór (9.16)), który znamy, gdy znamy r i σ). Następnie obliczamy wartość wypłaty X przy tej realizacji trajektorii i otrzymujemy liczbę x1. Powtarzamy to postępowanie niezależnie m razy i otrzymujemy z tej symulacji ciąg wypłat x1,x2,…,xm. Korzystając z mocnego prawa wielkich liczb otrzymujemy, że cena wypłaty wynosi w przybliżeniu

Klasyczna metoda Monte Carlo jest nieefektywna, więc stosuje się jej ulepszenia, ale idea wyceny pozostaje ta sama. Więcej informacji na ten temat, a także na temat innych metod numerycznych stosowanych w finansach, czytelnik może znaleźć w monografiach Glassermana [Gla], Jäckela [Ja] i Seydela [Sey].