Celem tego paragrafu będzie przedstawienie metody wyceny opcji na kontrakty futures. Gdy rozważamy instrument o cenie S, to na rynku bez możliwości arbitrażu cena (kurs rozliczeniowy) fS⁢t,T kontraktu futures z datą wykonania T w chwili t na instrument o cenie St jest równa

fS⁢t,T=er⁢T-t⁢St

(12.1)

(co wynika z rozumowania arbitrażowego). Gdybyśmy zatem wyceniali opcje kupna na kontrakt futures z datą realizacji T na akcje na rynku Blacka-Scholesa, to fS⁢T,T=ST i wypłata wynosi

CTf:=fS⁢T,T-K+=ST-K+,

(12.2)

czyli możemy skorzystać ze wzoru Blacka-Scholesa dla ceny opcji kupna. Problem zaczyna się gdy data realizacji opcji T na kontrakt futures jest różna od daty zamknięcia tego kontraktu futures U, gdyż wtedy wypłata nie spełnia warunku (12.2) (istotnie, fS⁢T,U≠ST i CTf=(fS(T,U)-K)+≠(ST-K)+) i powyższe rozumowanie zawodzi. Jest to sytuacja typowa na rynku. Spróbujmy na to spojrzeć inaczej, tak by ominąć tę trudności. Ponieważ na rynku Blacka-Scholesa cena St jest dana wzorem (9.2), więc z (12.1) dla kontraktu futures o terminie wykonania U=T mamy

fS⁢t,U=er⁢U-t⁢S0⁢eμ-12⁢σ2⁢t+σ⁢Wt=fS⁢0,U⁢eμ-r-12⁢σ2⁢t+σ⁢Wt.

Oznaczając ft=fS⁢t,U otrzymujemy stąd, że ft jest jedynym rozwiązaniem równania:

d⁢ft=μ-r⁢ft⁢d⁢t+σ⁢ft⁢d⁢Wt,⁢t∈0,U,f0=S0⁢er⁢U.

Ponieważ kontrakt futures nie musi być związany z konkretnym istniejącym aktywem, więc zapominamy o akcji i na kontrakt patrzymy jako na instrument finansowy, którego cena spełnia równanie:

d⁢ft=ft⁢μf⁢d⁢t+σf⁢ft⁢d⁢Wt,t≤U,f0=γ,

(12.3)

gdzie γ, μf, σf>0 są stałymi. Instrument ten w dalszym ciągu jednak odzwierciedla sytuację, że w chwili t umawiamy się, iż w przyszłości w chwili T zapłacimy ustaloną cenę za ustalone w umowie dobro. Mając równanie opisujące ceny instrumentu finansowego, konstruujemy rynek kontraktów futures postępując analogicznie jak przy konstrukcji modelu rynku Blacka-Scholesa. Na rynku futures mamy dwa aktywa: bezryzykowne o cenie B i kontraktu futures o cenie f. Strategia to, jak zawsze, para procesów adaptowanych φ=φ0,φ1, ale proces bogactwa jest zadany wzorem

Vtf⁢φ=φt0⁢Bt,⁢t∈0,T,

(12.4)

gdyż wejście w kontrakt futures nic nie kosztuje. Mówimy, że φ jest strategią samofinansującą się, gdy

Vtf⁢φ=V0f⁢φ+∫0tφu0⁢d⁢Bu+∫0tφu1⁢d⁢fu.

(12.5)

Dowód tego twierdzenia pozostawiamy jako ćwiczenie. Warto zauważyć, że Ft=FtW=Ftf.

Od tego momentu dla wygody będziemy pisać μ, σ zamiast μf,σf, czyli będziemy opuszczali wskaźnik dolny f we wzorach związanych z ft. Z warunku (12.7) wynika, że

ft=f0⁢⁢exp⁡σ⁢W¯t-σ2⁢t2,

(12.8)

a więc ft jest martyngałem dodatnim. Mówimy, że strategia φ jest dopuszczalna, gdy jest strategią samofinansującą się i Bt-1⁢Vt⁢φ jest P¯-martyngałem. Zbiór takich strategii będziemy oznaczać przez Φf. Modelem Blacka rynku futures nazywamy trójkę Mf=B,f,Φf. Jest to rynek wolny od arbitrażu (ćw. 12.3).

Tak samo, jak dla rynku Blacka-Scholesa, wprowadzamy pojęcie ceny arbitrażowej. Wycenę opcji kupna przedstawia

Wzór (12.9) jest nazywany wzorem Blacka. Dla cen opcji kupna i sprzedaży na kontrakty futures zachodzi związek, nazywany jak zawsze formułą zgodności (parytetem)

Ctf-Ptf=e-r⁢T-t⁢ft-K.

(12.10)

Stąd otrzymujemy wzór na cenę opcji sprzedaży

Ptf=e-r⁢T-t⁢K⁢N⁢-d2¯⁢ft,T-t-ft⁢N⁢-d1¯⁢ft,T-t.

(12.11)