Zaczniemy od odpowiedzi na postawione w rozdziale I pytania o wycenę i zabezpieczenie na przykładzie najprostszego rynku finansowego. Jest to rynku jednookresowy dwustanowy. Na tym rynku transakcje odbywają się w dwu chwilach: 0 i T oraz są możliwe dwa scenariusze wypadków, zatem przestrzeń zdarzeń elementarnych to Ω=ω1,ω2. Zwykle umawiamy się, że ω1 oznacza sytuację interpretowaną jako korzystna, zaś ω2 jako niekorzystna. Ponadto F=2Ω, a prawdopodobieństwo P (tzw. prawdopodobieństwo rzeczywiste) jest takie, że P⁢ω1=p>0, P⁢ω2=1-p>0.

Na rynku istnieją dwa papiery wartościowe: jeden ryzykowny (np. akcje) i drugi pozbawiony ryzyka — inwestycja polegająca na włożeniu pieniędzy na rachunek bankowy. Ryzyko rozumiemy tu jako niemożność przewidzenia ceny w przyszłości, zależy ona od zajścia konkretnego scenariusza. Niech:

St oznacza cenę papieru ryzykownego (za jedną jednostkę) w chwili t,

Bt oznacza cenę papieru bez ryzyka (za jedną jednostkę) w chwili t,

gdzie t∈0,T. Zakładamy, że stopa procentowa jest stała i nieujemna, zatem wynosi r (r≥0) w okresie czasu od 0 do T, czyli w naszym przypadku mamy

Natomiast

bowiem ST przyjmuje dwie wartości, gdyż mamy do czynienia z dwoma scenariuszami. Możemy bez straty ogólności przyjąć, że Su>Sd (dlatego ω1 nazwaliśmy scenariuszem korzystnym). Cenę ST możemy zapisać w innej, przydatnej czasami postaci:

gdzie Z-1 wskazuje, o ile procent zmieniła się cena początkowa,

Pierwsza próba wyceny kontraktu związana jest z wykorzystaniem metod matematyki ubezpieczeniowej. Zaprezentujemy ją na przykładzie.

Zajmiemy się teraz znalezieniem właściwego sposobu wyceny opcji. Chcemy wycenić je w zgodzie z cenami aktywa bazowego danymi przez rynek, a więc szukamy ceny opcji w terminach cen rynkowych aktywa bazowego. Jak już zauważyliśmy, opcję europejską można utożsamiać z wypłatą. Od tej pory każde aktywo pochodne będziemy utożsamiali z wypłatą X generowaną przez to aktywo. Wypłata zależy od scenariusza, więc X jest zmienną losową.

W tym modelu jest oczywiste, że dowolna wypłata X=f⁢ST dla pewnego f. Okazuje się, że można dobrze wycenić wypłatę korzystając z idei portfela replikującego. Portfelem nazwiemy parę liczb φ=β0,α0, gdzie α0 jest liczbą posiadanych akcji w chwili zero, zaś β0 jest wysokością wkładu bankowego (ewentualnie wielkością kredytu, gdy β0<0) w chwili zero. Dla przykładu, portfel 4,-2 oznacza, że w portfelu są cztery akcje, czyli inwestor kupił 4 akcje i pożyczył 2 z banku (2 jednostki pieniądza). Każda para β,α∈⁢R2 tworzy portfel, co odzwierciedla fakt, że można handlować dowolną liczbą aktywów (są one doskonale podzielne), dopuszczenie wartości ujemnych β oznacza, że możemy dowolnie dużo pożyczać, a dopuszczenie wartości ujemnych α oznacza, że rynek ten dopuszcza także krótką sprzedaż (short-selling) akcji. Krótka sprzedaż polega na pożyczeniu i sprzedaży akcji w chwili 0 oraz odkupieniu tej samej liczby akcji i ich zwrocie w chwili T. Posługując się żargonem finansowym, mówimy, że inwestor zajął pozycję krótką w akcjach. Zbiór wszystkich możliwych portfeli oznaczać będziemy przez Φ. W modelu, który przyjęliśmy Φ=⁢R2. Przy innych założeniach o rynku zbiór wszystkich rozważanych portfeli może mieć inną postać, np. gdy nie dopuszczamy krótkiej sprzedaży, a dopuszczamy możliwość wzięcia kredytu to Φ=β,α:⁢α≥0,β∈R.

Niech φ=β0,α0 będzie portfelem inwestora. Wartość (bogactwo) portfela φ=β0,α0 w chwili t, oznaczane przez Vt⁢φ, wynosi dla t=0 i t=T odpowiednio:

Tak jest, gdyż skład portfela ustaliliśmy w chwili początkowej (t=0) i nie ulega on zmianie do chwili końcowej równej T.

Inwestor sprzedający wypłatę X musi umieć ją zabezpieczyć, co oznacza, że wartość portfela, który sprzedający wypłatę zbudował za otrzymane ze sprzedaży pieniądze musi być w chwili T równa X.

Portfel replikujący jest doskonałym zabezpieczeniem wypłaty X, gdyż eliminuje całkowicie ryzyko związane z niepewnością, który scenariusz się zrealizuje. Na pytanie, dla jakich wypłat istnieje portfel replikujący odpowiada

Naturalnym jest zdefiniowanie ceny racjonalnej (godziwej) wypłaty X jako początkowej inwestycji potrzebnej do konstrukcji portfela replikującego, czyli:

Z tej definicji wynika, że racjonalna cena wypłaty nie zależy od subiektywnych ocen prawdopodobieństw zmian cen akcji, nie zależy więc od prawdopodobieństwa P. Ta cecha ceny racjonalnej pozwala uznać ją za obiektywny miernik wartości wypłaty w przyjętym modelu. Należy podkreślić, że w tym modelu wszyscy inwestorzy zgadzają się co do przyszłych wielkości cen akcji, czyli do tego że ceny mogą przyjmować dwie znane z góry wartości.

W ten sposób opisaliśmy rynek podając ceny S instrumentu ryzykownego, wartość B jednostki rachunku bankowego i zbiór możliwych portfeli Φ. Rynek M jest zatem trójką

Na tym rynku potrafimy wycenić każdą wypłatę (czyli każdy instrument pochodny). Jednak powyższy model rynku trzeba jeszcze poprawić, gdyż dopuszcza on sytuację, że dla dodatniej wypłaty X>0 może się okazać, że jej cena jest ujemna, czyli Π0⁢X<0.

W tej sytuacji można by osiągnąć zysk bez ryzyka za pomocą odpowiedniej strategii. Stąd

Zatem model M rynku jest wolny od arbitrażu, gdy nie ma możliwości arbitrażu w klasie portfeli (strategii) Φ. Interpretacja portfela arbitrażowego jest klarowna: nie mając nic na początku, stosując strategię φ, na końcu operacji nic nie stracimy i mamy dodatni zysk dla pewnych scenariuszy.

Istnienie możliwości arbitrażu świadczy o serii poważnych błędów w wycenie instrumentów na rynku. Takie błędy są bardzo szybko wychwytywane przez arbitrażystów, skutkiem czego rynek szybko wraca do równowagi. Zatem model rynku powinien być modelem bez możliwości arbitrażu. Zbadamy wobec tego, jakie warunki trzeba narzucić na model rynku, by nie dopuszczał on możliwości arbitrażu.

Wykluczenie równości w (2.9) ma sens ekonomiczny, gdyż wtedy wykluczamy sytuację, w której na rynku są dwa aktywa, ale jednym z nich nikt nie handluje. Istotnie, gdy Sd=1+r⁢S0, to zawsze należy inwestować w akcje, bo w najgorszym przypadku dadzą tyle, co depozyt w banku, a gdy Su=1+r⁢S0, to zawsze należy wkładać pieniądze do banku, bo depozyt da większy zysk niż akcje i to bez żadnego ryzyka. W obu tych przypadkach rynek nie jest płynny i znika z niego jeden z rodzajów aktywów.

Na rynku bez możliwości arbitrażu cena wypłaty (instrumentu pochodnego X) jest dobrze określona. Wynika to z twierdzenia, którego dowód przebiega w analogiczny sposób, jak rozumowanie w ćwiczeniu 2.3.

Stąd ma sens

Okazuje się, że rynek bez możliwości arbitrażu rozszerzony o instrument pochodny (np. o opcję) pozostaje dalej rynkiem, na którym nie istnieje arbitraż (patrz zad. 2.7).

Przedstawimy teraz sposób wyliczania ceny instrumentów pochodnych na rynku bez możliwości arbitrażu, oparty na obliczaniu wartości oczekiwanej względem pewnej wyróżnionej miary probabilistycznej.

Rynek bez możliwości arbitrażu spełnia warunek (2.10) z którego wynika, że 1+r∈d,u, więc 1+r jest kombinacją wypukłą końców odcinka, czyli istnieje γ∈0,1, takie że

Liczby γ i 1-γ zadają nowe prawdopodobieństwo Q, takie że

Wtedy korzystając z (2.11) otrzymujemy

Zatem zachodzi

czyli otrzymaliśmy wzór przedstawiający cenę dzisiejszą jako zdyskontowaną wartość oczekiwaną ceny jutrzejszej względem prawdopodobieństwa Q. Zwykle ważne są nie wielkości cen, a proporcje pomiędzy nimi. Interesuje nas stosunek cen różnych aktywów. W tym celu wyrażamy wszystko w terminach wartości jakiegoś ustalonego aktywa. Najczęściej cenę jednostki w banku B (inwestycja bez ryzyka) uznajemy za jednostkę ceny na rynku i wszystkie inne ceny wyrażamy w tych jednostkach (czyli dyskontem jest rachunek bankowy). Wtedy jednostka na rachunku bankowym ma stałą wartość: jeśli B* jest zdyskontowanym procesem wartości jednostki w banku, tj. Bt*=Bt/Bt, to

Zamiast procesu cen rozważamy zdyskontowany proces cen St*=St/Bt:

Jest to konwencja techniczna, bardzo ułatwiająca obliczenia. Jak było widać we wzorze (2.12), dla prawdopodobieństwa Q zachodzi równość:

Dla rynku jednookresowego dwustanowego jest to równoważne faktowi, że S* jest Q-martyngałem z czasem 0,T względem filtracji F0=∅,Ω, FT=F, gdyż EQ(ST*|F0)=EQ(ST*). Stąd definicja:

Przypomnijmy, że miara P* jest równoważna z P, gdy obie mają te same zbiory miary zero. Z założenia P⁢ωi∈0,1, dla i=1,2, więc miara P* równoważna z P spełnia ten sam warunek: P*⁢ωi∈0,1, dla i=1,2.

Obecnie możemy sformułować podstawowe twierdzenie tego paragrafu:

Parytet (formuła zgodności) dla cen opcji. Okazuje się, że ceny europejskich opcji kupna i sprzedaży z tą samą ceną wykonania K na rynku bez możliwości arbitrażu są związane wzorem, tzw. parytetem kupna-sprzedaży:

Wzór (2.16) wynika z podzielenia obu stron równości (1.4) przez 1+r i zastosowania wzoru (2.15) na cenę. Parytet (wzór (2.16)) pozwala natychmiast podać cenę opcji sprzedaży, gdy znamy cenę opcji kupna i vice versa.

Monotoniczność ceny. Na rynku rzeczywistym większa wypłata kosztuje więcej i sensowny model rynku musi to uwzględniać.

Stąd mamy intuicyjnie oczywisty

Warto zauważyć, że zarówno tw. 2.5, jak i wniosek 2.1 wynikają z postaci wzoru na cenę arbitrażową wypłaty, czyli ze wzoru (2.15), a więc są prawdziwe w każdym modelu w którym cenę potrafimy wrazić w ten sposób.

Kontrakt terminowy forward jest umową zawartą w chwili początkowej t, w której jedna ze stron zobowiązuje się kupić, druga zaś sprzedać pewne dobro (zwykle papier wartościowy) w ustalonej chwili T w przyszłości (tj. t<T) za określoną z góry cenę. Kontrakty forward są zawierane wyłącznie na rynku pozagiełdowym kontraktów negocjowanych (over-the-counter market). Kontrakt taki może opiewać na dowolny instrument z indywidualnie negocjowaną ceną, datą i miejscem dostawy. Rzeczywiste dostarczenie towaru jest obiektem transakcji — wieńczy ono ponad 90% kontraktów. Są jednak kontrakty, które kończą się rozliczeniem pieniężnym, np. kontrakty forward na stopy procentowe (wynika to z faktu, że bazą kontraktu jest instrument nie będący przedmiotem bezpośredniego obrotu). W chwili zawarcia kontraktu w chwili t nie następuje żaden przepływ gotówki ani towaru — ma on miejsce dopiero w chwili T, w dniu realizacji kontraktu. Kontrakty forward są używane zarówno do spekulacji jak i do zabezpieczenia się.

Strona, która zobowiązuje się do zapłaty określonej w kontrakcie kwoty za dobro, zajmuje pozycję długą w kontrakcie forward, a strona, która zobowiązuje się dostarczyć to dobro, zajmuje pozycję krótką. Z punktu widzenia pozycji długiej wypłata jest równa różnicy pomiędzy wartością instrumentu bazowego (dobra) w chwili T, a ceną dostawy K uzgodnioną w kontrakcie, np. gdy kontrakt opiewa na akcje o cenie S, to

Cenę tę opisuje: