Założymy, że mamy do czynienia z rynkiem wielookresowym, czyli chwile czasu, w których odbywają się transakcje, to są chwile 0,1,2,…,T (w zależności od sytuacji odpowiada to minutom, dniom, itp.), gdzie horyzont czasowy jest skończony: T<∞. Założymy ponadto, że liczba możliwych scenariuszy (przypadków) jest skończona, zatem przestrzeń probabilistyczna

jest zbiorem skończonym, rodzina zdarzeń F=2Ω, a prawdopodobieństwo P jest takie, że

Wprowadźmy σ-ciała Ft, t∈0,1,…,T, które interpretujemy jako zasób wiedzy o rynku zebrany do chwili t. Nasza wiedza z czasem rośnie: Ft⊂Fs dla t≤s, więc ciąg Ft jest filtracją. Bez straty ogólności możemy założyć, że F0 jest σ-ciałem trywialnym i FT=F. Dla wygody oznaczmy

Na rynku znajduje się k+1 instrumentów finansowych (instrumenty pierwotne), których ceny za jedną jednostkę w chwili t są opisywane przez zmienne losowe St0,St1,…,Stk. Są one Ft-mierzalne, gdyż nasza dzisiejsza wiedza nie pozwala nam przewidzieć przyszłych cen: w chwili t znamy jedynie ceny Sui dla u≤t. Zatem wektor cen

gdzie symbol ′ oznacza transpozycję, jest ciągiem adaptowanych zmiennych losowych. S0 jest wektorem cen początkowych, które znamy (cen w chwili zero), więc jest to wektor stały o wartościach w Rk+1. Zwykle przyjmuje się (i to robimy), że S0 jest ceną aktywa bezryzykownego. Zakładamy, że S00=1 i kapitalizacja jest okresowa, oprocentowanie jest stałe i równe w skali jednego okresu r, r≥0, a więc

Zatem βt=1/St0 jest czynnikiem dyskontującym, czyli gdy zainwestujemy βt w chwili 0, to otrzymamy 1 w chwili t. Rynek spełniający powyższe założenia będziemy nazywać rynkiem skończonym.

Strategią finansową (portfelem, procesem portfelowym) będziemy nazywać dowolny proces prognozowalny φtt∈T o wartościach w Rk+1:

czyli φ0i jest zmienną losową F0-mierzalną, a dla t=1,2,…,T zmienna losowa φti jest Ft-1-mierzalna. Zmienną losową φti, czyli i-tą współrzędną wektora φt interpretujemy jako liczbę jednostek i-tego waloru trzymanych w portfelu od chwili t-1 do chwili t. Wielkości φti są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, co odzwierciedla fakt, że dopuszczamy krótką sprzedaż, możliwość zaciągania kredytu w dowolnej wysokości i zakładamy nieskończoną podzielność papierów. Prognozowalność φ jest matematycznym sformułowaniem faktu, że portfel na chwilę t, czyli wektor φt jest konstruowany na podstawie wiedzy osiągalnej do chwili t-1 (tj. wiedzy sprzed momentu t) i nie zmienia się do chwili t, w której inwestor poznaje nowe ceny. Wtedy inwestor konstruuje nowy skład portfela na następną chwilę t+1, czyli φt+1.

Ponieważ Vt⁢φ jest iloczynem skalarnym wektorów losowych φt i St, to będziemy używać notacji iloczynowej: Vt⁢φ=φt⁢St. Wielkość V0⁢φ=φ0⁢S0 jest nazywana kapitałem początkowym lub wielkością początkową inwestycji.

Niektórzy autorzy przez portfel rozumieją parę x,φ, gdzie x jest kapitałem początkowym, a proces prognozowalny φ=φtt∈1,…,T jest strategią postępowania w kolejnych chwilach czasu. To podejście jest równoważne prezentowanemu na wykładzie, gdyż x jest jednoznacznie wyznaczony przez φ0, a mianowicie x=φ0⁢S0.

Gdy inwestor w chwili t konstruuje portfel φt+1 na chwilę t+1, to koszt konstrukcji tego portfela wynosi φt+1⁢St, a jego wartość w chwili na którą był on konstruowany, a więc w chwili t+1 wynosi φt+1⁢St+1 (opisujemy rynek doskonały, a więc bez kosztów transakcji, podatków itp.). Czyli wielkość φt+1⁢St+1-φt+1⁢St jest zyskiem w chwili t+1 wynikającym ze zmiany cen. Stąd

Wyróżnimy teraz specjalną klasę portfeli:

Ta własność strategii oznacza, że inwestor zmienia swoją pozycję (portfel) z φt na φt+1 bez konsumpcji lub dopływu kapitału z zewnątrz. W chwili t inwestor dysponuje kapitałem Vt⁢φ, który w całości przeznacza na zakup portfela φt+1, płacąc ceny St za aktywa.

Niech Φ będzie klasą strategii samofinansujących się. Wprost z definicji wynika, że Φ jest przestrzenią liniową. Podamy teraz bardzo przydatną charakteryzację portfeli samofinansujących się, mówiącą, że w chwili t kapitał takiego portfela jest równy sumie kapitału początkowego i wartości procesu zysku tego portfela w tej chwili. Zysk w chwili t jest sumą zysków w poprzednich chwilach wynikających tylko ze zmiany cen z Su w chwili u na Su+1 w chwili u+1, gdzie u=0,…,T-1.

Z powyższego twierdzenia wynika, że bogactwo portfela dla strategii samofinansującej się zależy tylko od portfela i zmian cen.

Okazuje się, że gdy inwestor postępuje zgodnie ze strategią samofinansującą, to wartość portfela jest całkowicie zdeterminowana przez bogactwo początkowe i strategię postępowania z aktywami ryzykownymi.

Widać, że definicja 3.4 uogólnia pojęcie arbitrażu dla rynku jednookresowego dwustanowego, a jednocześnie wyraża to pojęcie w terminach prawdopodobieństwa i nie używa pojęcia scenariusza, więc łatwo ją przenieść na szerszą klasę modeli.

Pojęcie arbitrażu zdefiniowaliśmy globalnie. Okazuje się, że nasza definicja obejmuje przypadek, gdy można mieć zysk bez żadnego nakładu i bez ryzyka we wcześniejszych chwilach czasu. Intuicyjnie można to uzasadnić w następujący sposób: wiemy, że istnieje arbitraż w chwili t<T na pewnym zbiorze A. Wtedy wybieramy strategię wstrzymania się od jakichkolwiek działań do momentu t. Gdy w chwili t znajdziemy się w zbiorze A (zatem scenariusz sprzyjał zajściu zdarzenia A), to wykorzystujemy naszą okazję. Wchodzimy w kontrakt arbitrażowy, następnie w chwili t+1 realizujemy zysk, który natychmiast wkładamy na rachunek bankowy i ostatecznie osiągamy dodatni zysk. Gdy w chwili t nie znajdziemy się w zbiorze A, to nic nie robimy (zatem na końcu mamy zero). Tę intuicję potwierdza twierdzenie mówiące, że jeśli na rynku nie istnieje arbitraż globalny, to nie istnieje arbitraż lokalny, czyli arbitraż w jednym okresie. Aby móc porównywać wartość portfela w różnych chwilach czasu musimy uwzględniać oprocentowanie, zatem porównujemy zdyskontowane wartości portfela, czyli porównujemy w różnych chwilach wartości procesu Vt*⁢φ=Vt⁢φ/St0. Dlatego twierdzenie o arbitrażu lokalnym przybiera postać:

Teraz naszym celem będzie podanie metody wyceny i zabezpieczania instrumentów finansowych na rynku bez możliwości arbitrażu. Jak zawsze, instrument europejski utożsamiamy z wypłatą, którą otrzymuje jego posiadacz w określonej chwili T, wobec tego zaczniemy od ścisłej definicji wypłaty.

Oznacza to, że wypłata europejska zależy od wiedzy zebranej na rynku. Gdy wypłata zależy od cen instrumentów podstawowych tzn. od S, to instrument nazywamy instrumentem pochodnym. Później zajmiemy się instrumentami, których nie da się opisać przy pomocy jednej wypłaty w momencie T.

Strategię φ∈Φ nazywamy strategią replikującą wypłatę X gdy

czyli gdy wartość portfela w chwili T jest równa X. Wypłatę X nazywa się osiągalną, gdy istnieje strategia ją replikująca. Warto zauważyć, że wypłaty osiągalne tworzą podprzestrzeń liniową w zbiorze wypłat.

Mówimy, że wypłata jest jednoznacznie replikowalna w modelu M, gdy dla dowolnych strategii φ,ψ replikujących X mamy Vt⁢φ=Vt⁢ψ dla wszystkich t. Wtedy proces Vt⁢φ nazywamy procesem replikującym X lub procesem bogactwa X w M. Jak wiemy, na rynku jednookresowym dwustanowym wszystkie wypłaty są osiągalne, istnieje dokładnie jedna strategia replikująca, więc wypłaty osiągalne są jednoznacznie replikowalne. W modelu rynku skończonego nie wszystkie wypłaty są osiągalne (patrz ćw. 3.10), ale wypłaty osiągalne są jednoznacznie replikowalne, choć nie oznacza to, że istnieje dokładnie jedna strategia replikująca (patrz zad. 3.9).

Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.

Analogicznie do przypadku rynku dwustanowego wprowadzamy definicję ceny arbitrażowej.

Z następnego zadania wynika, że na rynku bez możliwości arbitrażu wystarczy rozpatrywać jeden rachunek bankowy.