Ustalmy strategię φ. Warunek φ∈Φ oznacza z definicji

φu⁢Su=φu+1⁢Su⁢⁢dla⁢⁢u=0,1,…,T-1,

który jest równoważny warunkowi

φu⁢Su*=φu+1⁢Su*⁢⁢dla⁢⁢u=0,1,…,T-1,

co z kolei jest równoważne, jak pokazaliśmy w dowodzie tw. 3.1 (udowodnionego dla dowolnych cen S, a więc możemy wziąć S* zamiast S) faktowi:

∀t⁢φt⁢St*=φ0⁢S0*+∑u=0t-1φu+1⁢Su+1*-Su*,

a jest to warunek (4.1), gdyż φt⁢St*=φt⁢StBt=Vt*⁢φ.

∎

W lemacie 4.1 rozpatrzone zostało dyskontowanie przez proces B, ale to samo zachodzi, gdy weźmiemy dowolne Si, takie że Sti>0 dla każdego t, gdyż następujące warunki są równoważne:

• i) φt⁢St=φt+1⁢St dla każdego t,

• ii) ∑j=0kφtj⁢StjSti=∑j=0kφt+1j⁢StjSti dla każdego t,

• iii) φt⁢S¯t=φt+1⁢S¯t dla każdego t, gdzie S¯t=St⁢Sti-1.

∎

Niech P* będzie miarą martyngałową dla procesu cen. Weźmy dowolne φ∈Φ. Korzystając z (4.2) i z prognozowalności φ∈Φ mamy

EP*(Vt+1*(φ)-Vt*(φ)|Ft)=φt+1EP*(St+1*-St*|Ft)=0.

Zatem Vt*⁢φ jest, dla dowolnego φ∈Φ, P*-martyngałem względem filtracji Ft tzn. P*∈P⁢M.

Należy jeszcze udowodnić, że jeśli P* jest miarą martyngałową dla rynku, to jest miarą martyngałową dla procesu cen. Weźmy strategię φ polegającą na kupnie jednostki i-tego instrumentu bazowego na początku i trzymaniu go do końca, tzn. φti≡1, φtj≡0, dla j≠i. Jest to strategia samofinansująca się. Zatem Vt*⁢φ jest P*-martyngałem i

0=EP*(Vt+1*(φ)-Vt*(φ)|Ft)=EP*(φt+1(St+1*-St*)|Ft).

(4.4)

Ponadto zachodzi

φt+1⁢St+1*-St*=St+1iA*-StiA*,

zatem z (4.4) mamy

EP*(St+1iA*-StiA*|Ft)=0.

Czyli dla i∈1,…,k współrzędna StiA* jest P*-martyngałem, tzn. St* jest P*-martyngałem, więc P*∈P⁢S*.

∎

Dostateczność. Weźmy P*∈P⁢M (z założenia takie P* istnieje). Korzystając z (4.3) otrzymujemy, że na rynku nie ma możliwości arbitrażu. Istotnie, gdyby istniał arbitraż φ, to V0⁢φ=0 oraz VT⁢φ≥0 i PVT⁢φ>0>0. A że BT-1>0, to

EP*⁢VT⁢φ⁢BT-1>0,

a więc prawa strona wzoru (4.3) dla t=0 byłaby dodatnia, a lewa równałaby się zeru. Sprzeczność.

Zajmiemy się teraz koniecznością. Zbiór Ω jest skończony, więc każdą zmienną losową X:Ω→R można utożsamiać z wektorem x1,…,xd∈Rd, gdzie xi=X⁢ωi, 1≤i≤d. I na odwrót, wektor x1,…,xd∈Rd wyznacza zmienną losową X, a  mianowicie przyjmujemy X⁢ωi=xi dla każdego i. Niech

V:=x∈Rd:x≥0,x≠0

(przypomnijmy iż x≥0 oznacza, że xi≥0 dla każdego i). Każdy element V wyznacza zmienną losową nieujemną i na odwrót, każdej zmiennej losowej nieujemnej (poza zmienną losową równą stale zeru) odpowiada jeden element ze zbioru V. Niech

	W	:={x∈Rd∀ixi=GT*(φ)(ωi)dla pewnegoφ∈Φ,takiego żeV0(φ)=0}
		=x∈Rd:x=VT*⁢φ⁢⁢dla pewnego⁢⁢φ∈Φ,⁢⁢V0⁢φ=0.

Zatem elementem W jest, przy zastosowaniu utożsamienia opisanego powyżej, zdyskontowany zysk w chwili T, gdy stosujemy strategię φ, dla której kapitał początkowy jest równy zeru, czyli elementami W są zdyskontowane zyski (w chwili T) strategii φ, których kapitał początkowy jest równy zeru.

Jak łatwo zauważyć, fakt nieistnienia arbitrażu można zapisać w terminach V i W, a mianowicie

nie istnieje arbitraż wtedy i tylko wtedy, gdy⁢⁢V∩W⁢=∅.

Zatem z założeń twierdzenia wynika, że V∩W⁢=∅. Ponadto W jest liniową podprzestrzenią Rd, a

K:=x∈V:∑i=1dxi=1

jest zbiorem zwartym i wypukłym. Oczywiście K⊂V, więc K∩W⁢=∅. Korzystając z twierdzenia o oddzielaniu można ściśle oddzielić zbiór zwarty i wypukły od podprzestrzeni liniowej. Zatem istnieje y∈W⊥ (tj. element y ortogonalny do W, czyli taki że y⋅w⁢=0, ∀w⁢∈W), taki że:

∀x∈K⁢⁢y⋅x>0.

(4.5)

Wektor ei mający 1 na i-tym miejscu i zero na pozostałych należy do K, więc z (4.5) mamy 0<y⋅ei=yi. Zdefiniujmy miarę probabilistyczną

P*⁢ωi=a⁢yi,

gdzie a=∑j=1dyj-1. Jest ona równoważna z P (bo P*⁢ωi>0 dla każdego i). Teraz wykażemy, że P* jest miarą martyngałową. Dla dowolnego procesu prognozowalnego φ1,…,φk, korzystając z tw. 3.2 dobieramy proces prognozowalny φ0, taki że φ=φ0,…,φk jest portfelem samofinansującym się o kapitale początkowym równym zeru. Wtedy oczywiście

GT*⁢φ⁢ω1,…,GT*⁢φ⁢ωd∈W,

a ponieważ a⁢y∈W⊥, więc

	0	=	∑j=1da⁢yj⁢GT*⁢φ⁢ωj=∑j=1dP*⁢ωj⁢GT*⁢φ⁢ωj=EP*⁢GT*⁢φ=
		=	EP*⁢∑j=1Tφj⁢Sj*-Sj-1*,

przy czym w ostatniej równości skorzystaliśmy z lematu 4.1. Stąd wynika, że dla każdego i∈1,2,…,k i dla dowolnego procesu prognozowalnego ograniczonego ψ mamy

EP*⁢∑j=1Tψj⁢Sji*-Sj-1i*=0,

a więc SiA*, i=1,…,k, jest P*-martyngałem. Czyli P* jest miarą martyngałową.

∎

Aby udowodnić (4.6), weźmy strategię φ replikującą wypłatę X. Wtedy z definicji ceny arbitrażowej, z (4.3) i z tego, że X=VT⁢φ otrzymujemy:

Πt(X)=Vt(φ)=BtEP*(VT(φ)BT-1|Ft)=BtEP*(XBT-1|Ft).

Ponieważ proces replikujący Vt⁢φ jest wyznaczony jednoznacznie i równość (4.3) jest prawdziwa dla każdej miary P*∈P⁢M, więc wzór (4.6) nie zależy od wyboru miary martyngałowej dla rynku.

∎

Konieczność. Niech X będzie dowolną zmienną losową, a więc dowolną wypłatą. Wypłata Y=X⁢BT jest osiągalna (bo rynek jest zupełny). Także P⁢M≠∅ (co wynika z braku możliwości arbitrażu i tw. 4.2). Zatem dla P*∈P⁢M mamy

Π0⁢Y=B0⁢EP*⁢Y⁢BT-1=EP*⁢X.

Gdy miary P1*,P2*∈P⁢M, to

EP1*⁢X=Π0⁢Y=EP2*⁢X.

Stąd, biorąc X=1A, dla A∈FT, mamy

P1*⁢A=P2*⁢A.

Wobec dowolności X, a więc i A mamy P1*=P2*.

Dostateczność. Dowód nie wprost. Załóżmy, że rynek jest niezupełny. Wtedy istnieje nieosiągalna wypłata X. Niech A będzie klasą zmiennych losowych zdefiniowaną następująco

A=V0⁢φ+GT*⁢φ:φ∈Φ.

Zatem A jest zbiorem zdyskontowanych wypłat otrzymanych za pomocą strategii samofinansujących się przy dopuszczeniu dowolnego kapitału początkowego. A jest podzbiorem właściwym zbioru wszystkich zmiennych losowych L0, gdyż Y=XBT nie należy do A. Istotnie, gdyby Y należało do A, to

Y=V0⁢φ+GT*⁢φ

dla pewnego φ∈Φ, a więc z lematu 4.1 zachodziłoby Y=VT*⁢φ, czyli X=Y⁢BT=VT⁢φ, zatem X byłoby osiągalne.

Niech P* będzie miarą martyngałową. Wszystkie zmienne losowe są P*–całkowalne z kwadratem (bo Ω jest zbiorem skończonym) i możemy zdefiniować iloczyn skalarny wzorem

X,Y:=EP*⁢X⁢Y.

Ponieważ A jest podprzestrzenią liniową L2⁢P* oraz A≠L2⁢P*, więc istnieje zmienna losowa Z różna od 0, ortogonalna do A. Ponieważ 1∈A (bierzemy kapitał początkowy 1 i nic nie robimy, czyli φ0≡1, φi≡0⁢ dla ⁢i=1,2,…,k), więc zmienna losowa Z, jako ortogonalna do A, ma średnią zero

EP*⁢Z=0.

(4.11)

Zdefiniujmy miarę probabilistyczną Q na podzbiorach Ω wzorem

Q⁢ω=1+Z⁢ω2⁢Z∞⁢P*⁢ω,

(4.12)

gdzie Z∞=maxi⁡Z⁢ωi. Q jest miarą probabilistyczną równoważną z P, bo Q⁢ω>0 dla każdej ω i z (4.11) otrzymujemy

Q⁢Ω=EQ⁢1=EP*⁢1+Z2⁢Z∞=1.

Oczywiście Q≠P*, bo Z jest zmienną losową niezerową. Udowodnimy teraz, że Q jest miarą martyngałową.
W tym celu weźmy dowolny proces prognozowalny ψ1,…,ψk. Korzystając z tw. 3.2 dobieramy proces prognozowalny ψ0, taki że ψ=ψ0,…,ψk jest portfelem samofinansującym się o zerowym kapitale początkowym. Z definicji Q otrzymujemy

	EQ⁢∑j=1Tψj⁢Sj*-Sj-1*	=	EP*⁢∑j=1Tψj⁢Sj*-Sj-1*+		(4.13)
		+	12⁢Z∞EP*(Z(∑j=1Tψj(Sj*-Sj-1*)).

Pierwszy składnik z prawej strony wzoru (4.13) jest równy zero, gdyż S* jest P* martyngałem. Drugi składnik sumy z prawej strony (4.13) jest także równy zeru, gdyż

∑j=1Tψj⁢Sj*-Sj-1*∈A,

a Z jest zmienną losową ortogonalną do A w L2⁢P*. Zatem S* jest Q-martyngałem, a więc Q jest miarą martyngałową różną od P*. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, że istnieje dokładnie jedna miara martyngałowa.

∎

Konieczność została udowodniona w tw. 4.3, a dostateczność pozostawiamy jako zadanie.

∎