Na rynku są dwa podstawowe instrumenty, rachunek bankowy z procesem cen:

i instrument ryzykowny (np. akcja) z procesem cen zadanym wzorem:

gdzie Ut są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie

przy czym -1<a<b. Wielkości a i b są stopami zwrotu z akcji, gdy cena zmienia się odpowiednio na St⁢1+a i St⁢1+b, gdyż

Z tej definicji widać, że na model CRR można patrzeć jako na niezależne jednookresowe dwustanowe modele o tej samej stopie zwrotu, gdyż można ten model zrealizować na przestrzeni probabilistycznej Ω,F,P, gdzie Ω=1+a,1+bT, F=2Ω, zaś P jest prawdopodobieństwem produktowym jednoznacznie wyznaczonym przez p. Wtedy

Zbadamy własności tak zdefiniowanego modelu rynku. Rozpatrzymy model ogólniejszy. Niech Ω,F,Ut,St będą określone jak wyżej, natomiast P jest pewnym prawdopodobieństwem na F. Zauważmy, że

zatem znajomość prawdopodobieństwa P jest równoważna znajomości rozkładu łącznego wektora U1,…,UT.

Do badania własności użyjemy aparatu miar martyngałowych. Dlatego zaczynamy od nastepującego lematu:

Z lematu 5.1 otrzymujemy natychmiast istnienie miary martyngałowej, będącej miarą produktową, dla rynku CRR, gdy r∈a,b.

Jedyność miary martyngałowej wynika z kolejnego twierdzenia.

Z dowodu twierdzenia mamy natychmiast.

Założyliśmy, że stopa procentowa r≥0, więc od tego momentu mówiąc o modelu CRR będziemy zawsze zakładać, że

Cenę Ct europejskiej opcji kupna z terminem wykonania T i ceną wykonania K w chwili t otrzymujemy ze wzoru (5.7) i obserwacji Ct=CT-T-t.

Problem replikacji. Zajmiemy się teraz problemem replikacji wypłaty postaci X=h⁢ST, dla pewnego h:R→R (taką postać wypłaty mają np. opcje). Gdy φ replikuje X, to

zatem

Ponieważ UT przyjmuje dwie wartości: 1+a i 1+b, więc na zbiorze UT=1+a, mamy

a na zbiorze UT=1+b, to mamy

Ponieważ proces φt1 jest prognozowalny, więc φT1 nie zależy od wartości UT. Zatem z powyższych równości otrzymujemy liczbę akcji w chwili T:

gdzie

oraz liczbę jednostek bankowych w chwili T

W ten sposób, cofając się, znajdujemy postać portfela replikującego.

Na wzór (5.8) można spojrzeć jako na dyskretny analog pochodnej wartości portfela względem możliwej zmiany ceny instrumentu podstawowego. W języku finansów takie strategie nazywa się delta zabezpieczeniem.

Z (5.8) otrzymujemy też

W szczególności wynika stąd, że można tak replikować wypłatę z europejskiej opcji kupna.

Rozważymy teraz na przykładzie modelu CRR problem maksymalizacji oczekiwanej użyteczności. Inwestor ma swoją miarę użyteczności osiągniętego bogactwa, jest to funkcja użyteczności U:0,∞→R. Wartość U⁢x opisuje satysfakcję inwestora posiadającego kapitał x. Wartość inwestycji mierzy się przez oczekiwaną użyteczność (przy mierze subiektywnej P) kapitału osiągniętego na końcu inwestycji, czyli przez EP⁢U⁢VT⁢φ.

Funkcję U:0,∞→R nazywamy funkcją użyteczności, gdy jest niemalejąca, wklęsła, różniczkowalna i ma ciągłą pochodną. Często o U zakłada się, że spełnia tzw. warunki Inady:

Najczęściej używane są: logarytmiczna funkcja użyteczności U⁢x=ln⁡x, potęgowa U⁢x=xαα, α∈-∞,0∪0,1 oraz wykładnicza funkcja użyteczności U⁢x=1-exp⁡-b⁢x, b>0.

Naszym celem jest znalezienie, przy danym kapitale początkowym x, strategii samofinansującej się φ* maksymalizującej oczekiwaną użyteczność kapitału osiągniętego na końcu inwestycji, czyli strategii φ* takiej że V0⁢φ*=x i

Rozwiążemy ten problem w przypadku funkcji logarytmicznej U⁢x=ln⁡x, rozszerzając ją na -∞,0 wzorem U⁢x=-∞. Ponieważ

więc problem optymalizacji sprowadza się do znalezienia maksimum

Skorzystamy z faktu, że VT*⁢φ jest P*-martyngałem, gdy P* jest miarą martyngałową, z czego wynika, że EP*⁢VT*⁢φ=V0⁢φ. Niech

Wtedy Yt jest P*-martyngałem i YT=x⁢ZT-1 oraz Y0=x. Udowodnimy, że

• a) Dla dowolnej strategii samofinansującej się φ, takiej że V0⁢φ=x

  EP⁢ln⁡VT*⁢φ≤EP⁢ln⁡YT.

  (5.13)

• b) Istnieje strategia samofinansująca się φ*, taka że

  Yt=Vt*⁢φ*.

  (5.14)

Dla każdego φ∈Φ takiego, że V0⁢φ=x zachodzi

co daje (5.13).
Z zupełności rynku istnieje strategia samofinansująca się φ* spełniająca VT*⁢φ=YT, a ponieważ Y jest P*-martyngałem, to (5.14) zachodzi.
Okazuje się, że jak na rynku skończonym potrafimy znaleźć φ* spełniające (5.12), to na rynku skończonym nie ma arbitrażu.

Gdy obserwujemy rynek z czasem ciągłym, czyli gdy czas jest odcinkiem 0,T, to ceny należy opisywać modelem, w którym występują procesy z czasem ciągłym. Ale jak wiadomo, przy opisie rozmaitych zjawisk można modele z czasem ciągłym z powodzeniem aproksymować modelami dyskretnymi. Teraz opiszemy, jak wykorzystuje się model CRR do aproksymacji modelu z czasem ciągłym.

Konstruuje się ciąg przybliżeń, w którym jako n-te przybliżenie bierze się model CRR skonstruowany następująco:

W tym (czyli n-tym) kroku dzielimy odcinek 0,T na n części o długości δn==Tn każda. Zakładamy, że handel odbywa się w chwilach czasu tj=tjn=j⁢δn, j=0,1,…,n. W czasie ciągłym rachunek oszczędnościowy jest opisywany przez równanie Bt=er⁢t (r>0 jest stałą). Chcemy dopasować stopę procentową rn tak, żeby otrzymać równość cen rachunków oszczędnościowych w modelu ciągłym i dyskretnym we wszystkich punktach tj. W tym celu bierzemy rn takie, że

Wtedy

Teraz dobieramy stałe an i bn spełniające

(wtedy model CRR jest bez możliwości arbitrażu i zupełny). Warunek (5.15) musi być spełniony, poza tym wyboru an i bn dokonujemy tak, by model graniczny opisywał model z czasem ciągłym. Zrobimy to w taki sposób, by

Taki wybór zakłada pewien rodzaj symetrii ruchu cen. Niech

gdzie σ>0 jest ustalona z góry. Łatwo sprawdzić, że nierówność (5.15) zachodzi dla dostatecznie dużych n. Wtedy miara martyngałowa jest zadana przez podanie prawdopodobieństwa wzrostu ceny akcji

Zachodzi

W ten sposób skonstruowaliśmy n-ty model CRR dla ciągu przybliżeń. Parametry an,bn,pn są ustalone i zależą od parametrów r,σ i liczby kroków n, a więc długości podziału δn. Pozostaje pytanie, jak dobrać parametry n-tego przybliżenia. Stopę procentową bez ryzyka r znamy. Parametr σ wybieramy tak, by wariancja stopy zwrotu z akcji na jednostkę czasu była równa wariancji na jednostkę czasu z modelu ciągłego (modelu Blacka-Scholesa opisanego w §9.1). Liczbę n dobieramy według naszych potrzeb (ten parametr możemy zmieniać), byle n było dostatecznie duże (zad. 5.11).

Możemy też bez straty ogólności założyć, że wszystkie modele (a więc i procesy z nimi związane) są skonstruowane na wspólnej przestrzeni probabilistycznej Ω,F,P. Zakładamy też, że cena początkowa aktywa w każdym przybliżeniu jest taka sama. Jak wiemy, cena Sn aktywa ryzykownego w n-tym modelu spełnia

gdzie PUjn=1+bn=pn, PUjn=1+an=1-pn, S0n=s i zmienne losowe U1n, …, Unn są niezależne, o tym samym rozkładzie. Zapiszmy to dla t=T inaczej:

gdzie Vjn=ln⁡Ujnσ⁢δn, zatem Vjn są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie

Z centralnego twierdzenia granicznego otrzymujemy po przekształceniach

Stąd, gdy n→∞, to

gdzie Z∼N⁢0,1, czyli

Zatem cena w chwili T otrzymana w granicy ma rozkład lognormalny (ten sam rezultat otrzymujemy dla dowolnego t).

Każdy z modeli CRR użyty w tej aproksymacji był bez możliwości arbitrażu i zupełny, więc wiemy, że cena arbitrażowa europejskiej opcji kupna CTn jest zadana wzorem (5.7) z p=pn. W granicy otrzymujemy

Dowód tego faktu pozostawiamy jako zadanie.

Podsumowując, powyższe rozważania o aproksymacji sugerują, że w ,,rozsądnym” modelu rynku cena aktywa powinna mieć rozkład lognormalny, a cena arbitrażowa europejskiej opcji kupna powinna być zadana wzorem BlackaS̄cholesa (5.18). Wzór (5.17) dowodzi że STn zbiega do ST według rozkładu, a więc gdy wypłata jest funkcją wartości końcowej ceny, tj. Xn=f⁢STn, to przy odpowiednich założeniach o funkcji f otrzymujemy

Gdy f jest ograniczona, to (5.21) zachodzi i w szczególności otrzymujemy formułę wyceny dla opcji sprzedaży (a stąd korzystając z parytetu można w inny sposób otrzymać (5.18)).

Okazuje się, że można udowodnić znacznie więcej o zbieżności aproksymacji. Rozpatrzmy proces S⌃tn z czasem ciągłym otrzymany z procesu Stn przez interpolację liniową, tj. S⌃tjn=Stjn dla tj=j⁢Tn i S⌃tn jest liniowy pomiędzy punktami postaci tj. Korzystając z tw. Donskera można udowodnić, że proces S⌃n zbiega słabo w C⁢0,T do procesu S, takiego że

gdzie Wt jest procesem Wienera. Stąd otrzymujemy, że ceny pewnych wypłat, które zależą od całej trajektorii procesu cen można otrzymać jako granicę odpowiednich wyrażeń obliczanych dla modelu CRR. Ten fakt wykorzystujemy w modelu z czasem ciągłym do liczenia cen wypłat dla których nie istnieją jawne wzory. Model CRR jest modelem opisującym rynek w sposób rekurencyjny, więc w tym modelu znacznie łatwiej liczyć całki numerycznie niż w modelu z czasem ciągłym.