Zagadnienia

7.1 Opcje amerykańskie, wycena, zabezpieczenie
7.2 Porównanie opcji amerykańskich i europejskich
7.3 Zagadnienia i zadania na ćwiczenia

7. Opcje amerykańskie

Dotąd rozpatrywane wypłaty (opcje typu europejskiego) były typu statycznego, czyli wypłata z opcji następuje w ustalonej chwili T. Teraz rozszerzymy pojęcie instrumentu pochodnego na opcje amerykańskie, czyli na instrument dający posiadaczowi prawo realizacji w dowolnej chwili 0,1,…,T.

7.1. Opcje amerykańskie, wycena, zabezpieczenie

Definicja 7.1

Opcją amerykańską o terminie wygaśnięcia T nazywamy ciąg adaptowanych nieujemnych zmiennych losowych Zt,
t∈T=0,1,…,T.

Zmienną losową Zt interpretujemy jako wypłatę otrzymaną z realizacji opcji amerykańskiej w chwili t, a ponieważ Zt jest Ft-mierzalne, to wypłata zależy od wiedzy w chwili t.

Przykład 7.1

Amerykańska opcja kupna na akcję o cenie S z ceną wykonania K (dodatnia stała) zadana jest przez Zt=St-K+, t∈T. Kupujący otrzymuje prawo do zakupu akcji po cenie K w dowolnej chwili 0,1,…,T. Analogicznie ciąg Zt=K-St+, t∈T, zadaje amerykańską opcję sprzedaży na akcje o cenie S z ceną wykonania K.

Posiadacz opcji amerykańskiej ma prawo wykonać ją w dowolnej chwili. Ponieważ posiadacz opcji decyduje czy chwila jej wykonania właśnie nastąpiła i decyduje na podstawie wiedzy zebranej do tego momentu, więc {τ=t}∈Ft, a więc moment wykonania opcji τ jest momentem stopu. Sprzedawca opcji dostając za nią zapłatę U0 musi postępować w taki sposób, aby w każdej chwili wartość jego portfela φ o kapitale początkowym U0 przewyższała jego zobowiązania wobec kupca opcji, czyli strategia φ musi być taka, by dla wszystkich t zachodziło:

Vt⁢φ≥Zt.

(7.1)

Strategię φ spełniająca (7.1) nazywamy strategią zabezpieczającą opcję amerykańską Ztt∈T. Zbiór wszystkich takich strategii będziemy oznaczali przez Γ⁢Ztt∈T. Z warunku (7.1) wynika, że

Vτ⁢φ≥Zτ

dla dowolnego momentu stopu τ o wartościach w zbiorze T. Korzystając z analogicznych argumentów jak przy definiowaniu ceny sprzedającego przyjmujemy:

Definicja 7.2

Wielkość

Π0a⁢Ztt∈T=inf⁡V0⁢φ:φ∈Γ⁢Ztt∈T

(7.2)

nazywamy ceną arbitrażową w chwili 0 opcji amerykańskiej zadanej przez ciąg wypłat Ztt∈T.

Naszym celem będzie teraz znalezienie ceny Π0a⁢Ztt∈T. Załóżmy, że rozpatrywany rynek jest skończony, bez możliwości arbitrażu i zupeły z jednym instrumentem ryzykownym, czyli M=B,S,Φ. Przez Ut będziemy oznaczać cenę opcji amerykańskiej w chwili t. Zatem naszym zadaniem jest znalezienie U0=Π0a⁢Ztt∈T. W tym celu skorzystamy z tego, że w chwili T zachodzi UT=ZT i wykorzystamy indukcję wsteczną. W chwili T-1 wystawca opcji musi mieć taki kapitał, by zabezpieczyć jedną z wypłat: wypłatę ZT-1 w chwili T-1 albo wypłatę ZT w chwili T, gdyż każdą z nich może wybrać nabywca opcji. Ponieważ rynek jest zupełny, więc wypłata ZT w chwili T jest osiągalna i w chwili T-1 jej cena jest równa BT-1EP*(ZTBT|FT-1) — tyle trzeba mieć w chwili T-1, by zabezpieczyć wypłatę ZT w chwili T. Stąd cena opcji amerykańskiej w chwili T-1 wynosi:

UT-1=max(ZT-1,BT-1EP*(ZT*|FT-1)).

Analogiczne rozumowanie daje cenę opcji amerykańskiej w chwili t:

Ut-1=max(Zt-1,Bt-1EP*(UtBt|Ft-1))

(7.3)

dla t=1,2,…,T, gdyż wystawca musi zabezpieczyć jedną z wypłat: natychmiastową w chwili t-1, tj. wypłatę Zt-1 lub wypłatę w chwili późniejszej, a ona w chwili t jest warta Ut. Dzieląc obie strony przez Bt-1 i oznaczając Ut*=UtBt mamy

Ut-1*=max(Zt-1*,EP*(Ut*|Ft-1)).

(7.4)

Zatem otrzymaliśmy

Twierdzenie 7.1

Zdyskontowana cena UT* opcji amerykańskiej zadanej przez ciąg wypłat Ztt∈T jest P*-nadmartyngałem zadanym wzorem (7.4).

Ze wzoru (7.4) wynika, że ciąg Ut*t∈T jest obwiednią Snella ciągu Zt*t∈T, czyli że Ut* jest najmniejszym P*-nadmartyngałem dominującym ciąg Zt*. Stąd wykorzystując elementy teorii optymalnego stopowania mamy

Twierdzenie 7.2

a) U0 — cena w chwili 0 opcji amerykańskiej spełnia

U0=supτ≤T⁡EP*⁢Zτ*, (7.5)

gdzie sup bierzemy po momentach stopu τ o wartościach mniejszych lub równych T.
b) Istnieje strategia samofinansująca się φ o kapitale początkowym U0 zabezpieczająca wypłatę z opcji amerykańskiej Ztt∈T.
c) Moment stopu

υ=inf⁡t:Zt=Ut (7.6)

jest momentem realizacji opcji.

Punkt a). Zdyskontowany proces ceny opcji amerykańskiej U* jest obwiednią Snella ciągu zdyskontowanych wypłat Z*, a stąd korzystając z teorii optymalnego stopowania wynika (7.5).

Punkt b). Jak wiemy, Ut* jest P*–nadmartyngałem, więc z tw. Dooba-Meyera o rozkładzie nadmartyngału

Ut*=Mt-At,

(7.7)

gdzie M jest martyngałem, A — procesem rosnącym prognozowalnym, A0=0. Rynek jest zupełny, więc istnieje strategia φ taka, że VT*⁢φ=MT. Ponieważ Vt*⁢φt jest martyngałem, więc

Vt*(φ)=EP*(VT*(φ)|Ft)=EP*(MT|Ft)=Mt.

Stąd i z (7.7) mamy U0=M0=V0⁢φ, czyli U0 jest kapitałem początkowym strategii φ. Ponadto Ut*=Vt*⁢φ-At, czyli

Ut=Vt⁢φ-Bt⁢At,

(7.8)

a ponieważ Bt⁢At≥0, proces U dominuje Z, więc

Vt⁢φ≥Ut≥Zt,

czyli φ zabezpiecza opcję amerykańską.

Punkt c). Mając opcję nie ma sensu realizować jej w chwili t takiej, że Ut>Zt, bo sprzedajemy walor wart Ut za cenę Zt (lepiej opcję sprzedać za Ut niż ją zrealizować i otrzymać Zt). Stąd moment realizacji opcji (moment stopu) τ spełnia

Uτ=Zτ

gdyż wiemy, że Ut≥Zt. Nie ma sensu realizować opcji po chwili

νm⁢a⁢x=inf⁡j:Aj+1≠0∧T=inf⁡j:Aj+1*≠0∧T,

gdyż sprzedając opcję w chwili νm⁢a⁢x i kupując strategię zabezpieczającą φ otrzymamy

Uνm⁢a⁢x=Vνm⁢a⁢x⁢φ

i od tego momentu postępując zgodnie ze strategią φ mamy portfel, którego bogactwo jest większe niż wartość opcji w chwili νm⁢a⁢x+1,…,T. Istotnie, ponieważ (7.8) implikuje

Vt⁢φ=Ut+Bt⁢At

oraz At⁢Bt>0 dla t>νm⁢a⁢x, więc Vt⁢φ>Ut dla t=νm⁢a⁢x+1,…,T. Zatem τ≤νm⁢a⁢x. Pozwala to stwierdzić, że U*τ jest martyngałem, gdyż wtedy Aτ∧t=0 (bo τ∧t≤νm⁢a⁢x) i korzystamy z przedstawienia (7.7). Stąd wynika, że dla nabywcy opcji najlepszym momentem realizacji opcji jest optymalny moment stopu dla ciągu Zt* przy rozkładzie prawdopodobieństwa P* (korzystamy z tw. charakteryzującego moment optymalny). A jak wiadomo moment stopu zdefiniowany wzorem (7.6) ma taką własność.

∎

Uwaga 7.1

a) Z tw. 7.2 mamy, że

Π0a⁢Ztt∈T=supτ⁡EP*⁢Zτ*,

czyli cena zdefiniowana wzorem (7.2) satysfakcjonuje także kupującego. Kupujący chce najlepiej wykorzystać swoje prawa i uzyskać jak największą wypłatę. Gdy kupujący realizuje opcję w momencie stopu τ i otrzymuje wypłatę Zτ, to jest skłonny zapłacić za tę wypłatę EP*⁢Zτ*. A ponieważ kupujący może zrealizować opcję w każdym momencie, więc za uczciwą cenę uważa supτ⁡EP*⁢Zτ*, gdzie supremum bierzemy po momentach stopu τ o wartościach mniejszych lub równych T.

b) Punkt c) twierdzenia odpowiada na zasadnicze pytanie z punktu widzenia nabywcy: kiedy należy zrealizować opcję. Z dowodu tego punktu wynika, że moment wykonania opcji należy wybrać jako optymalny moment stopu dla problemu optymalnego stopowania ciągu Zt*. Taki moment nie jest wyznaczony jednoznacznie. Jednym z takich momentów jest moment zdefiniowany wzorem (7.6). Wybieramy go, gdyż (7.6), daje jego jawną postać. Mamy regułę jak ten moment wyznacznaczyć praktycznie.

Wykorzystując dowód punktu c) twierdzenia możemy zanalizować sytuacje wystawcy opcji. Wystawca opcji stosuje strategię φ i czeka na to, co zrobi nabywca. Jeżeli nabywca zrealizuje opcję w chwili optymalnej τ, to Uτ=Zτ=Vτ⁢φ. Wtedy sprzedawca stosując strategię φ otrzymuje całą kwotę, którą musi wypłacić nabywcy opcji. Sprzedawca zabezpieczył swoje zobowiązanie wobec nabywcy. Jeśli natomiast nabywca zrealizuje opcję w innej chwili σ niż optymalna τ, to wystawca ma dodatni zysk. Istotnie, gdy moment realizacji σ nie jest optymalny, to Uσ>Zσ lub Aσ>0 i korzystając z (7.8) otrzymujemy zysk wystawcy:

Vσ⁢φ-Zσ=Aσ⁢Bσ+Uσ-Zσ>0.

7.2. Porównanie opcji amerykańskich i europejskich

Zajmiemy się teraz porównaniem opcji amerykańskich i europejskich. Opcje amerykańskie dają posiadaczowi więcej praw niż europejskie, więc powinny kosztować więcej.

Twierdzenie 7.3

Niech Ut będzie wartością w chwili t opcji amerykańskiej zadanej przez ciąg Ztt, a Ct wartością w chwili t opcji europejskiej o wypłacie X=ZT. Wtedy

Ut≥Ct.

(7.9)

Ponadto, gdy dla każdego t≤T mamy

Ct≥Zt,

(7.10)

to dla każdego t≤T mamy

Ut=Ct.

(7.11)

Ponieważ Ut* jest P*-nadmartyngałem oraz UT=ZT=X=CT, więc

Ut*≥EP*(UT*|Ft)=EP*(CT*|Ft)=Ct*.

Stąd Ut≥Ct, czyli zachodzi warunek (7.9). Z warunku (7.10) wynika, że Ct*≥Zt*, a ponieważ Ct* jest P*-martyngałem, w szczególności P*-nadmartyngałem, więc

Ct*≥Ut*,

(7.12)

bowiem Ut* jest najmniejszym nadmartyngałem dominującym Zt*t. Teraz (7.9) i (7.12) dają (7.11).

∎

Z tw. 7.3 wynika, że amerykańska opcja kupna jest warta tyle samo, co europejska..

Wniosek 7.1

Ceny amerykańskiej i europejskiej opcji kupna z tym samym terminem wygaśnięcia i tę samą cena wykonania są równe.

Wypłaty to Zt=St-K+ i X=CT=ZT. Ponieważ x+≥x i r≥0, więc

	Ct	=	BtEP(BT-1(ST-K)+\|Ft)≥BtEP(BT-1ST-BT-1K\|Ft)=
		=	St-K⁢Bt⁢BT-1≥St-K.

Stąd

Ct≥St-K+=Zt,

gdyż Ct≥0. Otrzymaliśmy (7.10) i twierdzenie 7.3 daje tezę.

∎

Ogólniejszą wersję wniosku można znaleźć w ćw. 7.5.

Przykład 7.2

Na rynku zupełnym opisanym w przykł. 4.2 chcemy znaleźć ceny amerykańskiej opcji kupna i amerykańskiej opcji sprzedaży z ceną wykonania K=105, a także znaleźć optymalny momentem wykonania opcji sprzedaży przez nabywcę opcji.

Jak wiemy, cena amerykańskiej opcji kupna jest równa cenie opcji europejskiej (tw. 7.3), więc korzystając z przykł. 4.2 otrzymujemy C0a=17,36. Obliczymy cenę amerykańskiej opcji sprzedaży. Korzystamy ze wzoru (7.3) kolejno dla t=2 i t=1, otrzymując:

U2	=	105-S2+,
U1	=	max(Z1,EP*(U21,1\|F1))=1,81,1 gdy ⁢S1⁢ω=120,25 gdy ⁢S1⁢ω=80.
U0	=	max(5,EP*(U11,1\|F0))=max(5;6,30)=6,30.

Moment stopu zdefiniowany wzorem

τ⁢ω=2 gdy ⁢S1⁢ω=120,1 gdy ⁢S1⁢ω=80

jest optymalnym momentem wykonania opcji sprzedaży przez jej posiadacza.

7.3. Zagadnienia i zadania na ćwiczenia

Ćwiczenie 7.1

Bank ma amerykańską opcję sprzedaży akcji z ceną realizacji 60 i datą wygaśnięcia za 3/4 roku. Walor (akcja) wart jest teraz 6, a stopa procentowa bez ryzyka (kapitalizacja ciągła) wynosi 18⁢% p.a.¹skrót łac. per annum, w skali roku. Czy warto opcję zrealizować teraz, czy w chwili wygaśnięcia?

Rozwiązanie:

Teraz mamy 60-6=54, wkładamy do banku i za 3/4 roku mamy 54⋅e0,18⋅34=61,81. W chwili wygaśnięcia opcja jest warta co najwyżej 60 (gdy ST=0). Zatem warto opcję zrealizować teraz. Wynika to z faktu, że cena waloru jest niska w porównaniu z ceną wykonania opcji. W takim przypadku wykonujemy opcję i inwestujemy otrzymane pieniądze.

Ćwiczenie 7.2

Mówimy, że opcja amerykańska Ztt∈T jest zawsze realizowalna, gdy dla dowolnego momentu stopu τ o wartościach mniejszych lub równych T istnieje strategia φ∈Φ taka, że

Vτ⁢φ=Zτ.

Udowodnić, że na rynku zupełnym każda opcja amerykańska jest zawsze realizowalna.

Rozwiązanie:

Ustalmy dowolny moment stopu τ. Na mocy zupełności rynku wypłata

X=ZτBτ⁢BT

jest osiągalna, więc istnieje φ∈Φ takie, że VT⁢φ=X. Stąd

Vt*(φ)=EP*(XBT|Ft)=EP*(ZτBτ|Ft),

a więc

Vτ*(φ)=EP*(ZτBτ|Fτ)=ZτBτ,

czyli Vτ⁢φ=Zτ.

Ćwiczenie 7.3

Udowodnić, że gdy na rynku zupełnym opcja amerykańska jest wyceniana wzorem (7.5), to

a) nie istnieje arbitraż związany z pozycją krótką (tj. wystawcy opcji),

b) nie istnieje arbitraż związany z pozycją długą (tj. nabywcy opcji).

Rozwiązanie:

a) Nie wprost. Gdyby istniał arbitraż związany z pozycją krótką, to sprzedawca posługiwałby się portfelem φ zabezpieczającym opcję amerykańską takim, że dla każdego momentu wykonania opcji przez kupującego, tj. momentu stopu τ, ma on zysk bez ryzyka:

Vτ⁢φ≥Zτ,⁢PVτ⁢φ>Zτ>0.

Wtedy

V0⁢φ=EP*⁢Vτ*⁢φ>EP*⁢Zτ*

dla każdego momentu stopu τ, co na mocy skończoności Ω implikuje

V0⁢φ>supτ⁡EP*⁢Zτ*=U0,

sprzeczność.

Ćwiczenie 7.4

Niech w modelu CRR: S0=100;S1d=80; S1u=130;T=3; r=0,1. Znaleźć cenę w chwili 0 opcji amerykańskiej o wypłacie Zt=max{0≤u≤t}⁡Su (jest tzw. opcja rosyjska. Znaleźć moment wykonania opcji. Znaleźć dla niej strategię zabezpieczającą.

Rozwiązanie:

Z danych wynika, że rynek jest wolny od arbitrażu. Miara martyngałowa P* jest wyznaczona przez p=0,6.
Znajdujemy wartość wypłaty X=f⁢S0,S1,S2,S3 dla każdej ścieżki, a następnie obliczamy cenę: Π0⁢X=104,58. Π0a⁢Ztt=116,09. Moment

τ⁢ω=3 gdy ⁢S2⁢ω=169,2 gdy ⁢S1⁢ω=130,S2⁢ω=104,1 gdy ⁢S1⁢ω=80

jest optymalnym momentem wykonania opcji przez posiadacza. Strategię zabezpieczającą znajdujemy korzystając np. z tw. 7.2 i postaci martyngału w rozkładzie Dooba

Ćwiczenie 7.5

Niech ciąg g⁢Stt, gdzie g jest funkcją wypukłą, nieujemną, g⁢0=0, zadaje opcję amerykańską na rynku zupełnym. Udowodnić, że cena tej opcji amerykańskiej jest równa cenie opcji europejskiej o wypłacie X=g⁢ST.

Rozwiązanie:

Ponieważ g⁢0=0, więc z wypukłości funkcji g otrzymujemy

g⁢a⁢x≤a⁢g⁢x,⁢x≥0,a∈0,1.

Stąd i z nierówności Jensena

g(St)≤EP*(g(St+11+r)|Ft)≤EP*(g⁢St+11+r)|Ft).

Zatem g⁢St1+rt jest podmartyngałem i

Zt=g(St)≤(1+r)t-TEP*(g(ST)|Ft)=Πt(X).

Otrzymaliśmy (7.10) i tw. 7.3 daje tezę.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Modele matematyczne rynków instrumentów pochodnych I

Zagadnienia

7. Opcje amerykańskie

7.1. Opcje amerykańskie, wycena, zabezpieczenie

Definicja 7.1

Przykład 7.1

Definicja 7.2

Twierdzenie 7.1

Twierdzenie 7.2

Uwaga 7.1

7.2. Porównanie opcji amerykańskich i europejskich

Twierdzenie 7.3

Wniosek 7.1

Przykład 7.2

7.3. Zagadnienia i zadania na ćwiczenia

Ćwiczenie 7.1

Ćwiczenie 7.2

Ćwiczenie 7.3

Ćwiczenie 7.4

Ćwiczenie 7.5