Kontrakt terminowy futures jest to instrument finansowy zobowiązujący obie strony kontraktu do realizacji w przyszłości transakcji na określonych w nim warunkach. W chwili zawierania kontrakt futures nic nie kosztuje, zatem jest wart 0. Kontraktami terminowymi futures (w przeciwieństwie do forward) handluje się na giełdzie. Obie strony kontraktu nie znają się wzajemnie, gdyż kontrakt zawarły poprzez pośrednika — giełdę. Kontrakty futures odznaczają się następującymi cechami:

• kontrakty są standaryzowane, czyli są ściśle określone wszystkie warunki kontraktu, w tym nominalna wielkość przedmiotu kontraktu futures i termin dostawy,

• cena futures jest ustalana na giełdzie,

• w każdej chwili można kontrakt futures zamknąć wchodząc w pozycję przeciwną,

• kontrakt jest rozliczany codziennie za pomocą procedury dziennej aktualizacji depozytu (marking-to-market).

Kontrakty tego rodzaju obarczone są ryzykiem związanym ze zmianami cen, ale zostało wyeliminowane ryzyko związane z niewywiązaniem się jednej ze stron z warunków umowy. Na różnych rynkach istnieją różne kontrakty futures, m.in. kontrakty futures na akcje — instrument bazowy stanowią akcje, kontrakty futures walutowe — instrument bazowy stanowi waluta innego kraju, kontrakty futures na indeks giełdowy. Z kontraktem futures związane są ceny:

• cena futures w dniu zawarcia kontraktu — po takiej cenie zostanie zawarta transakcja w przyszłości,

• cena kontraktu futures na rynku — cena dzisiejsza tego kontraktu, cena zmieniająca się każdego dnia w okresie notowań,

• cena bieżąca przedmiotu kontraktu (spot price).

Wejście w kontrakt futures nic nie kosztuje, ale podmiot chcący uczestniczyć w rynku futures musi wnieść na konto pewien depozyt zabezpieczający — wadium. Codziennie Izba Rozrachunkowa (clearing house) koryguje stan konta o zmianę cen kontraktu futures w ciągu dnia. Gdy cena wzrośnie w ciągu dnia o x, to stan rachunku sprzedającego kontrakt zmaleje o x, a kupującego wzrośnie o x. Obie strony muszą utrzymywać na rachunku pewną ustaloną sumę (maintenance margin level). Gdy wartość rachunku po rozliczeniu spada poniżej tej wielkości Izba Rozrachunkowa wzywa inwestora do natychmiastowej dopłaty pieniędzy na rachunek. Gdy wezwanie zostanie zignorowane następuje zamknięcie kontraktu.

Intuicyjnie można sobie wyobrażać, że kontrakt futures jest zamykany na końcu dnia handlowego (bo jest rozliczany) i otwierany na nowo następnego dnia, czyli kontrakt futures można traktować jako ciąg jednodniowych kontraktów forward. Taka procedura jednocześnie daje inwestorowi możliwość zamknięcia pozycji w każdej chwili. Inwestor zamyka pozycję wchodząc w kontrakt przeciwny, czyli otwiera pozycję przeciwną do tej, którą zajął wchodząc na rynek futures. Może to zrobić w każdej chwili, zarówno gdy chce zrealizować osiągnięte zyski, jak i wycofać się by zminimalizować straty. Przy okazji warto zaznaczyć, że bardzo mało kontraktów (niektóre źródła podają, że mniej niż 2%) jest w istocie rozliczanych w momencie wygaśnięcia, czyli dla większości uczestników dostawa przedmiotu kontraktu futures jest jedynie potencjalna.

Wykorzystując idee poznane wcześniej skonstruujemy teraz model rynku kontraktów terminowych futures. W związku ze specyfiką kontraktów futures model ten różni się trochę od modelu rynku skończonego, opisywanego do tej pory.

Jak poprzednio, zakładamy, że mamy ustaloną przestrzeń probabilistyczną Ω,F,P, gdzie Ω jest zbiorem skończonym, F=2Ω, a prawdopodobieństwo P jest takie, że P⁢ωi>0 dla każdego i. Transakcje na rynku odbywają się w chwilach 0,1,2,…,T, T<∞ i mamy daną filtrację Ft, t∈0,1,…,T opisującą wiedzę o rynku (σ-ciało Ft opisuje wiedzę do chwili t), taką że FT=F. Niech fS⁢t,T oznacza proces cen futures na instrument bazowy o cenie S z momentem wykonania T. Wielkość fS⁢0,T jest to cena zapłaty w chwili T na którą się umawiamy dziś, tj. w chwili 0. Wprowadzimy oznaczenie skracające napisy: ft=fS⁢t,T.

Na rynku futures inwestor może inwestować w rachunek bankowy i k różnych kontraktów futures z tą samą datą realizacji i adaptowanym procesem cen f=ftt, ft=ft1,ft2,…,ftk, gdzie fi jest ceną (kursem rozliczeniowym) i-tego kontraktu futures, i=1,2,…,k. Jak zawsze, proces B jest wartością jednostki bankowej. Zakładamy, że kapitalizacja jest okresowa, oprocentowanie jest stałe i równe w skali jednego okresu r, r≥0.

Na tym rynku strategią jest proces

gdzie φ0 jest wielkością kapitału w banku (tj. zmienną losową adaptowaną), a φf=φ1,…,φk jest procesem prognozowalnym mówiącym jakie pozycje zajął inwestor w kontraktach futures. φf jest procesem prognozowalnym, gdyż inwestor określa w chwili t-1 liczbę pozycji zajętych na rynku futures, które będą w jego portfelu w chwili t. φ0 jest procesem adaptowanym, gdyż inwestor dopiero po dokonaniu rozliczenia kontraktów futures zawartych w chwili t-1 wie, ile ma pieniędzy w chwili t. Ze względu na specyfikę kontraktu futures bogactwo portfela odzwierciedla wielkość kapitału posiadanego przez inwestora, gdyż wejście w kontrakt futures nic nie kosztuje. Zatem definiujemy:

Strategię φ nazywamy samofinansującą się, gdy

tj. wartość portfela w chwili t+1 jest równa wartości w chwili t+1 inwestycji w rachunek bankowy w chwili t zwiększonej o rozliczenie pozycji futures (skutek procedury ,,równaj do rynku”). Przez Φf oznaczać będziemy przestrzeń liniową strategii samofinansujących się na rynku futures. Proces zysku jest zadany wzorem:

Z następnego twierdzenia widać, że definicja portfela samofinansującego się na rynku futures jest naturalna.

Rynek Mf=B,f,Φf nazywamy rynkiem bez możliwości arbitrażu gdy klasa strategii samofinansujących się Φf nie zawiera strategii arbitrażowej tzn. nie istnieje φ∈Φf, takie że

Wypłatą europejską X w chwili T nazywamy dowolną FT–mierzalną zmienną losową. Strategię φ∈Φ nazywamy strategią replikującą wypłatę X gdy VTf⁢φ=X. Wypłatę X nazywamy osiągalną, gdy istnieje strategia ją replikująca. Jak poprzednio, wypłatę nazwiemy jednoznacznie replikowalną, gdy dla dowolnych strategii φ,ψ replikujących X mamy Vt⁢φ=Vt⁢ψ dla wszystkich t. Wtedy proces Vt⁢φ nazywamy procesem bogactwa X. Zachodzi twierdzenie o jednoznaczności procesu bogactwa portfela replikującego.

Dowód przebiega analogicznie do dowodu tw. 3.4 i pozostawiamy go jako ćwiczenie dla Czytelnika. Korzystając z tego twierdzenia definiujemy proces ceny arbitrażowej Πf⁢X wypłaty osiągalnej X na rynku Mf bez możliwości arbitrażu jako wartość procesu bogactwa, tzn.

gdzie φ jest strategią replikującą X.

Znajdowanie ceny, gdy korzystamy z samej definicji jest, poza prostymi przykładami jak wyżej, kłopotliwe. Stąd, jak poprzednio, w celu badania rynku i znajdowania procesów cen wypłat wprowadzamy aparat miar martyngałowych.

Warto podkreślić, że w tej definicji wykorzystujemy proces cen futures, a nie proces cen futures zdyskontowanych, jak przyjęliśmy w def. 2.6.

Przez P⁢f będziemy oznaczać zbiór miar martyngałowych dla procesu cen futures. Jak poprzednio, wygodnie jest posługiwać się zdyskontowanym procesem bogactwa portfela φ:

Dowód lematu zostawimy jako zadanie (zad 8.4).

Stąd wprowadzając P⁢Mf — klasę miar martyngałowych dla rynku Mf jako zbiór tych miar probabilistycznych P¯∼P, dla których V¯tf⁢φt jest P¯-martyngałem dla każdego φ∈Φf, otrzymujemy, że

Następnie dla rynku futures dowodzi się podstawowe twierdzenia matematyki finansowej. Są one odpowiednikami podstawowych twierdzeń dla rynku akcji, a ich dowody przebiegają w podobny sposób.

Znajdziemy teraz postać parytetu na rynku futures. Ponieważ

więc ze wzoru (8.5) na cenę futures mamy

Jest to wzór dający parytet kupna-sprzedaży dla opcji na rynku futures. Stąd jako wniosek otrzymujemy

więc na rynku futures cena opcji sprzedaży jest równa cenie opcji kupna o tej samej cenie wykonania, gdy cena wykonania jest równa obecnej cenie futures (tak było w przykł. 8.1).