W 1900 roku L. Bachelier zaproponował, żeby dynamikę ceny akcji na giełdzie paryskiej modelować za pomocą procesów otrzymanych z przejść granicznych błądzeń losowych, a więc zaproponował modelowanie ceny ciągłymi procesami St o przyrostach niezależnych, takimi że przy zmianie czasu o Δ⁢t zmiana ceny St+Δ⁢t-St zachowuje się jak Δ⁢t dla małych przyrostów Δ⁢t. We współczesnym języku matematyki jego postulaty oznaczają, że proces cen powinien mieć postać:

gdzie Wt jest procesem Wienera, μ∈R, σ>0. Zatem St ma rozkład normalny ze średnią S0+μ⁢t i wariancją σ2⁢t, co będziemy oznaczać St∼N⁢S0+μ⁢t,σ2⁢t. Stąd wynika, że cena akcji może przyjmować ujemne wartości z dodatnim prawdopodobieństwem. W związku z tym wiele osób odrzuca ten sposób modelowania ceny (zauważmy jednak, że z reguły trzech sigm wynika, że dla małych t szanse na ujemną cenę są znikome, bo PS0-3⁢σ⁢t≤St≤S0+3⁢σ⁢t≈0,997, a ponadto często w statystyce używa się rozkładu normalnego do modelowania wielkości z istoty rzeczy nieujemnych np. długości, co nie wzbudza wątpliwości). Inną konsekwencją przyjęcia modelu Bacheliera jest fakt, że rozkład przyrostu ceny na ustalonym przedziale czasowym jest taki sam, niezależnie od ceny początkowej. Dlatego szansa, że cena akcji sprzedawanej po 50 jednostek spadnie w tym okresie do 45 (strata w wysokości 10% wartości) jest taka sama, jak szansa, że akcja w ustalonym okresie czasu warta 10 spadnie do 5 (strata w wysokości 50% wartości). Praca Bacheliera była zbyt nowatorska jak na ówczesne czasy i bardzo szybko została zapomniana. Odkryto ją ponownie dopiero w latach siedemdziesiątych dwudziestego wieku.

W 1965 r. Samuelson zaproponował postulaty, które powinien spełniać proces cen St:

1. Ceny są dodatnie, czyli ∀t≥0 St>0, S0 jest stałą.

2. Procentowa zmiana cen akcji nie zależy od ceny obecnej ani od cen w przeszłości, czyli

   ∀t,h≥0St+hStjest niezależne odσ(Su:u≤t).

3. Zmiana ta (a dokładniej rozkład zmiany) zależy tylko od długości odcinka czasu, na którym jest rozpatrywana, natomiast nie jest istotne, od którego momentu ją liczymy, tj.

   ∀t,h≥0⁢St+hSt∼ShS0.

4. Proces St ma ciągłe trajektorie.

Przy założeniach 1–4 można udowodnić, że proces cen wyraża się przez tzw. geometryczny proces Wienera (gdyż z postulatów wynika, że ln⁡St jest procesem stacjonarnym o przyrostach niezależnych i o ciągłych trajektoriach)

Pozostaje problem doboru stałych a,σ by wzór (9.1) miał sens ekonomiczny. Okazuje się, że należy wziąć σ>0 i a=μ-σ22 dla pewnego μ∈R. Wtedy

Zatem St ma rozkład lognormalny, tj.

Znajdziemy teraz ekonomiczny sens stałych μ, σ. Gdy Vt jest wartością jakiegoś portfela w chwili t, to dla s<t

jest oczekiwaną stopą zwrotu na jednostkę czasu z tego portfela w czasie od s do t. Wariancja stopy zwrotu na jednostkę czasu wyraża się wzorem

Gdy portfel składa się z jednej akcji, to oczywiście Vt=St. Jeśli proces S jest geometrycznym procesem Wienera, tj. St spełnia (9.2), to łatwo udowodnić, że

Stąd μ, odzwierciedlające stałe tendencje zmian cen akcji, nazywa się współczynnikiem wzrostu (stopą aprecjacji) cen akcji, a σ mierzące zmienność nazywa się współczynnikiem zmienności cen akcji (dowód tych faktów pozostawiamy jako zadanie — zad. 9.3). W praktyce wielkość σ podaje się w procentach.

Teraz opiszemy klasyczny model Blacka-Scholesa (Blacka-Mertona-Scholesa) z horyzontem T<∞. Niech Ω,F,P będzie przestrzenią probabilistyczną z filtracją F=Ftt∈0,T, na której mamy zadany proces Wienera W. Zakładamy, że mamy do czynienia z rynkiem idealnym, na którym mamy jeden papier ryzykowny, akcje nie płacące dywidend, o cenie zadanej wzorem

W  §9.1 uzasadniliśmy taki wybór procesu cen. Na tym rynku mamy także rachunek bankowy o stałej stopie procentowej r≥0 w całym okresie handlu 0,T i ciągłej kapitalizacji, tj. proces wartości jednostki pieniężnej jest zadany równaniem

zatem Bt=er⁢t. Rynek jest idealny, wszyscy mają taką samą wiedzę, a że informacje w naszym modelu są otrzymywane wyłącznie z obserwacji procesu cen S to o σ-ciele Ft interpretowanym jako wiedza uzyskana do chwili t zakładamy, że Ft=FtS. Ponieważ jedynym rozwiązaniem (9.4) jest

więc FtW=FtS. Podsumowując zakładamy, że filtracja Ft jest uzupełnioną filtracją procesu Wienera, tj. Ft=FtW i F=FT.

Ten model jest znacznym uproszczeniem rzeczywistości. Jego zaletą są proste założenia zrozumiałe dla wszystkich. Stąd służy on jako pierwsze przybliżenie. Wzory (np. na ceny opcji) i reguły otrzymane dla tego modelu są używane w praktyce w bardziej wyrafinowany sposób.

Konstrukcję modelu rynku zaczynamy od definicji strategii.

Jak zawsze φ0 interpretujemy jako liczbę jednostek bankowych, a φ1 jako liczbę akcji. Strategia φ jest F adaptowana tzn. dla każdego t wektor losowy φt jest Ft mierzalny, zatem strategię tworzymy na podstawie wiedzy dostępnej do chwili t. Proces wartości portfela (strategii) też definiujemy jak zwykle, tj.

Proces zysków kapitałowych zadany jest przez odpowiednik (3.2):

Warto zauważyć, że z postaci równania zadającego proces cen wynika, że

Warunek (9.6) oraz fakt, że cena S jest procesem ciągłym zapewniają istnienie całek występujących w definicji procesu zysku.

Warunek (9.7) jest równoważny warunkowi:

czyli

Intuicyjnie, portfel φ jest samofinansujący się, gdy nie ma dopływu kapitału z zewnątrz — zmiany wartości portfela wynikają tylko z naszej polityki, czyli z postaci portfela φ i ze zmian cen S. Warunek (9.7) jest ciągłym odpowiednikiem warunku (3.5). Klasa wszystkich strategii samofinansujących się jest przestrzenią liniową. Będziemy ją oznaczać przez Φ.

Definicja arbitrażu i jego sens jest analogiczny jak dla rynku skończonego.

Ponieważ zbiory miary zero pozostają te same dla każdego P∈P, więc jeśli (9.9) zachodzi dla pewnego P∈P, to zachodzi dla każdego P∈P. Arbitraż jest sposobem postępowania, który nigdy nie przyniesie straty i daje możliwość osiągnięcia zysku w sprzyjających okolicznościach. Gdy na rynku istnieje możliwość arbitrażu, to odpowiednio postępując można osiągać na nim zysk bez ryzyka. Istnienie arbitrażu świadczy o braku równowagi na rynku. Na istniejących rynkach finansowych działają arbitrażyści i nie ma możliwości arbitrażu. Zatem modele opisujące rzeczywistość powinny być wolne od arbitrażu.

Zajmiemy się teraz pojęciem wypłaty.

Wypłatę X otrzymuje kupujący w chwili T, jest to zmienna losowa, więc jest ona FT-mierzalna, czyli jest skonstruowana w oparciu o dostępną wiedzę do chwili T, a zatem jej wartość zależy od procesu cen. Jak zawsze, pojawia się pytanie: jeśli w momencie T kupujący otrzymuje X, to ile powinien zapłacić za to teraz? By na nie odpowiedzieć, wprowadzamy, jak dla rynków skończonych, pojęcie strategii replikującej. Mówimy, że φ∈Φ jest strategią replikującą wypłatę X w chwili T gdy VT⁢φ=X (strategia φ jest zabezpieczeniem wypłaty X). Jeśli wypłata X ma choć jedną strategię replikującą, to mówimy, że X jest osiągalna. Analogicznie jak dla rynku skończonego wprowadzamy pojęcie bogactwa wypłaty osiągalnej (tzn. pojęcie jednoznacznej replikowalności), a mianowicie mówimy, że istnieje proces bogactwa osiągalnej wypłaty X, gdy dla każdych strategii φ,ψ∈Φ, takich, że VT⁢φ=VT⁢ψ=X procesy V⁢φ i V⁢ψ są nieodróżnialne (tzn. P(∀t≤T:Vt(φ)=Vt(ψ))=1).

Taka definicja ceny jest uzasadniona faktem, że dla inwestora jest obojętne, czy ma w swym portfelu instrument finansowy, czy wartość początkową strategii generującej go, gdyż w obu przypadkach otrzymuje na końcu okresu inwestycji tę samą wypłatę (w drugim przypadku musi postępować tak, jak wskazuje strategia replikująca). Można udowodnić wprost, że definicja ceny jest poprawna tzn. że dla każdej wypłaty osiągalnej istnieje proces bogactwa. My to udowodnimy korzystając z idei miary martyngałowej. Wszystkie ceny będziemy dyskontować przez wartość jednostki bankowej, tj.

Zaczniemy od twierdzenia podającego postać miary martyngałowej dla zdyskontowanego procesu cen S*.

Analogicznie jak w przypadku rynku skończonego istnieje ważna charakteryzacja portfeli samofinansujących się w terminach procesu zdyskontowanych cen:

Lemat ten wykorzystuje się do znajdowania strategii samofinansujących się replikujących daną wypłatę. Z niego wynika także:

Rozpatrywanie rynku ze wszystkimi możliwymi strategiami samofinansującymi się prowadzi do arbitrażu. Zatem, by wykluczyć arbitraż, ograniczamy klasę strategii do strategii dopuszczalnych

Ponieważ dla S* istnieje dokładnie jedna miara martyngałowa, to mówimy, że φ jest dopuszczalna (zamiast P*–dopuszczalna), gdyż nie ma wątpliwości o jaką miarę martyngałową chodzi. Zbiór takich strategii będziemy oznaczać przez Φ⁢P*.

Udowodnimy teraz, że wzięcie Ψ=Φ⁢P* jest dobrym wyborem klasy portfeli.

Załóżmy, że na rynku Blacka-Scholesa bez możliwości arbitrażu mamy dodatkowy instrument pierwotny, zatem mamy dwa instrumenty pierwotne, którymi możemy handlować i których ceny zadane są względem jednowymiarowego procesu Wienera W (tego samego) równaniami

czyli na tym rynku mamy jedno źródło losowości — proces Wienera W i rynek rozszerzony jest rynkiem bez możliwości arbitrażu. Gdy P* jest miarą martyngałową dla rynku Blacka-Scholesa B,S1,Φ⁢P*, to

jest P*-procesem Wienera. Ponadto

a ponieważ proces S2A* jest P*-martyngałem, więc

Stąd

Gdy proces ceny S jest zadany wzorem (9.2), to wielkość

ekonomiści nazywają rynkową ceną ryzyka (przez analogię do modelu CAPM) — jest to nadwyżka średniego zwrotu z akcji ponad zwrot z instrumentu bez ryzyka mierzona w jednostkach ryzyka. Wykazaliśmy, że instrumenty bazowe, którymi można handlować na rozszerzonym rynku Blacka-Scholesa bez możliwości arbitrażu z instrumentami bazowymi o cenach zadanych wzorem (9.2) (z różnymi parametrami) mają tę samą rynkową cenę ryzyka. Warto zauważyć, że ta terminologia została tu użyta w innym sensie niż dotąd: nie jest to cena arbitrażowa jakiegoś jednego instrumentu, którym możemy handlować na rynku.

Ponieważ Wt^=Wt+γ⁢t, więc γ wyznacza gęstość miary martyngałowej P* względem P

i stąd miara P* jest nazywana miarą neutralną względem ryzyka.