Zagadnienia

8. Rynek kontraktów terminowych futures

8.1. Opis kontraktów terminowych futures

Kontrakt terminowy futures jest to instrument finansowy zobowiązujący obie strony kontraktu do realizacji w przyszłości transakcji na określonych w nim warunkach. W chwili zawierania kontrakt futures nic nie kosztuje, zatem jest wart 0. Kontraktami terminowymi futures (w przeciwieństwie do forward) handluje się na giełdzie. Obie strony kontraktu nie znają się wzajemnie, gdyż kontrakt zawarły poprzez pośrednika — giełdę. Kontrakty futures odznaczają się następującymi cechami:

  • kontrakty są standaryzowane, czyli są ściśle określone wszystkie warunki kontraktu, w tym nominalna wielkość przedmiotu kontraktu futures i termin dostawy,

  • cena futures jest ustalana na giełdzie,

  • w każdej chwili można kontrakt futures zamknąć wchodząc w pozycję przeciwną,

  • kontrakt jest rozliczany codziennie za pomocą procedury dziennej aktualizacji depozytu (marking-to-market).

Kontrakty tego rodzaju obarczone są ryzykiem związanym ze zmianami cen, ale zostało wyeliminowane ryzyko związane z niewywiązaniem się jednej ze stron z warunków umowy. Na różnych rynkach istnieją różne kontrakty futures, m.in. kontrakty futures na akcje — instrument bazowy stanowią akcje, kontrakty futures walutowe — instrument bazowy stanowi waluta innego kraju, kontrakty futures na indeks giełdowy. Z kontraktem futures związane są ceny:

  • cena futures w dniu zawarcia kontraktu — po takiej cenie zostanie zawarta transakcja w przyszłości,

  • cena kontraktu futures na rynku — cena dzisiejsza tego kontraktu, cena zmieniająca się każdego dnia w okresie notowań,

  • cena bieżąca przedmiotu kontraktu (spot price).

Wejście w kontrakt futures nic nie kosztuje, ale podmiot chcący uczestniczyć w rynku futures musi wnieść na konto pewien depozyt zabezpieczający — wadium. Codziennie Izba Rozrachunkowa (clearing house) koryguje stan konta o zmianę cen kontraktu futures w ciągu dnia. Gdy cena wzrośnie w ciągu dnia o x, to stan rachunku sprzedającego kontrakt zmaleje o x, a kupującego wzrośnie o x. Obie strony muszą utrzymywać na rachunku pewną ustaloną sumę (maintenance margin level). Gdy wartość rachunku po rozliczeniu spada poniżej tej wielkości Izba Rozrachunkowa wzywa inwestora do natychmiastowej dopłaty pieniędzy na rachunek. Gdy wezwanie zostanie zignorowane następuje zamknięcie kontraktu.

Intuicyjnie można sobie wyobrażać, że kontrakt futures jest zamykany na końcu dnia handlowego (bo jest rozliczany) i otwierany na nowo następnego dnia, czyli kontrakt futures można traktować jako ciąg jednodniowych kontraktów forward. Taka procedura jednocześnie daje inwestorowi możliwość zamknięcia pozycji w każdej chwili. Inwestor zamyka pozycję wchodząc w kontrakt przeciwny, czyli otwiera pozycję przeciwną do tej, którą zajął wchodząc na rynek futures. Może to zrobić w każdej chwili, zarówno gdy chce zrealizować osiągnięte zyski, jak i wycofać się by zminimalizować straty. Przy okazji warto zaznaczyć, że bardzo mało kontraktów (niektóre źródła podają, że mniej niż 2%) jest w istocie rozliczanych w momencie wygaśnięcia, czyli dla większości uczestników dostawa przedmiotu kontraktu futures jest jedynie potencjalna.

8.2. Model rynku

Wykorzystując idee poznane wcześniej skonstruujemy teraz model rynku kontraktów terminowych futures. W związku ze specyfiką kontraktów futures model ten różni się trochę od modelu rynku skończonego, opisywanego do tej pory.

Jak poprzednio, zakładamy, że mamy ustaloną przestrzeń probabilistyczną Ω,F,P, gdzie Ω jest zbiorem skończonym, F=2Ω, a prawdopodobieństwo P jest takie, że Pωi>0 dla każdego i. Transakcje na rynku odbywają się w chwilach 0,1,2,,T, T< i mamy daną filtrację Ft, t0,1,,T opisującą wiedzę o rynku (σ-ciało Ft opisuje wiedzę do chwili t), taką że FT=F. Niech fSt,T oznacza proces cen futures na instrument bazowy o cenie S z momentem wykonania T. Wielkość fS0,T jest to cena zapłaty w chwili T na którą się umawiamy dziś, tj. w chwili 0. Wprowadzimy oznaczenie skracające napisy: ft=fSt,T.

Na rynku futures inwestor może inwestować w rachunek bankowy i k różnych kontraktów futures z tą samą datą realizacji i adaptowanym procesem cen f=ftt, ft=ft1,ft2,,ftk, gdzie fi jest ceną (kursem rozliczeniowym) i-tego kontraktu futures, i=1,2,,k. Jak zawsze, proces B jest wartością jednostki bankowej. Zakładamy, że kapitalizacja jest okresowa, oprocentowanie jest stałe i równe w skali jednego okresu r, r0.

Na tym rynku strategią jest proces

φ0,φ1,,φk=dfφ0,φf,

gdzie φ0 jest wielkością kapitału w banku (tj. zmienną losową adaptowaną), a φf=φ1,,φk jest procesem prognozowalnym mówiącym jakie pozycje zajął inwestor w kontraktach futures. φf jest procesem prognozowalnym, gdyż inwestor określa w chwili t-1 liczbę pozycji zajętych na rynku futures, które będą w jego portfelu w chwili t. φ0 jest procesem adaptowanym, gdyż inwestor dopiero po dokonaniu rozliczenia kontraktów futures zawartych w chwili t-1 wie, ile ma pieniędzy w chwili t. Ze względu na specyfikę kontraktu futures bogactwo portfela odzwierciedla wielkość kapitału posiadanego przez inwestora, gdyż wejście w kontrakt futures nic nie kosztuje. Zatem definiujemy:

Vtfφ=φt0Bt. (8.1)

Strategię φ nazywamy samofinansującą się, gdy

Vt+1fφ=φt0Bt+1+φt+1fft+1-ft, (8.2)

tj. wartość portfela w chwili t+1 jest równa wartości w chwili t+1 inwestycji w rachunek bankowy w chwili t zwiększonej o rozliczenie pozycji futures (skutek procedury ,,równaj do rynku”). Przez Φf oznaczać będziemy przestrzeń liniową strategii samofinansujących się na rynku futures. Proces zysku jest zadany wzorem:

Gtfφ=u=0t-1φu+1ffu+1-fu+u=0t-1φu0Bu+1-Bu.

Z następnego twierdzenia widać, że definicja portfela samofinansującego się na rynku futures jest naturalna.

Twierdzenie 8.1

Strategia φ jest strategią samofinansującą się na rynku futures wtedy i tylko wtedy, gdy

Vtfφ=V0fφ+Gtfφdlakażdegot.

Z warunków (8.1) i (8.2) otrzymujemy

Vtfφ=V0fφ+u=0t-1Vu+1fφ-Vufφ=
=V0fφ+u=0t-1φu+1ffu+1-fu+φu0Bu+1-Bu=V0fφ+Gtfφ.

Korzystając z założeń, definicji wartości portfela (8.1) i definicji procesu zysku otrzymujemy

Vtfφ=V0fφ+Gtfφ=
=V0fφ+Gt-1fφ+φtfft-ft-1+φt-10Bt-Bt-1=
=Vt-1fφ+φtfft-ft-1+φt-10Bt-Vt-1fφ=
=φtfft-ft-1+φt-10Bt

otrzymujemy zatem warunek (8.2), czyli φ jest strategią samofinansującą się.

Rynek Mf=B,f,Φf nazywamy rynkiem bez możliwości arbitrażu gdy klasa strategii samofinansujących się Φf nie zawiera strategii arbitrażowej tzn. nie istnieje φΦf, takie że

V0fφ=0,VTfφ0,VTfφωi>0dlapewnegoi.

Wypłatą europejską X w chwili T nazywamy dowolną FT–mierzalną zmienną losową. Strategię φΦ nazywamy strategią replikującą wypłatę X gdy VTfφ=X. Wypłatę X nazywamy osiągalną, gdy istnieje strategia ją replikująca. Jak poprzednio, wypłatę nazwiemy jednoznacznie replikowalną, gdy dla dowolnych strategii φ,ψ replikujących X mamy Vtφ=Vtψ dla wszystkich t. Wtedy proces Vtφ nazywamy procesem bogactwa X. Zachodzi twierdzenie o jednoznaczności procesu bogactwa portfela replikującego.

Twierdzenie 8.2

Gdy Mf jest rynkiem bez możliwości arbitrażu, to każda wypłata osiągalna jest jednoznacznie replikowalna.

Dowód przebiega analogicznie do dowodu tw. 3.4 i pozostawiamy go jako ćwiczenie dla Czytelnika. Korzystając z tego twierdzenia definiujemy proces ceny arbitrażowej ΠfX wypłaty osiągalnej X na rynku Mf bez możliwości arbitrażu jako wartość procesu bogactwa, tzn.

ΠtfX=Vtfφ,

gdzie φ jest strategią replikującą X.

Przykład 8.1

Niech na rynku futures jednookresowym dwustanowym ceny pewnego aktywa wynoszą

f0=320,f1=fu=360, gdy ω=ω1,fd=310, gdy ω=ω2.

Znajdziemy cenę arbitrażową europejskiej opcji kupna wystawionej na to aktywo na rynku futures, gdy T=3 miesiące, K=320 i stopa procentowa dla tego okresu wynosi r=5%. Wtedy wypłata z tej opcji wynosi

C1fω=f1-K+=Cfu=40, gdy ω=ω1,Cfd=0, gdy ω=ω2.

Wielkość V1fω — wartość portfela replikującego α0,β0 musi spełniać

α0fu-f0+1+rβ0=Cfu, odpowiada przypadkowi ω=ω1,α0fd-f0+1+rβ0=Cfd, odpowiada przypadkowi ω=ω2,

zatem

40α0+1,05β0=0,-10α0+1,05β0=10.

Stąd α0=45, β0=81,05=7,62, zatem cena jest równa

C0f=V0fφ=β0=7,62.

Znajdujmy teraz cenę arbitrażową opcji sprzedaży na rynku futures przy tych samych parametrach. Portfel replikujący spełnia:

40α0+1,05β0=0,
-10α0+1,05β0=10.

Stąd mamy α0=-1050=-15, β0=81,05=7,62. Cena opcji sprzedaży wynosi β0=7,62, jest zatem taka sama jak cena opcji kupna, co na rynku futures — jak się dalej przekonamy — nie jest przypadkiem.

Znajdowanie ceny, gdy korzystamy z samej definicji jest, poza prostymi przykładami jak wyżej, kłopotliwe. Stąd, jak poprzednio, w celu badania rynku i znajdowania procesów cen wypłat wprowadzamy aparat miar martyngałowych.

Definicja 8.1

Miarę probabilistyczną P¯ równoważną z P nazywamy miarą martyngałową dla rynku futures, gdy proces cen futures ftt jest P¯-martyngałem.

Warto podkreślić, że w tej definicji wykorzystujemy proces cen futures, a nie proces cen futures zdyskontowanych, jak przyjęliśmy w def. 2.6.

Przez Pf będziemy oznaczać zbiór miar martyngałowych dla procesu cen futures. Jak poprzednio, wygodnie jest posługiwać się zdyskontowanym procesem bogactwa portfela φ:

V¯tfφ=VtfφBt-1.
Lemat 8.1

Strategia φ jest strategią samofinansującą się na rynku futures tzn.φΦf wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego t

V¯tfφ=V¯0fφ+u=0t-1φu+1ffu+1-fuBu+1-1. (8.3)

Dowód lematu zostawimy jako zadanie (zad 8.4).

Wniosek 8.1

Jeżeli P¯Pf, to dla każdego φΦf proces V¯tfφ jest P¯–martyngałem.

Korzystając z (8.3) i prognozowalności φf otrzymujemy

EP¯(V¯t+1f(φ)-V¯tf(φ)|Ft)=Bt+1-1φt+1fEP¯(ft+1-ft|Ft)=0,

bowiem f jest P¯ martyngałem.

Stąd wprowadzając PMf — klasę miar martyngałowych dla rynku Mf jako zbiór tych miar probabilistycznych P¯P, dla których V¯tfφt jest P¯-martyngałem dla każdego φΦf, otrzymujemy, że

PMf=Pf. (8.4)

Następnie dla rynku futures dowodzi się podstawowe twierdzenia matematyki finansowej. Są one odpowiednikami podstawowych twierdzeń dla rynku akcji, a ich dowody przebiegają w podobny sposób.

Twierdzenie 8.3

Rynek Mf jest wolny od arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy PMf. Wówczas cena arbitrażowa wypłaty osiągalnej X wynosi

Πtf(X)=BtEP¯(XBT-1|Ft) (8.5)

dla P¯PMf.

Twierdzenie 8.4

Rynek Mf bez możliwości arbitrażu jest zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dokładnie jedna miara martyngałowa.

Znajdziemy teraz postać parytetu na rynku futures. Ponieważ

fT-K+-K-fT+=fT-K,

więc ze wzoru (8.5) na cenę futures mamy

C0f-P0f=f0-K1+r. (8.6)

Jest to wzór dający parytet kupna-sprzedaży dla opcji na rynku futures. Stąd jako wniosek otrzymujemy

C0f=P0ff0=K,

więc na rynku futures cena opcji sprzedaży jest równa cenie opcji kupna o tej samej cenie wykonania, gdy cena wykonania jest równa obecnej cenie futures (tak było w przykł. 8.1).

8.3. Zagadnienia i zadania na ćwiczenia

Ćwiczenie 8.1

Udowodnić, że rynek futures jednookresowy dwustanowy jest wolny od arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy

fd<f0<fu (8.7)

(oznaczenia fu,fd jak w przykł. 8.1).

Rozwiązanie: 

Nie wprost. Gdy f0fu, to portfel φ=-1,0 jest arbitrażem, gdyż

V0fφ=0,V1fφ=-1f1-f0+1+r00,

(ponieważ f1f0) i

V1fφω2>0.

Gdy f0fd, to portfel φ=1,0 jest arbitrażem.

Niech φ=α,β będzie portfelem takim, że V0fφ=0. Wtedy β=0. Gdy α=0, to φ=0,0V1fφ=0. Gdy α0, to V1fφ=αf1-f0. Stąd korzystając z warunku (8.7) otrzymujemy, że istnieje ω taka, że V1fφω<0, czyli nie istnieje arbitraż.

Ćwiczenie 8.2

Udowodnić, że
a) Jeśli na rynku futures jednookresowym dwustanowym miara martyngałowa P istnieje, to jest określona przez równość:

f0=EPf1=pfu+1-pfd, (8.8)

gdzie p=Pω1. Zatem

p=f0-fdfu-fd (8.9)

b) Miara martyngałowa P istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy p0,1.

Ćwiczenie 8.3

Udowodnić, że gdy f,S,B,Ψ jest rynkiem bez możliwości arbitrażu, to

f0=1+rS0. (8.10)
Rozwiązanie: 

Kontrakt futures wypłaca w chwili T wielkość

X=fT-f0=ST-f0.

W chwili 0 ten kontrakt nic nie kosztuje, więc

0=Π0X=Π0ST-f0=Π0ST-Π0f0=S0-f01+r,

co daje (8.10).

Ćwiczenie 8.4

Udowodnić lemat 8.1.

Ćwiczenie 8.5

Udowodnić, że Φf jest przestrzenią liniową.

Ćwiczenie 8.6

Udowodnić tw. 8.2.

Wskazówka: 

Naśladować dowód dla rynku akcji.

Ćwiczenie 8.7

Udowodnić tw. 8.3.

Ćwiczenie 8.8

Udowodnić tw. 8.4.

Ćwiczenie 8.9

Udowodnić, że φΦf wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego momentu t

V¯tfφ=V¯0fφ+u=0t-1φu+1ffu+1-fuBu+1-1.
Rozwiązanie: 

Wystarczy udowodnić, że φΦf wtedy i tylko wtedy, gdy

V¯t+1fφ-V¯tfφ=φt+1fft+1-ft1+r-t+1. (8.11)

Gdy φ jest strategią samofinansującą się, to

V¯t+1fφ-V¯tfφ=Bt+1-1φt+1fft+1-ft+φt0Bt+1-Bt-1Btφt0=
=φt+1fft+1-ft1+r-t+1,

a więc (8.11) zachodzi. Na odwrót, gdy zachodzi (8.11), to

V¯t+1fφ-V¯tfφ=φt+1fft+1-ftBt+1-1.

Mnożąc obie strony przez Bt+1 otrzymujemy

Vt+1fφ-Vtfφ1+r=φt+1fft+1-ft,

czyli

Vt+1fφ-φt0Bt+1=φt+1fft+1-ft,

tj. (8.2), a więc φ jest strategią samofinansującą się.

Ćwiczenie 8.10

Niech N będzie rynkiem, na którym handlujemy instrumentami bazowymi i kontraktami futures oraz możemy inwestować w lokaty bankowe. Udowodnić, że N jest rynkiem bez możliwości arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy ceny kontraktów futures i forward są równe.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.