Dla łańcuchów pochłaniających postać kanoniczna macierzy przejścia przedstawia się następująco

gdzie I oznacza macierz jednostkową wymiaru m×m reprezentującą m stanów pochłaniających, R jest macierzą wymiaru n-m×m przejścia ze stanów nieistotnych do stanów pochłaniających, a Q — macierzą n-m×n-m przejścia ze stanów nieistotnych do stanów nieistotnych. Zauważmy, że dla takich łańcuchów wygodniej jest zdefiniować postać kanoniczną inaczej niż poprzednio — zaczynamy numerowanie od stanów pochłaniających, dopiero później bierzemy pod uwagę stany nieistotne.

Z własności stanów nieistotnych i stanów pochłaniających wynika, że

1. Qt→0 dla t→∞ (zbieżność po wyrazach);

2. macierz I-Q jest odwracalna;

3. I-Q-1=∑s=0∞Qs .

Własność 1. wynika z ogólnego twierdzenia dotyczącego łańcuchów Markowa, które orzeka, że niezależnie od stanu początkowego prawdopodobieństwo trafienia do stanu komunikującego się po t krokach dąży do 1 przy t→∞, a ponieważ Q odpowiada stanom nieistotnym, zatem każde z pozostałych prawdopodobieństw dąży do 0. Dalej zauważmy, że

Skoro Qt→0, to I-Qt→I, a z ciągłości wyznacznika wynika, że dla dostatecznie dużych t zachodzi det⁡I-Qt≠0, czyli także det⁡I-Q≠0, więc macierz I-Q jest odwracalna. Stąd

i przechodząc do granicy t→∞ dostajemy wzór 3.

W przypadku łańcuchów pochłaniających interesują nas głównie następujące zagadnienia dotyczące łańcucha, dla którego stanem początkowym jest pewien nieistotny stan Wi.

[I]

1. Jaka jest oczekiwana liczba przejść przez stan Wj, zakładając że stanem początkowym jest Wi?

2. Jaka jest oczekiwana liczba kroków przed absorpcją, jeśli stanem początkowym jest Wi?

3. Jakie jest prawdopodobieństwo absorpcji przez dany stan pochłaniający Wj, jeśli stanem początkowym jest Wi?

Dla macierzy przejścia w postaci kanonicznej definiujemy następującą macierz fundamentalną

łańcucha pochłaniającego. Macierz ta zawiera wszystkie istotne informacje dotyczące zachowań asymptotycznych. W szczególności

Zastosujemy teraz powyższe twierdzenie do opisu asymptotyki rosyjskiej ruletki oraz do opisu doświadczenia polegającego na ciągłym krzyżowaniu z dominantą.

W przypadku rosyjskiej ruletki mamy jeden stan pochłaniający M i jeden stan nieistotny Z. Odpowiednie podmacierze macierzy P są jednoelementowe

Ponieważ jest tylko jeden stan pochłaniający, więc oczywiście prawdopodobieństwo znalezienia się w tym stanie po dostatecznie długim czasie wynosi 1, natomiast oczekiwana liczba kroków do absorpcji równa się 6.

Zajmiemy się teraz pewnym szczególnym przypadkiem łańcuchów nieprzywiedlnych.

Zauważmy, że rzut monetą jest łańcuchem regularnym, dla którego k=1. Natomiast łatwo podać przykład łańcucha nieprzywiedlnego, który nie jest regularny. Weźmy dla przykładu łańcuch o dwóch stanach W1, W2, dla którego macierz przejścia ma postać

zatem np. ze stanu W1 do W2 przechodzimy zawsze w nieparzystej liczbie kroków, podczas gdy ze stanu W1 do niego samego — w parzystej. Tak zdefiniowany łańcuch jest oczywiście łańcuchem okresowym. Co więcej, można udowodnić następujące twierdzenie

W ogólnym przypadku dla łańcuchów nieprzywiedlnych asymptotykę opisuje następujące twierdzenie ergodyczne, którego dowód pomijamy.

Taki asymptotyczny rozkład prawdopodobieństwa nazywamy rozkładem stacjonarnym. Wynika stąd, że zachowanie asymptotyczne badanego łańcucha nie zależy od stanu początkowego — łańcuch ma własność ,,zapominania” rozkładu początkowego.

Dla łańcuchów regularnych można udowodnić twierdzenie silniejsze.

Niech P będzie macierzą przejścia łańcucha regularnego, natomiast W jej macierzą graniczną. Można pokazać, że macierz

jest odwracalna, co więcej

Macierz Z nazywamy macierzą fundamentalną łańcucha regularnego i dzięki niej możemy wyznaczyć czasy przejścia i powrotów opisane macierzą E=ei⁢ji,j=1n. Mamy

gdzie J jest macierzą o wszystkich wyrazach równych 1, Zp to macierz, która ma na przekątnej wyrazy takie same jak Z i zera poza przekątną, natomiast D jest macierzą diagonalną o wyrazach na przekątnej równych 1/wi, gdzie w=w1,…,wn oznacza rozkład stacjonarny. W szczególności wyrazy na przekątnej ej⁢j zadają średni pierwszy czas powrotu do stanu Wj.

Zastosujmy najpierw powyższe twierdzenia do rzutu monetą. W tym przypadku rozkład stacjonarny znajdujemy bez trudu, gdyż Pr⁢mt=Pr⁢m dla dowolnego t, zatem w1=w2=0,5. Policzymy jeszcze macierz E, choć możemy się spodziewać rezultatu — średnio co drugi rzut powinien dawać O i co drugi R, zatem średni czas powrotu szacujemy jako 2.

co oczywiście implikuje, że średni czas powrotu wynosi 2 rzuty, natomiast średni czas przejścia od O do R i odwrotnie wynosi 1.