Układ odpornościowy człowieka (i nie tylko człowieka) jest bardzo skomplikowany. Odpowiedź odpornościową wywołuje antygen. Antygenem nazywamy substancję, która wykazuje się:

1. immunogennością, czyli zdolnością indukowania swoistej (specyficznej) odpowiedzi odpornościowej przeciw sobie;

2. antygenowością, czyli zdolnością do swoistego łączenia się z immunoglobulinami (zarówno wolnymi jak i stanowiącymi receptory limfocytów $B$) oraz receptorami limfocytów $T$.

Okazuje się, że w obrębie jednego antygenu może znajdować się wiele miejsc wiązanych przez przeciwciała. Są to tzw. epitopy lub determinanty antygenowe. Epitopy obecne w jednej cząsteczce antygenu mogą być identyczne lub różne i mogą być wiązane przez przeciwciała o tej samej lub różnej swoistości. Antygen zawierający wiele epitopów nazywamy wielowartościowym lub poliwalentnym.

Reakcja odpornościowa składa się z wielu różnorodnych procesów, w których bierze udział wiele składników układu odpornościowego. Najważniejsze z tych składników to:

• wśród komórek odpornościowych:

• limfocyty T;

• limfocyty B;

• komórki prezentujące antygen, ang. antigen presenting cells (APC);

• wśród cząstek:

• immunoglobuliny (przeciwciała);

• receptory limfocytów wiążące się z antygenem.

Zestawienie najważniejszych składników układu odpornościowego przedstawiamy na rys. 12.1 i w tabeli 12.1.

W każdej odpowiedzi odpornościowej oprócz komórek efektorowych (np. limfocytów B wytwarzających przeciwciała lub cytotoksycznych limfocytów T) uczestniczą także komórki regulujące tę odpowiedź.

Rodzinę komórek zwanych limfocytami T dzielimy na kilka grup, w zależności od spełnianych przez nie funkcji:

• limfocyty $T$ cytotoksyczne (T⁢c), które są zdolne do zabicia innych komórek, takich jak komórki obce, komórki nowotworowe, komórki zainfekowane przez wirusy;

• limfocyty $T$ pomocnicze, ang. T helper cells (T⁢h), które wspomagają odpowiedź odpornościową;

• limfocyty $T$ regulatorowe, ang. regulatory T cells (T⁢r⁢e⁢g), które hamują odpowiedź odpornościową.

Z kolei limfocyty B należą do klasy komórek prezentujących antygen APC i uczestniczą w procesie rozpoznawania antygenu i przygotowywania swoistej odpowiedzi odpornościowej przeciw temu antygenowi. Następnie w procesie różnicowania stają się komórkami plazmatycznymi, które produkują przeciwciała zwalczające dany antygen.

Zajmiemy się teraz zaproponowaniem możliwie najprostszych modeli odpowiedzi odpornościowej, gdzie ponownie wykorzystamy znane już sposoby modelowania oddziaływań między różnymi populacjami. Zacznijmy od opisu wewnętrznej dynamiki antygenu. Pod względem tejże dynamiki możemy antygeny podzielić na:

1. aktywne, jak bakterie, grzyby i wirusy, mające zdolność aktywnego namnażania się w organizmie;

2. pasywne, jak trucizny i jady, które się nie namnażają;

3. własne, czyli produkowane przez organizm, jak autoantygeny czy antygeny transplantacyjne.

Niech V⁢t oznacza zagęszczenie antygenu w organizmie w chwili t. W najprostszym przypadku wewnętrzną dynamikę pierwszego typu antygenu możemy opisać równaniem

gdzie β oznacza współczynnik namnażania netto (czyli różnicę między współczynnikiem rozrodczości i śmiertelności). Oczywiście tylko gdy β>0 antygen istotnie jest aktywny. Z kolei dla antygenu pasywnego możemy rozważać takie samo równanie wewnętrznej dynamiki przy założeniu β<0. Natomiast trzeciemu typowi antygenu odpowiada w najprostszym przypadku równanie

gdzie α>0 oznacza stałe źródło, a μ>0 — współczynnik śmiertelności, przy czym 1/μ to średnia długość życia takiego antygenu.

Zakładamy teraz, że dany antygen wywołuje odpowiedź odpornościową, którą w modelu reprezentują efektory (limfocyty lub przeciwciała) o zagęszczeniu E⁢t. Wobec tego w równaniu (12.1) (odpowiednio (12.2)) musimy uwzględnić kolejny składnik opisujący oddziaływanie antygen – efektor. Bazując na modelu drapieżnik – ofiara otrzymamy zamiast (12.1) równanie

gdzie γ odzwierciedla skuteczność efektorów w zwalczaniu antygenów.

Układ odpornościowy aktywuje się po wykryciu antygenu przez komórki odpornościowe. Wiemy też, że efektory zużywają się w trakcie odpowiedzi odpornościowej, zatem równanie ich dynamiki możemy zapisać w następującej postaci

gdzie η oznacza współczynnik aktywacji, a ν — śmiertelność efektorów w wyniku reakcji odpornościowej.

Ostatecznie model odpowiedzi odpornościowej przeciw antygenowi aktywnemu opiszemy następującym układem dwóch równań różniczkowych zwyczajnych

z dodatnimi współczynnikami. Analogicznie możemy modelować odpowiedź przeciwko antygenowi pasywnemu oraz autoantygenowi, co pozostawiamy jako ćwiczenie.

Przejdziemy teraz do analizy układu (12.3). Podstawowe własności jak istnienie, jednoznaczność, nieujemność i przedłużalność rozwiązań badamy w sposób standardowy. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań dla dowolnego warunku początkowego V0,E0 wynika z gładkości prawej strony układu. Nieujemność pierwszej zmiennej dla nieujemnego warunku początkowego wynika z tego, że oś V≡0 jest zbiorem niezmienniczym. W przypadku drugiej zmiennej E, jeśli założymy, że istnieje t¯>0, dla którego E⁢t¯=0, to otrzymamy E˙⁢t¯>0, zatem rozwiązanie nie może opuścić pierwszej ćwiartki układu współrzędnych. Nieujemność rozwiązań implikuje też ich przedłużalność dla wszystkich t>0, ponieważ prawa strona układu ma w tym przypadku oszacowanie liniowe — obie pochodne szacują się przez c⁢V, gdzie odpowiednio c=β dla zmiennej V i c=η dla E.

W kolejnym kroku analizy znajdziemy izokliny zerowe i naszkicujemy portrety fazowe w zależności od parametrów układu (12.3). Widzimy, że

Zauważmy, że oś V=0 jest izokliną zarówno dla V jak i dla E. Mamy więc do czynienia z przypadkiem niehiperbolicznym. Cała oś V=0 składa się z punktów krytycznych układu (12.3), por. rys. 12.3.

Oznaczmy c1=βγ, c2=ην. Widzimy, że możemy wyznaczyć równanie orbit układu (12.3). Mamy

Zauważmy, że E≡c2 stanowi rozwiązanie drugiego równania układu, gdyż wtedy E˙≡0. Stąd V˙=β-γ⁢c2⁢V i funkcja V zmienia się w sposób wykładniczy. Dla tego rozwiązania w generycznych przypadkach mamy, jeśli c1<c2, to V→0 przy t→+∞ oraz jeśli c1>c2, to V→+∞. Niegeneryczny przypadek c1=c2 pozostawiamy jako ćwiczenie.

Jeśli E≠c2, to możemy rozwiązać równanie (12.4). Dostajemy

skąd

Rozpatrzmy przypadek c1>c2, który opisuje silny antygen lub słaby układ odpornościowy, gdyż wtedy β>γ⁢η/ν, co oznacza duży współczynnik namnażania antygenu β w stosunku do jego śmiertelności w wyniku odpowiedzi odpornościowej (współczynnik γ) i aktywacji układu odpornościowego (η), przy dużej śmiertelności efektorów (ν). Izoklina E=c2 stanowi separatrysę. Poniżej tej izokliny obie zmienne są rosnące i E jest ograniczona. Wynika stąd, że E ma granicę, natomiast V nie może mieć granicy, gdyż w obszarze E<c2 nie ma punktów krytycznych o dodatniej współrzędnej V. Zatem V→+∞, co implikuje, że E→c2. W obszarze c2<E<c1 obie zmienne są również monotoniczne, przy czym V rośnie, a E maleje. Skoro obie zmienne pozostają w tym obszarze, to analogicznie jak w pierwszym przypadku otrzymujemy V,E→+∞,c2. Jeśli orbita zaczyna się w obszarze E>c1, to obie zmienne maleją. Wobec tego orbita albo przechodzi do poprzedniego obszaru, albo ma granicę, zatem dąży do któregoś z punktów krytycznych na osi V=0. Wtedy na mocy zależności (12.5) granica Eg spełnia równanie

Taka dynamika jest w tym przypadku możliwa pod warunkiem, że c1<Eg<E0, czyli

Wniosek 12.1 pokazuje, że jeśli antygen jest silny (spełnia nierówność c1>c2), to wyzdrowienie jest możliwe tylko w przypadku dostatecznie dużego początkowego poziomu efektorów E0>c1 oraz stosunkowo niewielkiej początkowej dawki antygenu V0 spełniającej nierówność (12.7), por. rys. 12.4.

W przypadku słabego antygenu lub dostatecznie silnego układu odpornościowego, czyli dla c1<c2, analogiczna analiza pokazuje, że wszystkie rozwiązania zbiegają do któregoś z punktów krytycznych 0,Eg i oczywiście granica Eg spełnia zależność (12.6). W tej sytuacji mamy zawsze do czynienia z wyzdrowieniem, bez względu na początkową dawkę antygenu. Jeśli poziom efektorów jest dostatecznie duży, to zagęszczenie antygenu stale maleje w czasie, a jeśli jest niezbyt duży w stosunku do początkowej dawki antygenu, to w pierwszej fazie odpowiedzi odpornościowej układ nie może sobie poradzić i zagęszczenie antygenu wzrasta, ale po pewnym czasie wyprodukowana zostanie dostateczna liczba efektorów i poziom antygenu zaczyna maleć, w efekcie maleje do 0, por. rys. 12.5.

Widzimy więc, że układ (12.3) jest zbyt prosty, aby mógł w odpowiedni sposób odzwierciedlić rzeczywiste procesy. W szczególności w rzeczywistości nie jest możliwe, by nawet bardzo silny układ odpornościowy zawsze poradził sobie z antygenem, bez względu na wielkość dawki początkowej.