W większości przypadków, jeśli nie uwzględniamy migracji, to model pojedynczej populacji P, zarówno w przypadku ciągłym jak i dyskretnym, możemy zapisać w ogólnej postaci

gdzie f odzwierciedla przyrost per capita, podobnie jak w przypadku równania logistycznego (2.2). Omówimy teraz postać funkcji f w przypadku występowania w populacji tzw. efektu Alleego. Populacje, w których obserwujemy taki efekt, zmniejszają swoją liczebność, jeśli spadnie ona poniżej pewnego progu. Typowo wiążemy efekt Alleego z drapieżnictwem — na dynamikę danej populacji wpływa także to, że w ekosystemie występuje gatunek drapieżnika żywiący się osobnikami populacji P, przy czym zakładamy, że drapieżników jest zawsze dużo. Wobec tego jeśli liczebność populacji P jest niewielka, to drapieżniki zjadają dostępne osobniki i populacja P wymiera.

Modele z efektem Alleego mogą mieć różną postać, w zależności od funkcji drapieżnictwa. Najprostszy model stanowi modyfikację równania logistycznego (2.2)

gdzie r i K interpretujemy analogicznie jak w równaniu logistycznym, natomiast Nc nazywamy w tym kontekście pułapką drapieżnictwa.

Podobnie jak w przypadku równania (2.2), równanie (3.2) możemy rozwiązać analitycznie rozkładając prawą stronę na ułamki proste, co zostawimy jako ćwiczenie. Najważniejsze własności rozwiązań odczytamy z portretu fazowego, por. rys. 3.1.

Widzimy, że prawa strona równania (3.2) jest wielomianem trzeciego stopnia o miejscach zerowych 0, Nc, K — są to oczywiście stany stacjonarne naszego równania — i ujemnym współczynniku przy N3. Wobec tego

1. dla N0∈0,Nc mamy N˙⁢t<0, czyli N⁢t maleje do 0;

2. dla N0∈Nc,K mamy N˙⁢t>0, czyli N⁢t rośnie do K;

3. dla N0>K mamy N˙⁢t<0, czyli N⁢t maleje do K.

Policzymy też drugą pochodną, aby zbadać wklęsłość/wypukłość rozwiązań

Z kolei druga pochodna jest funkcją kwadratową zmiennej N⁢t o wyróżniku

i pierwiastkach

Ostatecznie, por. rys. 3.2,

1. dla N0<N1 funkcja N maleje i N¨>0, czyli N jest wypukła;

2. dla N0∈N1,Nc funkcja N maleje i pozostaje wklęsła dopóki N⁢t>N1, w punkcie t¯, takim że N⁢t¯=N1 następuje zmiana charakteru przebiegu funkcji N — staje się ona wypukła;

3. dla N0∈Nc,N2 przebieg jest symetryczny względem stanu stacjonarnego Nc do opisanego w poprzednim punkcie (podobny do przebiegu krzywych logistycznych);

4. dla N0∈N2,K funkcja N rośnie w sposób wklęsły do stanu stacjonarnego K;

5. dla N0>K funkcja N maleje w sposób wypukły.

Widzimy więc, że powyżej progu drapieżnictwa dynamika modelu jest analogiczna jak w przypadku równania logistycznego, por. prawy wykres na rys. 3.2, natomiast poniżej progu drapieżnictwa populacja wymiera, co widzimy na lewym wykresie na rys. 3.2.

W dalszym ciągu będziemy zajmować się sytuacją, w której na opisywaną populację P ma wpływ drapieżnictwo. Wyprowadzimy wzór funkcji zwanej odpowiedzią funkcjonalną na obecność drapieżnika w oparciu o następujące rozumowanie zwane koncepcją dysku Hollinga [5]. Według tej koncepcji każdy drapieżnik polujący na danej powierzchni zauważa ofiary znajdujące się w obszarze o pewnym określonym promieniu γ i promień ten jest charakterystyczny dla konkretnego gatunku drapieżnika. Spośród dostrzeżonych ofiar drapieżnik może upolować i zjeść pewną część. Zakładamy, że jest ona stała i oznaczamy tę część przez α. Każdy drapieżnik dzieli swój czas na dwa typy aktywności: wyszukiwanie ofiary oraz polowanie i zjadanie ofiary. Szukając ofiar drapieżnik przemieszcza się z pewną ustaloną prędkością v, a polowanie i konsumpcja jednej ofiary zajmują mu średnio Tk jednostek czasu.

Przy tych założeniach oszacujemy, ile średnio ofiar z populacji o zagęszczeniu N zjada w jednostce czasu pojedynczy drapieżnik. Dowolny przedział czasu długości T dzielimy na wymienione wyżej dwa typy aktywności, a za pomocą Ts oznaczymy czas przeznaczony na wyszukiwanie ofiary. W czasie wyszukiwania drapieżnik poruszający się z prędkością v obejmuje swoim zasięgiem powierzchnię 2⁢γ⁢v⁢Ts, gdyż v⁢Ts to droga, którą przebywa drapieżnik, przy czym w każdym kroku rozglądając się widzi ofiary w odległości nie większej niż γ w prawo i lewo. Zatem w przedziale czasu o długości T drapieżnik chwyta i zjada 2⁢α⁢γ⁢v⁢Ts⁢N ofiar w czasie 2⁢α⁢γ⁢v⁢Ts⁢Tk⁢N. Cały przedział czasu T możemy więc zapisać jako

Jeśli przez fH oznaczymy funkcję odpowiedzi drapieżnika, czyli

to

i ostatecznie

gdzie a=2⁢α⁢γ⁢v i b=2⁢α⁢γ⁢v⁢Tk, a równanie (3.3) nazywamy równaniem dysku Hollinga.

Zauważmy, że

czyli nawet jeśli ofiar jest bardzo dużo, to drapieżnik nie może zjeść więcej niż pewną ich liczbę, określoną przez czas poświęcany na upolowanie i zjedzenie jednej ofiary. Jeśli rozpatrzymy skrajny przypadek, w którym Tk→0 przy ustalonej liczebności populacji ofiar, to

co oznacza, że w takim przypadku możemy odpowiedź funkcjonalną modelować za pomocą składnika liniowego. Taką postać odpowiedzi funkcjonalnej nazywamy odpowiedzią Hollinga I typu, która charakteryzuje się brakiem ograniczenia względem liczebności populacji ofiar, natomiast przy b≠0 mamy odpowiedź typu II, która jest ograniczona.

Wróćmy teraz do opisu dynamiki populacji P. Załóżmy, że na jej liczebność wpływa drapieżnictwo, odpowiedź funkcjonalną opisuje funkcja (3.3) i możemy przyjąć stałą liczebność drapieżników D. Jeśli wewnętrzną dynamikę (bez uwzględnienia drapieżnictwa) populacji P opisuje równanie logistyczne (2.2), to ostatecznie zmiana liczebności podlega równaniu

gdzie β=DTk oznacza maksymalne drapieżnictwo i N1/2=1a⁢Tk odpowiada takiej liczebności populacji, przy której drapieżnictwo jest równe połowie maksymalnej wielkości β (maksymalną wielkość osiąga się asymptotycznie, przy N→∞).

Postać równania (3.4) nie daje gwarancji znalezienia rozwiązania analitycznego, ale metody portretu fazowego i badania wklęsłości/wypukłości rozwiązań omówione w kontekście poprzednich modeli mogą być zastosowane z powodzeniem także w tym przypadku. Przeanalizowanie dynamiki modelu (3.4) pozostawiamy jako ćwiczenie.

Wyprowadzona powyżej postać odpowiedzi funkcjonalnej (3.3) stanowi szczególny przypadek funkcji Hilla

przy czym stałą n nazywamy współczynnikiem Hilla i w ogólnym przypadku nie musi to być liczba naturalna.

Widzimy, że dla n=1 funkcja Hilla odpowiada funkcjonalnej odpowiedzi Hollinga typu II. Funkcja Hilla została zaproponowana do opisu reakcji biochemicznych i w tym przypadku odzwierciedla ona szybkość reakcji. W szczególności n=2 opisuje przypadek, gdy w reakcji biorą udział bimery (cząsteczki powstałe z połączenia dwóch pojedynczych monomerów). Zauważmy, że funkcja Hn opisuje reakcje, które ulegają wysyceniu, przy czym w zależności od współczynnika n mają różne tempo przebiegu reakcji dla x blisko 0 i dla dużych x. Im większe n, tym szybsze są zmiany w otoczeniu punktu krytycznego xp=n-1n+1n⁢b (będącego punktem przegięcia Hn). Funkcje Hilla możemy także interpretować jako gładkie przybliżenie tzw. funkcji przełączeniowych

Funkcje Hilla są bardzo często wykorzystywane do opisu różnych procesów ulegających wysyceniu — wielkość współczynnika Hilla zależy wtedy od szybkości zmian danego procesu.