Zakładamy, że mamy w sumie n dóbr. Plan albo inaczej proces produkcyjny to dowolny wektor y∈Rn. Jeżeli dla procesu produkcyjnego y jego i-ta współrzędna yi jest ujemna, to dobro i jest czynnikiem produkcji, natomiast jeśli jest dodatnia, to i jest produktem. Zbiór osiągalnych (fizycznie, prawnie, etc.) planów produkcyjnych będziemy oznaczać przez Y – zbiór produkcyjny.

W celach obliczeniowych wygodnie jest zapisać zbiór produkcyjny przy pomocy funkcji:

Przypadek szczególny

Szczególnie interesować będzie nas sytuacja, z którą przeważnie mamy do czynienia w rzeczywistości: kiedy mamy tylko jeden, ustalony produkt i funkcja transformacji ma szczególną postać: jest różnicą pewnej funkcji od nakładów czynników produkcji i wielkości produktu. Dla wyróżnienia produkt będzie zawsze na ostatniej współrzędnej. Tak więc Y=-z1,-z2,…,-zn-1,yT:y≤f⁢z1,z2,…,zn-1,zi≥0. Tę sytuację będziemy określać jako przypadek szczególny.

Zauważmy, że rzeczywiście jest to przypadek szczególny szerszego modelu z funkcją transformacji F, w naszym przypadku możemy np. wziąć F⁢y=max⁡y1,…,yn-1,yn-f⁢-y1,…,-yn-1.

Jeżeli krańcowa stopa substytucji technicznej jest dobrze określona, to jest miarą nachylenia izokwanty. Ekonomiczna łopatologiczna interpretacja to ”o ile trzeba zmienić nakłady czynnika k, aby przy zwiększeniu nakładów czynnika l o jednostkę pozostać na tej samej izokwancie”. Tu również, podobnie jak dla krańcowej stopy substytucji w modelu konsumenta, niektóre podręczniki mogą używać przeciwnego znaku w definicji, a nawet pojawiać się podobna niekonsekwencja co do znaku jak w przypadku MRS w modelu konsumenta – jak w poniższym zadaniu.

Wracamy do ogólnego modelu.

Będziemy rozważać następujące własności zbioru produkcyjnego:

1. Y≠∅;

2. Y jest domknięty;

3. możliwość marnotrawstwa (po angielsku eufemistycznie ”free disposal”): jeżeli y∈Y to dla y′≤y mamy y′∈Y – zawsze można zużyć więcej czynników albo uzyskać mniejszy produkt.

Warunki 1-3 są minimalnymi założeniami w modelu producenta i zawsze będziemy je przyjmować.

Przy tych założeniach można udowodnić np. własność, że y∈BdY⇔y jest efektywny, to znaczy, że nie istnieje y′∈Y dla którego y≤y′ z nierównością ostrą przynajmniej na jednej współrzędnej.

Dalsze założenia to

4. ”no free lunch” – ”nie ma czegoś takiego jak obiadek za darmo”: Y∩R+n⊂0, w finansach używa się nazwy ”brak arbitrażu”;

5. możliwość nic nie robienia: 0∈Y – nie zawarliśmy żadnego kontraktu, który nakazywał by nam coś robić (mała uwaga – później będziemy nazywać taką sytuację długim okresem dla producenta);

6. nieodwracalność procesów produkcyjnych: y∈Y i y≠0, to -y∉Y - z jajecznicy z pieciu jaj nie można odzyskać pięciu jaj; dwóch gram tłuszczu itd.

Założenia 1-6 przymujemy standartowo w modelu producenta.

Dodatkowo możemy jeszcze rozważać

7. addytywność – jeśli y∈Y i y′∈Y, to y+y′∈Y – można postawić dwie fabryki – interesuje nas produkcja łączna;

8. wypukłość – Y jest wypukły.

Ponadto często ma zastosowanie jedna z własności:

9. nierosnące przychody skali – dla każdego t∈0,1 jeśli y∈Y, to t⋅y∈Y;

10. niemalejące przychody skali – dla każdego t>1 jeśli y∈Y, to t⋅y∈Y;

11. stałe przychody skali – dla każdego t>0 jeśli y∈Y, to t⋅y∈Y – spełnione są własności 9. i 10.; wówczas Y jest stożkiem.

Zauważmy, że z tego, że 0∈Y wynika, że wypukłość Y implikuje nierosnące przychody skali.

W naszym przypadku szczególnym, kiedy mamy tylko jeden produkt i funkcję produkcji f, wypukłość Y oznacza wklęsłość funkcji f, natomiast warunki 9 – 10 mają postać:

9'. nierosnące przychody skali – dla każdego t∈0,1, z∈R+n-1 zachodzi nierówność f⁢t⋅z≥t⋅f⁢z (równoważnie: dla każdego t>1, z∈R+n-1 zachodzi f⁢t⋅z≤t⋅f⁢z);

10'. niemalejące przychody skali – dla każdego t>1, z∈R+n-1 zachodzi nierówność f⁢t⋅z≥t⋅f⁢z;

11'. stałe przychody skali – dla każdego t>0, z∈R+n-1 zachodzi f⁢t⋅z=t⋅f⁢z;

Dodatkowo możemy zdefiniować malejące przychody skali – dla każdego t∈0,1, z∈R+n-1,z≠0 zachodzi f⁢t⋅z>t⋅f⁢z (równoważnie: dla każdego t>1, z∈R+n-1,z≠0 zachodzi f⁢t⋅z<t⋅f⁢z) i rosnące przychody skali – dla każdego t>1, z∈R+n-1,z≠0 zachodzi f⁢t⋅z>t⋅f⁢z.

Chociaż w przepisie na jajecznicę z pięciu jaj mieliśmy wiele różnych czynników produkcji, obecnie w analizach działalności produkcyjnej ograniczamy się przeważnie do dwóch: pracy – pierwszego historycznie czynnika produkcji i kapitału (do którego wliczamy zarówno jajka jak i patelnię: wszystkie produkty, które możemy kupić albo wydzierżawić – przeliczone na pieniądz). W przeszłości był jeszcze jeden istotny czynnik produkcji – ziemia. Obecnie pojawiają się nowe czynniki, które dotychczas były zaniedbywane, takie jak na przykład informacja, ale nie weszły one jeszcze do standartowego kanonu mikroekonomii.

Teraz przejdziemy do tego, co jest celem producenta.

Celem producenta jest maksymalizacja zysku, które to pojęcie objaśnimy poniżej.

Podobnie jak w teorii wyboru konsumenta, producent funkcjonuje na rynku, który określa ceny wszystkich dóbr – zarówno czynników produkcji jak i produktów. Podobnie jak konsument, producent jest ”price taker” – ”biorcą cen”, czyli traktuje ceny jako dane. O takiej firmie mówi się firma konkurencyjna. Tak więc należy się spodziewać, że model producenta będzie dobrze opisywał producenta gwoździ z ul. Grzybowskiej, a nie IBM.

Zakładamy, że wszystkie ceny są ściśle dodatnie. Gdyby cena produktu była zerowa, nie opłacałoby się go w ogóle produkować, gdyby natomiast cena któregoś z czynników była zerowa, moglibyśmy go zużywać nadmiernie (marnotrawić, na co pozwala nam założenie o możliwości marnotrawstwa), gdyż nic by to nas nie kosztowało. Tak jest z powietrzem – ponieważ nic nie kosztuje, możemy go zużywać w procesie produkcyjnym ile chcemy (np. zanieczyszczać), więc tak naprawdę nie bierzemy go pod uwagę w opisie technologii. Powstają tak zwane efekty zewnętrzne – ktoś traci na naszym nadmiernym zanieczyszczaniu, więc pojawia się presja, by zmusić nas do płacenia za te szkody – np. państwo wprowadzi opłatę za emisję zanieczyszczeń, przez co dotychczas bezpłatny czynnik uzyska cenę niezerową. Tak więc w końcu wszystkie ceny są dodatnie.

Mamy więc wektor cen p∈IntR+n. W naszym szczególnym przypadku rozróżniamy wektor cen czynników (historycznie przyjęło się go oznaczać przez w) i cenę produktu (historycznie p). Dla typowych czynników ich ceny to: dla pracy - płaca, dla kapitału – odsetki, dla ziemi – tzw. renta gruntowa.

Wróćmy do ogólnego modelu. Przy cenach p dla procesu produkcyjnego y nasz zysk równa się pT⁢y.

Celem firmy jest maksymalizacja zysku, więc zagadnienie optymalizacyjne producenta ma postać

(przy użyciu funkcji transformacji maxF⁢y≤0⁡pT⁢y).

Stąd mamy następujące obiekty:

Jeżeli funkcja transformacji jest wystarczająco regularna, można skorzystać z mnożników Lagrange'a: ponieważ maksymalizowana funkcja jest liniowa i wszystkie współrzędne wektora p są dodatnie, maksimum jest przyjmowane na brzegu (o ile jest osiągalne), czyli tam, gdzie F⁢y=0.

Warunki pierwszego rzędu będą więc miały postać pl=λ⁢∂⁡F⁢y∂⁡yl, stąd plpk=∂⁡F⁢y∂⁡yl∂⁡F⁢y∂⁡yk.

Jaka jest postać warunków pierwszego rzędu dla przypadku szczególnego, kiedy mamy jeden produkt i funkcję produkcji f? Wówczas Π⁢w1,w2,…,wn-1,pT=maxz≥0⁡p⋅f⁢z-wT⁢z.

Z mnożników Kuhna-Tuckera w optymalnym z* mamy p⁢∂⁡f⁢z*∂⁡zl-wl--μl=0 dla pewnego μl≥0, przy czym jeśli zl*>0, to μl=0. Stąd p⁢∂⁡f⁢z*∂⁡zl≤wl z równością gdy zl*>0.

To wyrażenie ma oczywiście łopatologiczną interpretację ekonomiczną: ”jednostkowe zwiększenie nakładów czynnika l nie zwiększy zysku, gdyż płacimy za nie co najmniej tyle samo, co zwiększamy przychód”.