Aby analizować zagadnienia teorii wyboru, potrzebujemy trochę teorii optymalizacji. Niektóre z poniższych faktów są zapewne państwu znane.

Zaczniemy od warunku koniecznego optymalności (tzw. warunku pierwszego rzędu).

Twierdzenie można sformułować następująco: punkt optymalny dla optymalizacji z ograniczeniami równościowymi wraz wektorem mnożników musi być punktem krytycznym lagrangianu (zerowanie pochodnej po λ to równości definiujące zbiór dopuszczalny).

Uwaga: Dla uproszczenia zapisu wyników maksymalizacji (minimalizacji) funkcji f po zbiorze Γ, wprowadzimy symbole Argmaxx∈Γf⁢x (Argminx∈Γf⁢x) na zbiór tych punktów, w których maksimum (minimum) jest przyjmowane.

Ponadto, jeżeli maksymalizujemy funkcję po pewnym zbiorze i ten zbiór okaże się pusty, wówczas za maksimum przyjmujemy -∞ (analogicznie za minimum +∞).

W niniejszym przykładzie rozwiązujemy zagadnienie, z jakim mamy do czynienia zazwyczaj przy wyborze konsumenta: funkcja użyteczności jest ściśle monotoniczna, i wklęsła, a zbiory budżetowe są walrasowskie. Ponieważ u jest monotoniczna, więc maxx:p1⁢x1+p2⁢x2≤m⁡u⁢x=maxx:p1⁢x1+p2⁢x2=m⁡u⁢x. Ponieważ ponadto u jest ściśle monotoniczna, także Argmaxx:p1⁢x1+p2⁢x2≤mu⁢x=Argmaxx:p1⁢x1+p2⁢x2=mu⁢x, co sprowadza optymalizację z ograniczeniem nierównościowym do optymalizacji z ograniczeniem równościowym.

Lagrangian zagadnienia ma postać L⁢λ,x=u⁢x-λ⁢p1⁢x1+p2⁢x2-m, a więc warunki konieczne na to, aby w punkcie x o obu współrzędnych dodatnich było przyjmowane maksimum to: ∂⁡u⁢x∂⁡x1-λ⁢p1=0, ∂⁡u⁢x∂⁡x2-λ⁢p2=0, p1⁢x1+p2⁢x2=m.

Przeanalizujmy dwa pierwsze równania: ∂⁡u⁢x∂⁡x1=λ⁢p1, ∂⁡u⁢x∂⁡x2=λ⁢p2.

Ponieważ u jest ściśle monotoniczna, w x nie może być przyjmowane maksimum globalne u, a ponieważ funkcja jest ściśle wklęsła, pochodna może się zerować tylko w maksimum globalnym, stąd wiemy, że λ≠0. Możemy więc podzielić równania przez siebie stronami. Otrzymamy ∂⁡u⁢x∂⁡x1∂⁡u⁢x∂⁡x2=λ⁢p1λ⁢p2=p1p2.

Jest to warunek konieczny maksymalizacji w naszym przypadku. Ma on interpretacje zarówno ekonomiczną jak i graficzną. Obie będą bardziej oczywiste, jeżeli powyższe równanie pomnożymy przez -1:

-∂⁡u⁢x∂⁡x1∂⁡u⁢x∂⁡x2=-p1p2.

Prawa strona to oczywiście nachylenie ograniczenia budżetowego, natomiast lewa to nachylenie krzywej obojętności przechodzącej przez punkt x (co łatwo wynika z twierdzenia o funkcji uwikłanej), a więc to, co otrzymaliśmy, to warunek konieczny styczności: równość nachyleń w punkcie styczności.

Interpretacja ekonomiczna brzmi: krańcowa stopa substytucji równa się, co do modułu, stosunkowi cen.

Z twierdzenia o funkcji uwikłanej mamy więc M⁢R⁢S⁢x1,⁢x2=-∂⁡u⁢x∂⁡x1∂⁡u⁢x∂⁡x2.

A więc ekonomista może zdefiniować krańcową stopę substytucji słowami: ”o ile musi zmienić się konsumpcja dobra 2 jesłi konsumpcja dobra 1 zwiększyła się o jednostkę, abyśmy pozostali na tej samej krzywej obojętności”.

Warunek dostateczny optymalności uogólnia warunek dostateczny dla przypadku optymalizacji bez ograniczeń: jeśli w dopuszczalnym x* spełniony jest warunek pierwszego rzędu i macierz drugiej pochodnej jest dodatnio określona w dowolnym kierunku dopuszczalnym (tzn. hT⋅D2⁢f⁢x*⋅h≥0 dla h takich, że ∇⁡g⁢x*⋅h=0), to w punkcie x* jest przyjmowane minimum, jeśli natomiast ujemnie określona – maksimum. Ponieważ jednak badanie określoności macierzy dla wektorów z pewnej podprzestrzeni nie jest trywialne, sformułujemy ten warunek równoważnie.

W przypadku ograniczeń nierównościowych mamy podobne warunki pierwszego rzędu.

Warunków koniecznych Kuhna-Tuckera można użyć nawet do rozwiązania zagadnień maksymalizacjnych, do których zazwyczaj nie przyszłoby nam do głowy liczenie pochodnej – maksymalizacji funkcji liniowej przy ograniczeniach liniowych.

W przypadku ograniczeń nierównościowych wektor mnożników (tzw. mnożników Kuhna-Tuckera) jest nieujemny, istotny jest więc kierunek nierówności. Dlatego, aby uzyskać nieujemny wektor mnożników w przypadku zagadnienia minimalizacji, musimy zapisać ograniczenia w postaci gi⁢x≥0. Musimy na to też zwrócić uwagę przy warunkach drugiego rzędu.

Każda funkcja wklęsła jest quasi wklęsła, natomiast nie na odwrót. W szczególności funkcja quasi wklęsła nie musi być ciągła, a funkcja wklęsła określona na zbiorze otwartym jest ciągła. Funkcją quasi-wklęsłą może być nawet funkcja ściśle wypukła określona na odcinku, o ile nie ma minimum w jego wnętrzu: na przykład x2:R+→R+.

Na mocy tego stwierdzenia możemy coś powiedzieć na temat funkcji użyteczności odzwierciedlającej wypukłe preferencje.