Zbiór A=x∈R+n:u⁢x≥u¯ jest w tej sytuacji niepusty, domknięty. Niech pewien x¯ nalezy do tego zbioru. Wówczas zbiór A∩x∈R+n:x≤x¯ jest niepusty, zwarty, a ponieważ wszystkie pi>0, Argminx∈ApT⁢x=Argminx∈A∩x∈R+n:x≤x¯pT⁢x. Mamy więc problem minimalizacji funkcji ciągłej na zbiorze zwartym.

(obu stwierdzeń:) Punkty 6.2 a) i c) oraz 6.3 a) i b) są natychmiastowe. Pozostaje więc udowodnić pozostałe pięć.

6.3 c) Weźmy dowolne wektory cen p i p′ i t∈0,1. Niech p′′=t⁢p+1-t⁢p′. e⁢p′′,u¯=minx:u⁢x≥u¯⁡p′′T⁢x=minx:u⁢x≥u¯⁡t⁢p+1-t⁢p′T⁢x≥ ≥tminx:u⁢x≥u¯pTx+(1-t)minx:u⁢x≥u¯(p′)Tx=te(p,u¯)+(1-t)e(p′,u¯).

6.2 b) Minimum funkcji liniowej na zbiorze może być przyjmowane jedynie na jego brzegu. Ponieważ preferencje są monotoniczne, lokalnie nienasycone, więc poza u¯≤min⁡u⁢X nie będzie to 0. Niech więc punkt x¯, w którym jest przymowane minimum będzie punktem z brzegu zbioru x:u⁢x≥u¯ i niech u⁢x¯>u¯. Wówczas dla pewnego małego ε, z ciągłości u w pewnym otoczeniu x¯ istnieje taki x≤x¯ z przynajmniej jedną nierównością ostrą, dla którego u⁢x>u⁢x¯-ε>u¯. Z nierówności na współrzędnych pT⁢x<pT⁢x¯ – sprzeczność.

6.3 e) Weźmy ciągi xkT=kp1,…,kpn i uk=u⁢xk. Niech yk∈h⁢p,uk. Ponieważ preferencje są monotoniczne, lokalnie nienasycone, przynajmniej jedna współrzędna yk musi być co namniej równa analogicznej współrzędnej xk, co daje pT⁢yk≥k, czyli e⁢p,uk≥k. Stąd i z tego, że e jest ściśle rosnąca po u¯ dostajemy limu¯→supx∈X⁡u⁢x⁡e⁢p,u¯≥limk→∞⁡e⁢p,uk=+∞.

6.2 d) i 6.3 d) dowodzimy łącznie z twierdzenia o maksimum 4.1.

Najpierw dla ustalonego u¯. Odwzorowanie Γ, które przyporządkowuje p zbiór x:u⁢x≥u¯ jest niezależne od p, a więc jest ciągłe (przeciwobrazem dowolnego rodzaju dowolnego zbioru otwartego jest albo ∅ albo całe IntR+n – otwarte). W twierdzeniu o maksimum potrzebujemy jednak dodatkowo zwartych wartości. Aby to uzyskać, musimy ograniczyć się – przynajmniej lokalnie do szukania minimum na zbiorze zwartym. Weźmy zatem dowolne x¯ dla którego u⁢x¯≥u¯. Jeśli ograniczymy się do zbioru A=x:u⁢x≥u¯∩x:pT⁢x≤M dla M>∑i=1npi+δ⁢x¯i, to dla p′ bliskich p: takich, że dla każdego i pi-pi′<δ zachodzi Argminu⁢x≥u¯p′T⁢x=Argminx∈Ap′T⁢x, a więc sprowadziliśmy nasze zagadnienie do zagadnienia maksymalizacji po zbiorach zwartych, niezależnych od p, tak więc mamy tezę z twierdzenia o maksimum.

Teraz zajmiemy się globalną ciągłością. Aby to uzyskać, musimy pokazać ciągłość odwzorowania, oznaczmy je przez Γ, które przyporządkowuje p,u¯ zbiór x:u⁢x≥u¯. Dodatkowo podobnie będziemy musieli uzwarcić wartości – podobnie jak poprzednio. Dalszy schemat dowodu podobny do dowodu stwierdzeń 5.1 d) i 5.2 d).

a) Wynika natychmiast z zastosowania twierdzenia o obwiedni.

b) Uzyskujemy, różniczkując e po p dwukrotnie – z a) i wklęsłości e po p.

Rozłóżmy p′-pT⁢x′-x=p′T⁢x′-p′T⁢x+pT⁢x-pT⁢x′.

Pierwszy nawias jest ujemny, ponieważ minimum p′T⁢x na zbiorze x:u⁢x≥u¯ jest przyjmowane na h⁢p′,u¯, a x′ nie należy do h⁢p′,u¯, drugi analogicznie.

Oczywiste.