Konsekwencją słabego aksjomatu ujawnionych preferencji jest bardzo silny fakt, który ekonomiści nazywają skompensowanym prawem popytu. Mówi ono, że zmiana popytu jest ”przeciwna” do kierunku zmiany ceny, jeżeli rozważymy zmianę ceny skompensowaną zmianą dochodu, tak, aby uprzednio konsumowany koszyk był nadal na naszym ograniczeniu budżetowym.

Zauważmy, jakie są implikacje skompensowanego prawa popytu, jeśli rozważymy jedynie zmianę ceny jednego dobra: zmiana popytu na to dobro będzie przeciwna (już bez cudzysłowu) do kierunku zmiany ceny skompensowanej odpowiednim wzrostem dochodu, czyli, jak należało się spodziewać, przy skompensowanym wzroście ceny, o ile nasz popyt na to dobro się zmieni, to spadnie.

Teraz będziemy analizować efekty zmiany ceny, które już nie są skompensowane zmianą dochodu. W tej sytuacji już wiemy, że kierunek zmiany popytu nie musi być przeciwny do kierunku zmiany ceny np. w przypadku dóbr Giffena. Będziemy starali się rozłożyć zmianę popytu na skutek zmiany ceny na dwa efekty: jeden związany z samą zmianą stosunku cen, przy czym zmianę tę w jakiś sposób będziemy kompensować (tzw. efekt substytucyjny) i drugi związany ze zmianą siły nabywczej naszego dochodu (efekt dochodowy). Ten rozkład będziemy nazywać równaniem Słuckiego albo dekompozycją Słuckiego. W przypadku ciągłym ma on postać:

Pierwszą z wielkości występujących po prawej stronie równania Słuckiego nazywamy efektem substytucyjnym, drugą efektem dochodowym.

Jeżeli rozważamy efekt zmiany ceny tylko jednego dobra, to efekt substytucyjny jest zawsze przeciwny do kierunku zmiany ceny, ponieważ macierz Dp⁢h jest niedodatnio określona, i nie może być zerowy, jeśli zakładamy różniczkowalność funkcji użyteczności. Natomiast znak efektu dochodowego zależy od tego, czy jest to dobro normalne czy podrzędne. W przypadku dobra podrzędnego o silnym efekcie dochodowym, dodatni efekt dochodowy może przezwyciężyć ujemny efekt substytucyjny, jak w przypadku dóbr Giffena.

Oczywiście ciągłą postać równania Słuckiego poprzedziła wersja dyskretna, a nawet dwie wersje, matematycznie trywialne. Jeśli interesować będzie nas wartość przybliżona zmiany popytu na skutek zmiany ceny z p na p′, możemy skorzystać z równania Słuckiego:

Δ⁢xi=xi⁢p′,m-xi⁢p,m≈∂⁡xi⁢p,m∂⁡p⁢j⁢Δ⁢pj=∂⁡hi⁢p,v⁢p,m∂⁡pj⁢Δ⁢pj+-∂⁡xi⁢p,m∂⁡m⁢xj⁢p,m⁢Δ⁢pj.

Wbrew temu, czego należałoby się spodziewać, dyskretne równanie Słuckiego nie jest dokładną wersją tego przybliżenia; dopiero wprowadzone później równanie Hicksa. Dyskretne równanie Słuckiego wynika z następującego spostrzeżenia.

Dyskretny odpowiednik ciągłego równania Słuckiego wynika z następującego spostrzeżenia.

Interpretacja obu dyskretnych rozkładów wektora zmiany popytu na sumę dwóch wektorów jest taka sama: efekt zmiany ceny rozkładamy na efekt substytucyjny, mający jedynie odzwierciedlać reakcję na zmianę stosunku cen i zaniedbywać skutki zmiany siły nabywczej, i efekt dochodowy wynikający ze zmiany siły nabywczej dochodu. Efekt substytucyjny, to w każdym wypadku zmiana popytu spowodowana zmianą ceny skompensowaną taką zmianą dochodu, aby nie zmieniła się siła nabywcza dochodu, a efekt dochodowy to różnica zmiany popytu i efektu substytucyjnego. Niejednoznaczność wynika z niejasnej interpretacji terminu ”siła nabywcza”: równanie Hicksa gwaranuje, że nie zmienia się sytuacja konsumenta (jest tak samo dobra), a równanie Sluckiego jedynie że uprzednio wybrany koszyk znajduje się nadal na ograniczeniu budżetowym konsumenta (na skutek dodania lub odjęcia ”na papierze” dochodu). Oczywiście efekty Słuckiego łatwiej wyliczyć – nie musimy odwoływać się do nieobserwowalnej funkcji popytu Hicksa.

Podobnie jak w przypadku ciągłego równania Słuckiego, efekty substytucyjne są zawsze ujemne, a znak efektu dochodowego zależy od tego, czy dobro jest normalne czy podrzędne.