Przykład 1.1

Spadanie przedmiotów na Ziemię w pobliżu jej powierzchni bez uwzględniania oporu powietrza.

Zgodnie z obserwacjami (Stevin,Galileusz) wszystkie ciała znajdujące się blisko powierzchni Ziemi spadają tak samo, ze stałym przyspieszniem g wynoszącym około 9,81⁢m/s⁢e⁢k2. Orientując oś pionową w górę i umieszczając zero na powierzchni Ziemi, otrzymamy równanie opisujące spadanie ciał w formie:

x¨⁢t=-g.

(1.4)

Rozwiązanie równaniania (1.4) nie nastręcza trudności. Otrzymujemy kolejno x˙⁢t=-g⁢t+c a następnie x⁢t=-g⁢t22+c⁢t+d, gdzie c i d są stałymi. Obecność dwóch stałych dowolnych w ogólnej postaci rozwiązania równania (1.4) oznacza, że do wyodrębnienia konkretnego rozwiązania potrzebne są dwa dodatkowe warunki. Ze względu na pewność istnienia rozwiązania przy poniższych warunkach (twierdzenie o istnieniu jednoznaczności) a także ze względu na ich prosty sens fizyczny, najczęściej przyjmowane są tzw. warunki początkowe: żądamy, aby w wybranej chwili t0 nasze ciało znajdowało się w ustalonym punkcie x0 oraz aby miało zadaną prędkość x0˙. Dla naszego rozwiązania warunki początkowe prowadzą do następujących równań na stałe c i d:

-g⁢t022+c⁢t0+d=x0.

(1.5)

-g⁢t0+c=x0˙

z których wyznaczamy c=x0˙+g⁢t0 oraz

d=x0+g⁢t022-x˙0+g⁢t0⁢t0=x0-x0˙⁢t-g⁢t022.

Najłatwiej przeprowadzić te rachunki, gdy t0=0. Wtedy po prostu c=x0˙ oraz d=x0.

Przykład 1.2

Spadanie przedmiotów na Ziemię w pobliżu jej powierzchni z uwzględnieniem oporu powietrza

Zauważmy, że równanie (1.4) możemy otrzymać z II prawa Newtona

mb⁢x¨=-g⁢mg

(1.6)

gdzie mb jest masą bezwładną ciała a mg jego masą grawitacyjną. Wielkość występująca po prawej stronie (1.6) jest wtedy siłą, z jaką Ziemia przyciąga ku swojemu środkowi ciało o masie mg, znajdujące się na jej powierzchni. (Zobacz Przykład 1.3 poniżej). Ponieważ, jak wykazują wszystkie doświadczenia, mb=mg, upraszczając równanie (1.6) otrzymamy równanie (1.4). Możemy teraz zmodyfikować równanie(1.2),dodając do siły po jego prawej stronie składnik reprezentujący opór powietrza. Zgodnie z doświadczeniem ma on postać

Fo⁢p=-k2⁢x˙x˙⁢x˙2

(1.7)

gdzie k2 jest współczynnikiem zależnym od wyboru jednostek i zależnym od ośrodka stawiającego opór ( w naszym przypadku powietrza). Uwzlędniając równość mb=mg otrzymamy jednowymiarowe równanie ruchu o postaci:

x¨=-g+k2mb⁢x˙2⁢x˙x

(1.8)

Przykład 1.3

Spadanie z dużej wysokości

Oprzemy się na odkrytej przez Newtona zasadzie powszechnego ciążenia: dwa ciała o masach grawitacyjnych Mg i mg przyciągają się z siłą działającą wzdłuż prostej łączącej środki ich mas wprost proporcjonalną do iloczynu Mg⁢mg i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi. Jeżeli rMg oznacza wektor położenia środka masy ciała o masie mg a rMg wektor położenia środka masy ciała o masie mg, to siła działająca na drugie ciało ma postać:

F⁢rMg,rmg=rMg-rmgrMg-rmg⁢Mg⋅mg

(1.9)

W rezultacie, ograniczając nasze rozważania do prostej przechodzącej przez środek masy Ziemi i zorientowanej od tego środka, a następnie przyjmując jako zero punkt na osi i na powierzchni Ziemi, otrzymujemy z (1.9) równanie opisujące ruch po naszej osi 'spadanie z dużej wysokości' w postaci:

mb⁢x¨=-mg⁢Mgr+x2

(1.10)

a ponieważ mg=mb, redukując otrzymamy:

x¨=Mgr+x2.

(1.11)

Zestawiając ten wynik z Przykładem 1.1 widzimy, że w tamtej sytuacji przyjęliśmy siłę za stałą i równą -mg⁢g dla g=Mgr2, co stanowi dobre przybliżenie opisu (1.7) przy założeniu, że x jest małe w porównaniu z r.

Przykład 1.4

Drgania sprężyste

Wyobrażmy sobie koralik o masie mb nanizany na pręt i przyciągany do obu końców pręta za pomocą takich samych sprężynek (rysunek poniżej):

Umieśćmy oś na linii pręta. Wtedy, przyjmując za zero pozycję na środku pręta, o której założymy że jest położeniem równowagi, widzimy, że (zgodnie z prawem Hooka) wychylenie o x od tego położenia wywołuje siłę -α2⁢x, ściągają koralik z powrotem do położenia równowagi. Zatem zgodnie z II prawem Newtona równanie ruchu będzie miało postać:

mb⁢x¨=-α2⁢x

(1.12)

gdzie α2 jest współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wyboru jednostek i od własności sprężyn.

Przykład 1.5

Wahadło płaskie

Rozważmy punkt materialny o masie mg, znajdujący się w jednorodnym polu grawitacyjnym (jak w (1.2)) i pozostający przez cały czas w ustalonej płaszczyźnie pionowej. Załóżmy też, że jego odległość od ustalonego punktu w tej płaszczyźnie pozostaje stała.

Jest to pierwszy z tej serii przykład układu z więzami. Chcąc opisać ten ruch możemy postąpić na dwa sposoby:

1. Do działającej siły dodać siły fikcyjne ”`siły reakcji więzów”', zastępując w ten sposób (dla punktów znajdujących się na rozmaitości) faktycznie działającą siłę jej rzutem na hiperpłaszczyznę styczną do rozmaitośći. (Metodę tę omówimy systematycznie w dalszym kursie wykładu)

2. Drugim sposobem jest lokalne sparametryzowanie rozmaitości i zapisanie składowej stycznej działającej siły jako funkcji parametrów. Postępowanie to w przypadku naszego przykładu objaśnia poniższy rysunek:

Otrzymamy w ten sposób równanie opisujące niejako fikcyjny ruch w fikcyjnym świecie ograniczonym do naszej rozmaitości. Okazuje się, że metoda ta daje identyczny wynik co pierwszy sposób, co niejako ją legitymizuje. W naszym przypadku owo ”wewnętrzne ”równanie ma postać

mb⁢Φ¨=-mg⁢g⁢s⁢i⁢n⁢Φ

(1.13)

co po uproszczeniu daje

Φ¨=-g⁢s⁢i⁢n⁢Φ.

(1.14)

Przykład 1.6

Ruch drgający dwuwymiarowy

Za pomocą układu sprężyn, (jak na rysunku poniżej) możemy wykreować sytuację, w której wychyleniu w każdą możliwą stronę od punktu równowagi, towarzysz siła proporcjonalna do wychylenia lecz przeciwnie zorientowana, tzn. ściągająca ciało z powrotem do środka równowagi.

Umieszczając początek układu współrzędnych w punkcie równowagi, otrzymamy dwuwymiarową wersję Przykładu 1.4., gdzie ruch jest opisany równaniem wektorowym:

mb⁢x¨=-α2⁢x

(1.15)

gdzie

x=x1,x2∈R2.

(1.16)