Zagadnienia

10.1 Równania Hamiltona
10.2 Informacje o geometrii symplektycznej.
10.3 Kanoniczna struktura symplektyczna na wiązce kostycznej do rozmaitości.

10. Mechanika Hamiltonowska

10.1. Równania Hamiltona

Twierdzenie 10.1

Niech M będzie układem mechanicznym z funkcją Lagrange'a L=T-U, gdzie energia kinetyczna ma postać formy kwadratowej zmiennych x˙1,…⁢x˙n, to jest

T⁢x1,…,xn,x˙1,…⁢x˙n=∑i,j=1nai⁢j⁢x1,…,xn⁢x˙i⁢x˙j

(10.1)

Załóżmy, że dla dowolnych ustalonych x1,…,xn forma (10.1) jest dodatnio określona. Wtedy (a) po dokonaniu zamiany zmiennych

αx1,…,xn:x˙1,…⁢x˙n→∂⁡L∂⁡x˙1,…,∂⁡L∂⁡x˙n=p1,…,pn

(10.2)

analogicznie, jak w (9.7), gdzie przekształcenie odwrotne dane jest wzorem

βx1,…,xn:p1,…⁢pn→∂⁡L^∂⁡p˙1,…,∂⁡L^∂⁡p˙n=x˙1,…,x˙n.

(10.3)

Układ równań Eulera - Lagrange'a

∂⁡L∂⁡x˙i-dd⁢t(∂⁡L∂⁡x˙i)=0i=1,2,,n

(10.4)

przechodzi na układ Hamiltona

⁡p˙i=-∂⁡L^∂⁡xii=1, 2,..,nx˙i=-∂⁡L^∂⁡pi⁢

(10.5)

(b) Wartość transformaty Lagrange'a L^⁢p jest równa energii całkowitej układu E=T+U w punkcie x1,…,xn,x˙p1,…⁢x˙pn, gdzie x˙p=β⁢p.

(a) Wyprowadzenie równań (10.5) przebiega analogicznie, jak w przypadku równań (9.14) w poprzednim wykładzie i nie będziemy tego rozumowania powtarzać.

(b) Dla zwięzłości wzorów napiszemy x zamiast x1,…,xn x˙ zamiast x˙1,…⁢x˙n i p zamiast p1,…⁢pn. Twierdzimy, że zachodzi równość

2⁢T⁢x,x˙=∑i=1n∂⁡T∂⁡x˙i⁢x,x˙⋅x˙i=p,x˙.

Istotnie, rozpatrując macierz formy (10.1) widzimy, że zmienna x˙i występuje tylko w i-tym wierszu i w i-tej kolumnie. Wobec tego

∂∂⁡x˙i⁢T⁢x,x˙=∂∂⁡x˙i⁢∑j=1nai⁢j⁢x⁢x˙i⁢x˙j+∑j=1naj⁢i⁢x⁢x˙j⁢x˙i-ai⁢i⁢x⁢x˙i2

zatem

∂∂⁡x˙i⁢T⁢x,x˙⋅x˙i=∑j=1nai⁢j⁢x⁢x˙i⁢x˙j+∑j=1naj⁢i⁢x⁢x˙j⁢x˙i.

Wobec tego tworząc sumę ∑i=1n∂⁡T∂⁡x˙i⁢x,x˙⁢x˙i uzyskamy w niej każdy wyraz ni⁢j⁢x⁢x˙i⁢x˙j dwukrotnie - raz jako stojący w i-tym wierszu a raz jako stojący w j-tej kolumnie. Zatem

L^⁢x,p=p,x˙p-L⁢x,x˙p=

(10.6)

=2T(x,x˙p)-(T(x,x˙p)-U(x))=T(x,x˙p)+U(x)=E(x,x˙p)

∎

Definicja 10.1

Transformatę Legendre'a funkcji Lagrange'a układu mechanicznego nazywamy funkcją Hamiltona lub hamiltonianem tego układu i oznaczamy literą H.

Ćwiczenie 10.1

Podać hamiltonian układu n-punktów z potencjałem U i bez więzów. Napisać równania Hamiltona.

Oznaczmy położenie i-tego punktu o masie mi przez xi,i=1,2,,n. Zgodnie z Definicją(10.1) i formułą (10.6) mamy

H(x1,..,xn,p1,..pn)=T((x1,..,xn,(x˙p)1,(x˙p)n)+U(x1,..,xn)

gdzie

T⁢x,x˙p=∑i=1nmi2⁢x˙pi2.

Na podstawie ćwiczenia (9.1) otrzymamy T=∑i=1npi22⁢mi.

Hamiltonian układu ma więc postać

H(x1,..xn,p1,..pn)=∑j=1npi22⁢mi+U(x1,..xn)

a równania Hamiltona wyglądają następująco

p˙i=-∂⁡u∂⁡xi⁢x˙i=-pim⁢i=1.2,…⁢n

10.2. Informacje o geometrii symplektycznej.

W ustępie tym, inaczej niż w całym wykładzie, założymy znajomość kilku podstawowych pojęć geometrii różniczkowej. I tak dla sformułowania potrzebnych definicji potrzebować będziemy pojęć wiązki stycznej i wiązki kostycznej do rozmaitości różniczkowej a także założymy, że czytelnik ma podstawowe doświadczenie w operowaniu formami różniczkowymi. Sytuacja ta nie jest kontynuowana w dalszym ciągu wykładu i bez szkody dla jego zrozumienia można pominąć szczegóły techniczne.

Zacznijmy od algebry liniowej. Niech e1,…⁢en będzie bazą Rn i niech

X=∑i=1nxi⁢ei,⁢Y=∑i=1nyi⁢ei

oraz niech

ω:Rn×Rn∋(X,Y)→∑i=1nai,j,xi,yj∈R

(10.7)

Formę (10.7) można zapisać w postaci macierzowej

ω⁢X,Y=Xt⁢Ω⁢Y

(10.8)

gdzie Y jest macierzą o jednej kolumnie, składającej się ze współrzędnych wektora Y względem bazy e1,..en , Xt jest macierzą o jednym wierszu, składającym się się ze współrzędnych X względem tejże bazy. Natomiast Ω=ai⁢ji,j=1n jest macierzą współczynników (występujących w (10.7)) wymiaru n×n. Wtedy wynik mnożenia w (10.8) jest macierzą 1×1, której jedyny współczynnik jest liczbą występującą na prawo od strzałki we wzorze (10.7). Powiemy, że forma jest nieosobliwa, jeżeli zachodzi implikacja:

(ω(X,Y)=0dla każdegoY)⇒(X=0).

Powiemy, że forma jest antysymetryczna, jeżeli ω⁢X,Y=-ω⁢Y,X. Następujące dwie własności opisu macierzowego (10.8) występują w podstawowym kursie algebry liniowej i ich dowody pominiemy.

Stwierdzenie 10.1

(a) ( ω jest antysymetryczna ) ⇔(Ωt=-Ω)
(b) ( ω jest nieosobliwa) ⇔ ( det Ω≠0).

Stwierdzenie 10.2

Niech ω:Rn×Rn→R będzie antysymetryczną i nieosobliwą formą dwuliniową. Wtedy
(a) n=2⁢m
(b) Istnieje baza d1,..,d2⁢m, względem której macierz formy Ω ma postać blokową:

Ω=0Im-Im0

(10.9)

gdzie Im jest jednostkową macierzą wymiaru m×m.

ω=∑i=1ndi*∧dm+i*

(10.10)

(a) Na mocy Stwierdzenia (10.1) Ωt=-Ω zatem d⁢e⁢t⁢⁢Ω=d⁢e⁢t⁢⁢Ωt=d⁢e⁢t⁢⁢-Ω=-1n⁢d⁢e⁢t⁢⁢Ω a ponieważ d⁢e⁢t⁢⁢Ω≠0 otrzymujemy stąd n=2⁢m.

(b) Indukcja względem m. Dla m=1 rozważmy formę antysymetryczną i nieosobliwą ω w R2. Z nieosobliwości ω wynika, że istnieją niezerowe wektory x,y,∋R2 takie, że ω⁢x,y≠0. Wtedy x i y są liniowo niezależne.
Niech d1=xω⁢x,y⁢d2=y. Macierz Ω formy ω względem bazy d1,d2 ma postać

Ω=01-10

Krok indukcyjny.

Podobnie jak przy m=1 znajdziemy dwa wektory liniowo niezależne d1,dm+1∈R2⁢m takie, że ω⁢d1,dm+1=1. Niech

Y=x∈R2⁢m:ω⁢d1,x=ω⁢dm+1,x=0

Z liniowej niezależności d1 i dm+1 i nieosobliwości ω wynika, że d⁢i⁢m⁢Y=2⁢m-2. Ponieważ, jak widać ograniczenie ω do Y jest formą nieosobliwą, z założenia indukcyjnego istnieje baza d2,…dm,dm+1,..,d2⁢m przestrzeni Y taka, że Ω ograniczona do Y ma względem tej bazy postać (10.9) z indeksem m-1. Wtedy baza d1,..,d2⁢m spełnia tezę Stwierdzenia.
(c) Niech d1*,…⁢d2⁢m* będzie bazą R2⁢m* dualną do bazy d1,..,d2⁢m skonstruowanej w punkcie (b). Wtedy macierz 2-formy di*∧dm+i* ma postać

0-AiAi0

gdzie Ai jest macierzą n×n mającą same zera z wyjątkiem i-tego miejsca na przekątnej, gdzie występuje jedynka. Stąd i z formuły (10.9) wynika przedstawienie (10.9).

∎

Ze Stwierdzenia (10.2) wynika, że w 2⁢m wymiarowej przestrzeni rzeczywistej wszystkie nieosobliwe i antysymetryczne formy dwuliniowe są do siebie podobne w tym sensie, że opisywane są tą samą macierzą Ω, tyle, że względem różnych baz.

Definicja 10.2

Tę jedyną (w powyższym sensie) formę na przestrzeni R2⁢m nazwiemy m-tą formą symplektyczną.

Definicja 10.3

Rozmaitość różniczkową M wymiaru 2⁢m nazwiemy rozmaitością symplektyczną jeżeli:

(a) w każdej przestrzeni stycznej Tx⁢M dla x∈M jest określona forma symplektyczna ωx, której współczynniki gładko zależą od x,

(b) tak określona dwuforma różniczkowa ω jest zamknięta, tj. d⁢ω=0.

Poniższe twierdzenie jest lokalnym analogiem ”punktowego” Stwierdzenia (10.2)

Stwierdzenie 10.3

(Darboux) Niech M będzie 2m-wymiarową rozmaitością symplektyczną z formą ω. Dla każdego x∈M istnieje mapa U,φ w otoczeniu x taka, że dla y∈U forma ωy w każdej przestrzeni Ty⁢M ma względem bazy ∂∂⁡x1⁢y,…⁢∂∂⁡x2⁢m⁢y, wyznaczonej przez mapę φ, macierz (10.9).

Niech będzie dana mapa W,Ψ. Obrazy stałych pól bazowych
ei=0,…1,︸i⁢…⁢0 w R2⁢m za pomocą d⁢Ψ-1 zapiszemy jako

∂∂⁡x1,…⁢∂∂⁡x2⁢m.

Pola te będziemy nazywać polami bazowymi dla mapy W,Ψ. Pola te są przemienne (tj.∂∂⁡xi,∂∂⁡xj=0 dla i,j, = 1, 2, ..,2n) oraz ich wartości ∂∂⁡x1(y),..,∂∂⁡x2⁢m(y) stanowią dla każdego y∈M bazę przestrzeni stycznej Ty⁢M. Formę ω ograniczoną do Ty⁢M oznaczymy ωy.

Dowód będzie przebiegał za pomocą indukcji względem m gdzie d⁢i⁢m⁢M=2⁢m.

(a) Niech d⁢i⁢m⁢M=2 niech x∈M oraz niech W,Ψ będzie mapą w otoczeniu x. Bez utraty ogólności możemy przyjąć, że Ψ⁢x=0 oraz , że macierz formy ωx względem bazy ∂∂⁡x1⁢x,∂∂⁡x2⁢x jest równa Ω. (Ω jak w (10.9)). Znaczy to, że

ωx⁢∂∂⁡x1⁢x,∂∂⁡x2⁢x=1.

Zatem dla y bliskich x (aby nie komplikować notacji przyjmijmy, że dla y∈W) zachodzi

ωy⁢∂∂⁡x1⁢y,∂∂⁡x2⁢y=α⁢y≠0.

Wprowadźmy pola Y1 i Y2 zadane formułą:

Y1⁢y=1α⁢y⋅∂∂⁡x1⁢y;Y2⁢y=∂∂⁡x2⁢y.

(10.11)

Wtedy ωy ma z bazie Y1⁢y,Y2⁢y macierz Ω. Zauważmy też, że pola Y1,Y2 powstają jako pola bazowe dla mapy U,φ gdzie dla q1,q2=φ⁢y określamy

φ-1⁢q1,q2=ψ-1⁢q1α⁢y,q2.

(b) Krok indukcyjny.
Niech d⁢i⁢m⁢M=2⁢m i niech x∈M. Postępując, jak w punkcie (a) możemy znaleść mapę W,Ψ w otoczeniu x, taką, że

ωy⁢∂∂⁡x1⁢y,∂∂⁡xm+1⁢y=1.

∎

Określmy na W dwie dystrybucje: D1 i D2, kładąc

D1⁢y=v∈Ty⁢M:v=α⁢∂∂⁡x1⁢y+β⁢∂∂⁡xm+1⁢y⁢α,β∈R

D2⁢y=v∈Ty⁢M:ωy⁢∂∂⁡x1⁢y,v=ωy⁢∂∂⁡xm+1⁢y,v=0

Lemat 10.1

Dystrybucje D1 i D2 są różniczkowalne i inwolutywne.

Pola ∂∂⁡x1 i ∂∂⁡x2 są różniczkowalne i przemienne, skąd wynika teza dla D1. Dla dowodu, że D2 jest różniczkowalna, rozważmy pola

∂~∂⁡xi=∂∂⁡xi-ω⁢∂∂⁡xi,∂∂⁡xm+1⁢∂∂⁡x1+ω⁢∂∂⁡xi,∂∂⁡x1⁢∂∂⁡xm+1

(10.12)

Są one różniczkowalne, liniowo niezależne w każdym punkcie i dla i≠1,⁢⁢i≠m+1 należą do D2. Zatem dystrybucja D2 jest różniczkowalna. Dla inwolutywności D2 zauważmy, że warunek X∈D2 można zapisać w formie dwóch warunków:

∂∂⁡xi⌋X⌋ω=0i=1,m+1

(10.13)

gdzie X⌋ω jest formą liniową X⌋ω=ω(X,⋅). Tak więc, aby pokazać, że dla X∈D2 jak i Y∈D2 także X,Y∈D2 wystarczy udowodnić, że

∂∂⁡xi⌋[X,Y]⌋ω=0i=1,m+1

Dla dowodu tych warunków posłużymy się następującymi własnościami pochodnej Liego (por. Stwierdzenie (11.1)).

[X,Y]⌋η=LX(Y⌋η)

(10.14)

gdzie η jest dowolną dwuformą, oraz

LX⋅iY=iY⋅LX.

(10.15)

Zwężając obie strony równości (10.14) przy η=ω kolejno z polem ∂∂⁡x1 oraz ∂∂⁡xm+1 otrzymamy dla i=1,m+1

∂∂⁡xi⌋[X,Y]⌋ω=∂∂⁡xi⌋LX(Y⌋ω)

i stosując do wyrażeń po prawej stronie ostatniej równości własność (10.15) dostaniemy

LX(∂∂⁡xi⌋Y⌋ω)=0,

bo wnętrza nawiasów są równe 0 na mocy założenia (10.13).

Na mocy Lematu i Twierdzenia Frobeniusa obie dystrybucje D1 i D2 są całkowalne, tj przez każdy punkt y rozmaitości M∩W przechodzą dwie podrozmaitości D1 i D2, takie, że D1⁢y i D2⁢y można utożsamić z przestrzenią Ty⁢D1 i Ty⁢D2 odpowiednio. Forma ω ograniczona do D1 i do D2 pozostaje domknięta i nieosobliwa. Zatem, z założenia indukcyjnego, istnieje mapa w otoczeniu y w D2, dla której zachodzi teza Stwierdzenia (10.3). Produkt tej mapy i mapy w D1⁢y daje żądaną mapę na M.

∎

Wniosek 10.1

Stwierdzenie (10.3) mówi, że każde dwie rozmaitości symplektyczne ustalonego wymiaru 2⁢m są lokalnie identyczne z otoczeniem zera w R2⁢m wyposażonym w formę:

ω=∑i=1nd⁢xi∧dm+i

(10.16)

Każdą mapę na M, której forma ω ma postać (10.16) nazywamy mapą kanoniczną.

Definicja 10.4

Niech F będzie funkcją różniczkowalną na rozmaitości symplektycznej M. Gradientem symplektycznym funkcji F (lub polem hamiltonowskim wyznaczonym przez F) nazwiemy (jedyne) pole wektorowe X na M spełaniające warunek:

dla każdego różniczkowalnego pola Y na M

d⁢F⁢Y=ω⁢X,Y

(10.17)

Gradient symplektyczny F związany z formą ω oznaczymy g⁢r⁢a⁢dω⁢F.

Uwaga 10.1

Podobnie, jak w (10.9) ale używając macierzy jednostkowej zamiast macierzy (10.9) definiujemy ”zwykły ” gradient w Rn.

Ćwiczenie 10.2

Wyznaczyć postać gradientu symplektycznego funkcji F w mapie kanonicznej.

Rozwiązanie:

Niech X=g⁢r⁢a⁢dω⁢F=X1,…⁢X2⁢m i niech Y=Y1,…⁢Y2⁢m będzie jakimś polem wektorowym. Zgodnie z (10.17), (10.8) i (10.9) zachodzi równość

∑i=12⁢m∂⁡F∂⁡xi⋅Yi=∑i=1mXi⁢Ym+i-Xm+i⁢Yi

skąd wobec dowolności Y wynika, że:

g⁢r⁢a⁢dω⁢F=∂⁡F∂⁡xm+1,…,∂⁡F∂⁡x2⁢m,-∂⁡F∂⁡x1,…,∂⁡F∂⁡xm

(10.18)

Wniosek 10.2

Układ równań Hamiltona (10.5) można zapisać w postaci:

dd⁢t⁢γ⁢t=g⁢r⁢a⁢dω⁢H⁢γ⁢t

(10.19)

gdzie γ⁢t=x⁢t,p⁢t

10.3. Kanoniczna struktura symplektyczna na wiązce kostycznej do rozmaitości.

Niech M będzie rozmaitością różniczkową wymiaru n. Oznaczmy przez T⁢M wiązkę styczną a przez T*⁢M wiązkę kostyczną do M. Niech Π:T*⁢M→M będzie kanoniczną projekcją (tj. odwzorowaniem przeprowadzającym wszystkie elementy przestrzeni kostycznej do M w dowolnym ustalonym q∈M na q. Niech Π*:T⁢T*⁢M→T⁢M będzie przekształceniem indukowanym przez Π (podniesieniem Π do wiązki stycznej, różniczką Π ). Dla ustalonej mapy U,φ na M oraz q∈U niech ∂∂⁡x1⁢q,…,∂∂⁡xn⁢q będzie bazą w Tq⁢M. (Zobacz dowód Stwierdzenia (10.3)). I niech d⁢x1⁢q,…⁢d⁢xn⁢q będzie dualną bazą przestrzeni Tq*⁢M. Jednoformy d⁢x1,…⁢d⁢xn pozwalają utożsamiać Π-1⁢U⊂T*⁢M z produktem φ×U×Rn za pomocą odwzorowania φ~ danego wzorem:

φ~:Π-1⁢U∋∑i=1npi⁢d⁢xi⁢q→q1,…⁢qn×p1,…⁢pn∈φ×U×Rn

(10.20)

gdzie φ⁢q=q1,…⁢qn dla q∈U. Parę Π-1⁢U,φ~ nazwiemy mapą na T*⁢M indukowaną przez mapę U,φ na M. Punkty Π-1⁢U będziemy oznaczać za pomocą ich współrzędnych q,p w mapie indukowanej. Niech X będzie polem wektorowym na Π-1⁢U. Wtedy X w punkcie q,p ma postać

Xq,p=∑i=1nai⁢q,p⁢∂~∂⁡qi+bi⁢q,p⁢∂∂⁡pi

(10.21)

gdzie

∂~∂⁡q1,…,∂~∂⁡qn,∂∂⁡pi,…⁢∂∂⁡pn

sa polami bazowymi na Π-1⁢U związanymi z mapą Π-1⁢U,φ~. Przy czym ∂~∂⁡q1 oznacza teraz pole na T*⁢M, które przy lokalnym ”ilorazowym” przedstawieniu Π-1⁢U w formie (10.20) odpowiada polu ∂∂⁡q1 na M. Widzimy, że wtedy

Π*⁢∂∂⁡p1=0⁢oraz⁢Π*⁢∂~∂⁡q1=∂∂⁡q1.

A więc

Π*⁢Xq,p=Wq=∑i=1nai⁢q,p⁢∂∂⁡q1∈Tq⁢M.

Na to pole wektorowe podziałajmy formą α⁢X na M, której wartość w T*⁢M ma postać

α⁢Xq=∑i=1npi⁢d⁢qi

i zależy tylko od współrzędnych p1,…⁢pn. Otrzymamy więc przyporządkowanie

Xq,p=∑i=1nai⁢q,p⁢∂~∂⁡q1+bi⁢g,p⁢∂∂⁡pi⟶∑i=1npi⁢ai⁢q,p∈R.

To przyporządkowanie jest dla każdego ustalonego q,p liniową operacją na X a więc wyznacza formę liniową na Tq,p⁢T*⁢M. Ta forma mnoży współrzędne przy ∂∂⁡qi przez liczbę pi. Zatem postać jednoformy, którą w ten sposób uzyskujemy jest

αq,p=∑i=1npi⁢⁢d~⁢qi

(10.22)

gdzie d~⁢qi oznacza formę na T*⁢M, która przy ”ilorazowym” przedstawieniu Π-1⁢U w formie (10.20)odpowiada formie d⁢qi na M. Formę (10.22) nazywa się formą Liouville'a n T*⁢M.

Niech ω=d⁢α. Wtedy ω jest zamkniętą dwuformą o postaci:

ω=∑i=1nd⁢pi∧d⁢qi

(10.23)

Zatem jest nieosobliwą w każdym punkcie (por. Stwierdzenie(10.2) (c)).

Zgodnie z przyjętą powszechnie konwencją, piszemy tu d⁢qi zamiast bardziej poprawnego formalnie d⁢q~i.

Stwierdzenie 10.4

Na wiązce kostycznej T*⁢M do dowolnej rozmaitości różniczkowej M istnieje forma symplektyczna ω, która w mapach indukowanych przez mapy na M ma postać kanoniczną (10.22). Własność ta wyznacza formę ω.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Matematyczne metody mechaniki