Symetryczna budowa równań Hamiltona umożliwia postępowanie redukujące liczbę równań i liczbę szukanych funkcji w sytuacji, kiedy jedna ze współrzędnych nie występuje explicite w funkcji Hamiltona (nazywamy ją wtedy współrzędną cykliczną). Niech qi będzie taką współrzędną. Wtedy i-t⁢e ”pędowe” równanie jest postaci:

Zatem pęd pi pozostaje stały w czasie ruchu. Wstawiając jego stałą wartość pi0 do hamiltonianu, otrzymujemy układ równań z funkcją Hamiltona nie zawierająca qi ani pi a zatem układ 2n-2 równań (przy początkowej liczbie 2n równań). Po ich ewentualnym rozwiązaniu pozostaje jeszcze scałkować równanie:

Niech X=(X1,..Xn) będzie polem wektorowym klasy C1 określonym na otwartym podzbiorze Ω⊂Rn. Rozważmy układ równań z warunkiem początkowym

Z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań dla takiego układu wynika, że przy każdym warunku początkowym x istnieje ϵ⁢x>0 oraz krzywa -ϵ⁢x,ϵ⁢x∋t→yx⁢t∈Rn, spełniająca (11.2). Ustalmy wartość t i zmieniajmy warunek początkowy x. Wtedy dla x takich, że t<ϵ⁢x jest dobrze określone odwzorowaniem φtx.

Z twierdzenia o gładkiej zależności rozwiązania (11.2) od warunków początkowych wynika, że odwzorowanie φt jest różniczkowalne a z jednoznaczności rozwiązania zagadnienia (11.2) wynika, że jeżeli wszystkie elementy następującej formuły (11.4) są dobrze określone, to zachodzi równość:

Zatem (na być może mniejszym zbiorze) odwzorowanie φtX jest dyfeomorfizmem, na obraz tego zbioru - ”lokalnym dyfeomorfizmem”. W sytuacji, kiedy dla t∈R dana jest rodzina przekształceń określonych dla każdego x∈Ω i o wartościach w Ω a przy tym spełnione są warunki (11.4) oraz φ0=i⁢dΩ, powiemy, że rodzina R∋t→φt jest jednoparametrową grupą odwzorowań Ω. Dla odwzorowań φtX definiowanych za pomocą (11.3) sytuacja jest bardziej złożona. Globalnie na Ω określone jest jedynie przekształcenie φ0X=i⁢dRn natomiast dla t≠0 każde przekształcenie φtX ma swoją dziedzinę. Dziedziny te rosną, kiedy t→0 oraz dla każdego x∈Rn istnieje ϵ⁢x, że dla t<ϵ⁢x x znajduje się w dziedzinie φtx. W tej sytuacji powiemy, że pole wektorowe X określa lokalną grupę 1- parametrowa lokalnych dyfeomorfizmów Ω. Za pomoca tej grupy zdefiniujemy pochodną Liego pola tensorowego na Ω.

Niech X=(X1,..,Xn) będzie polem wektorowym klasy C1 określonym na otwartym podzbiorze Ω⊂Rn. Niech φtXt∈R będzie lokalną grupą lokalnych dyfeomorfizmów Ω określoną przez pole X. Powiemy, że lokalny dyfeomorfizm φtX zachowuje miarę μ jeżeli

dla każdego otwartego A⊂Ω, dla którego φtX jest określony.

Diwergencją pola nazwiemy funkcję

Związek równań (10.19) z fizyką polega na dwóch założeniach.

- Po pierwsze - w przypadku ewolucji układu fizycznego, rozmaitość M powinna być wiązką kostyczną do przestrzeni konfiguracyjnej naszego układu
- Po drugie - prawe strony rozważanych równań powinny być współrzędnymi gradientu symplektycznego funkcji H równej całkowitej energii naszego układu, wyrażonej za pomocą pędów i położeń.
Abstrahując od takich fizycznych ograniczeń możemy rozważać układ o postaci:

dla dowolnej rozmaitości symplektycznej M,ω. (Zgodnie z Definicją 10.4 i wzorem (10.17) prawa strona w (11.5) jest zdefiniowana niezależnie od współrzędnych lokalnych na M). Następujące dalej obserwacje pokazują algebraiczne tło ewolucji opisywanej układem (11.5). Obecność tej struktury w tle mechaniki klasycznej była jedną ze wskazówek przy budowaniu formalizmu mechaniki kwantowej.

Uzupełnieniem poprzedniego stwierdzenia jest pochodzące od Emmy Noether.

Przy powstawaniu formalzmu mechaniki kwantowej ważną wskazówką były wartości nawiasu Poissona dla kilku podstawowych funkcji, jakimi są położenia q1,…,qn i pędy p1,…,p2, będące współrzędnymi w wiązce kostycznej do przestrzeni konfiguracyjnej naszego układu. Dla mapy symplektycznej, w której nawias Poissona zadany jest formułą (11.12) otrzymamy

Aby uzyskać (11.13) wystarczy w formule (11.12) przyjąć

W analogiczny sposób otrzymamy

gdzie 1 oznacza funkcję stałą, przyjmującą wartość 1.

Teoria zajmująca się opisem zmian w czasie układu fizycznego składa się na ogół z trzech części. Po pierwsze podaje matematyczny model rzeczywistości podlegającej ewolucji. Opis tej rzeczywistości w ustalonej chwili nazwiemy stanem układu w tej chwili.

Drugą częścią teorii - najważniejszą fizycznie - jest matematyczne sformułowanie prawa ewolucji. Najczęściej prawo takie jest opisane równaniem różniczkowym. Trzecim składnikiem teorii jest wyróżnienie elementów dających informację o stanach układu, które z jednej strony powinny taki stan wyznaczać, a z drugiej strony mogłyby być wyznaczane za pomocą obserwacji i doświadczeń.
Elementy takie nazwiemy obserwablami.

W hamiltonowskim ujęciu mechaniki, opisem rzeczywistości jest przestrzeń fazowa F układu. W najprostszym przypadku, układu n-punktów poruszających się swobodnie w R3,F jest wiązką kostyczną do R3⁢n. Stanami naszego układu będą punkty F. Prawem opisującym ewolucję układu są równania Hamiltona, określone przez naturalną strukturę symplektyczną na F oraz przez funkcję Hamiltona H=T+V, gdzie T jest energia kinetyczną a V potencjałem. We współrzędnych kartezjańskich równania te mają postać

a ewolucja to przejście od stanu początkowego wyznaczającego warunki początkowe q⁢t0=q0⁢p⁢t0=p0 do stanu w chwili T wyznaczonego w wyniku rozwiązania układu (11.16). Obserwablami dla naszego układu będą funkcje na F, takie, jak współrzędne, pędy, momenty pędu energia etc. Na równi z ewolucją obserwabli q1,..qn,p1,..pn daną równaniami (11.16) moglibyśmy badać bezpośrednio ewolucję innych obserwabli. I tak ewolucję obserwabli B⁢q,p,t możemy bezpośrednio opisać równaniem

gdzie DH jest polem wektorowym na F o postaci

Równanie to możemy interpretować jako równanie zwyczajne w przestrzeni funkcji na F. Istotnie pisząc Bt⁢q,p uzyskamy równanie opisujące krzywą
R∋t→Bt w postaci

gdzie DH jest operatorem liniowym DH⁢Bt=DH⋅Bt.